2023-2024学年江苏省高一年级下册3月联考数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省高一下册3月联考数学试题

一、单选题

1.已知向量。=（皿4）,6=（3,-2）,且://方,则加=（）

A.-5B.-6C.6D.-9

【正确答案】B

【分析】根据平面向量平行的坐标公式计算即可.

【详解】因为向量〃=（丸4）力=（3,-2）,且:〃力，

所以—2〃z—12=0,解得,7?=-6.

故选：B.

2.在二ABC中，"cosA>cos8”是“A<3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数的单调性可得解.

【详解】当cosA>cos8,因为丫=cosx在（0,兀）内单调递减，所以A<8,所以“cosA>cos5”

是“A<8”的充分条件；

当时，因为"cosx在（0,兀）内单调递减，所以cosA>cos3,所以“cosA>cos8”是

“A<B”的必要条件.

故选：C.

3.tan250+tan35°+tan250tan35°（）

A.—\/3B.C.—yf2,D.-^6

【正确答案】B

【分析】根据360。=31!（25。+35。）利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案.

【详解】因为tan60。=tan（250+35。）=产”青項=6,

''1-tan25°tan35°

所以tan25°+tan35。=回1-tan25°tan35°）,

所以tan25°+tan350+6tan25°tan35°=x[i.

故选：B.

4.已知向量“、厶不共线，且。=网+戾4=。+（2工一1）6,若c与d共线，则实数x的值为（）

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

【正确答案】C

【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数x的等式，解之即可.

【详解】因为c与d共线，则存在ReR，使得d=kc，即a+（2x—1）6=依。+助，

kx=\

因为向量a、6不共线，则整理可得x(2x-l)=l,即2/一%-1=0,

k-2x-\

解得x=-；或1.

故选：C.

3兀

5.已知sin|a一.+COS2=—,则cos2a+（）

5

B.—

25

【正确答案】B

【分析】根据三角恒等变换公式求解.

【详解】sinfa--1+cosa=—sina-—cosa+cosa

(6丿225

grpi.13

所以——sina+—cosa=—，

225

所以sin(a+"=|，

U兀、J兀、Ic.2(兀、,c97

cos2a+—=cos2a+—=l-2sm~a+—=l-2x——=——,

I3丿(6丿(6丿2525

故选:B.

6.如图，在直角梯形ABCD中，ADHBC,AB1BC,AD=\,BC=2,。是线段A3上

—>—>

的动点，则PC+4P。的最小值为()

A.36B.6C.2qD.4

【正确答案】B

【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】解：如图，以8点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设M=a,BP=x\G<x<a）,

因为AO=1,BC=2,

所以P（O,x）,C（2,O）,D（l,a）,

——>

所以PC=（2,-x）,PO=（l,a-x），4PO=（4,4a-4x），

所以宓+4而=（6,4"5x），

所以PC+4Pb=^36+（4«-5x）2>6,

4fT

所以当4a—5x=0,即x=g。时，PC+4P。的最小值为6.

故选：B

7.在平行四边形ABCD中，已知OE=；EC,=,卜目=2,卜目=28，则AC83=

().

A.-9B.-6C.6D.9

【正确答案】A

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值.

uimuuouunuumiuumuunium

【详解】由题意可得：AE=AD+DE=AD^--AC=AD+-ABt

uunumuunuuniumuuniuun

AF=AB^-BF=AB+-BC=AB+-AD,

33

”21'>

VAE~=AD+-ABAD+-AB~=4①

39f

uui220111uuniuim，

AF2=AB+-ABAD+-AD=12,②

39

um皿

8282

uAniAB-uimuuii2

-。-

①一②得:99H即nA52-AD=9,

，

umiuimzuiiiUUKX(uuinumxuuuuun、

J\CBD^\AB^AD]\AD-AB\=AD-AB=-9.

故选：A.

8.已知a,yg£(0,g],2tana=.:贝ljtan(2a+尸+g]=()

I2)sin/?+sin-/?<3)

A.YB.-正C.且D.y/3

33

【正确答案】B

【分析】先将己知等式化简得到sina=cos(a+0,再利用角的关系求解即可.

【详解】

「sin2£_sina2sinZ?cosy02cos尸.・・八八

2tana=—------r—=2-------=-y——=----------=sma+sinasmp=cosacosp

sin夕+sinTcosasin/?+sin2^l+sin/7”~

IT

=>sincr=cosacos力一sinasin0=cos(a+/)，因为a,"，所以a+a+/=耳，所以

tan(2a+/(=tan^=-^

63

故选：B

二、多选题

9.设a,4c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）

A.若卜+0=卜-可，则4丄bB.若卜卜W，则（a+匕）丄（a-Z?）

C.若a.c=/?.c，则不与C垂直D.仅不与c垂直

【正确答案】AB

【分析】根据模长公式即可判断A,根据数量积是否为0可判断BCD.

【详解】对于A,由卜+4=，-圓平方可得1+『+2〃力=/+64■一功力力=o=a丄8

,故A正确，

对于B,若卜卜忖则（。+斗（之』）=/一力-=0,所以（4+0）丄（“叫，故B正确,

对于C,若a-c=b-c，贝U（a-6）•c=0n（a-6）=0或（a-A）丄c=0或c=0（舍去），故°_分

可能与c垂直，故C错误，

对于D,^b-cja-^a-cjb^-c=^b-cja-c-^a-c^b-c=^b-c^ac^-^ac^bcj=O,所以

[伍c）可丄C，故D错误,

故选：AB

10.已知奇函数/＞（*）=5/5$皿5+夕）-8$（8+夕）（0＞0,0＜夕＜兀）的最小正周期为兀，将函

TT

数."X）的图象向右平移B个单位，得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的有（）

6

A.函数g（x）的图象关于直线》=言对称

B.当xe0,|时，函数g（x）的最小值是

7T3几

C.函数g（x）在区间一工,二上单调递增

6o

D.当xe[0,可若函数、=8。）有且仅有2个零点，则所有零点之和为营57r

【正确答案】ABD

【分析】利用辅助角公式化简/（x）的解析式，根据其奇偶性和最小正周期以及。＞0，。＜夕＜兀

即可求得公9的值，再根据图象平移求出g（x）的解析式，验证x=时g（x）是否取最值即

可判断A；根据结合g(x)的解析式利用整体代换和三角函数性质可求得其最小值,

TT5兀

即得B正确；当，由整体代换和三角函数图象的单调性可判断C错误；分别

OO_

求出函数y=g(x)在[0,兀]上的所有零点,即可得D正确.

[详解]由/'(X)=6sin(s+8)-C0S(Gx+e)=2sin(s+Q-V),

TTTT

因为函数/(x)为奇函数，则9-w=E,ZeZ,所以夕=w+E,ZeZ,

66

又因为0＜。＜兀，所以9=自.

6

由函数/(X)的最小正_周期为兀，_可_得7=円07T=*即。=2；

(0

故/(x)=2sin2x；

将函数/(x)的图象向右平移己个单位，得到函数g(x)=2sin2(x—V)]=2sin(2x-方｝

因为g(1^)=2sin(2x||-])=2,所以x=言是函数g(x)的一条对称轴，即A正确；

当xe0,1,2x-]e-y,y,由正弦函数性质可得g(x)=2$吊(2_¥-三)十62],

所以当xe0,1时，函数g(x)的最小值是-百，即B正确；

jr5冗IT27r47r

当不£时，2x--e,根据三角函数单调性可得，函数g(x)在区间

_66J333_

jr5TT

二,工上不单调，所以c错误；

66

当xe[0,兀]时，令g(x)=2sin(2x-：J=0,可得不哈”与；

此时两零点之和为外+尤2=?5兀，即D正确.

O

故选：ABD

11.定义两个非零平面向量的一种新运算忖*M=M，M-sin＜a,b＞,其中＜a,b＞表示“，b

的夹角，则对于两个非零平面向量4,b,下列结论一定成立的有()

A.0在8方向上的投影向量为卜卜也＜。，2jB.(〃哂+(。城=卜.甘

C.若川”叼=(匈为D.若a*b=0,则4与平行b

【正确答案】BD

【分析】根据新定义运算，结合向量数量积的运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A选项，〃在6方向上的投影向量为Hcos<“/>-A错误.

对于B选项，（a*b）+（a/）=|a|-|i|-sin2^a,^+|a|-|^|-cos2=|a|-|z?|,B正确.

对于C选项，由于（反”=电引，而所以C错误.

对于D选项，若a*Z?=O,则sin<a,〃>=0,所以<〃,6>=0或<〃,方>=乃，则a与平行b,D

正确.

故选：BD

12.在二ABC中，AB=2&，BC=4,AC=2y/10,M是8c的中点，则（）

A.线段4M的长度为2方

B.AMSC=-16

71

C.NAMB+NACB=一

4

jr

D.在线段A8的延长线上存在点P,使得NCPM的最大值为了

【正确答案】ACD

【分析】对于A选项，连接A"后利用cosNAA/C+cosN/4A/B=0,结合余弦定理处理.

对于B选项，将AM8C转化为:（A8+AC）-3C.

对于C选项，注意到_ABC,则ZAAffi+NACB=N4MB+/M4B.

对于D选项，做一圆与直线4B相切，且过C,M两点.则点尸为相应切点.

【详解】对于选项A,如图连接AM,因C,M,8三点共线，则NAM8+NA/MC=7t

有cosZ4A/C+cosZAM8=0.设=又AB=2近，AC=2>/iU,MC=MB=2,由余

弦定理有：410+/+"8=0,得x=26,故A正确.

4x4x

对于B选项，4M.sc=g（AB+4C）BC=g（AB+AC）（AC-AB）

=g{|AC『—|AB0=g（4O_8）=16,故B错误.

对于C选项，cosNABC=16+8-豐=_也,又ZABC.O,兀），则NA8C=処，

2x4x27224

AB

因ZABM=NCBA,—,pllj：MBA--.ABC

BCAB

得陰+厶嚴=厶胸+4例3'又由外角和定理,"〃。=苧

则NAA仍+NAC3=q.故C正确.

4

对于选项D,如图做一圆与直线48相切，且过C,M两点为除直线与圆相切切点户外任

意一点，由图及三角形外角性质，NCP、M<NMNC=NMPC,则当尸为直线与圆相切切点

时，NMPC最大.由圆塞定理，有BP?=BM•BC,得BP=2近,又BM=2,ZMBP=.

4

由余弦定理有：M尸=4+8-2x2x2及x也=4,贝仁防沪为等腰直角三角形.

2

RMRp

又由8尸=8M8C，有工==，又NCBP=NPBM,贝I」CBPPBM.

BPBC

故NCPB=/PMB=Z又NMPB=三,得NCPM=£.

244

故在线段AB的延长线上存在点P,使得NCPM的最大值为D正确.

4

故选：ACD

关键点点睛：本题考查解三角形，向量，平面几何等相关知识点.此题难度较大，需注意以

下几点：

(1)利用两角互补，则两角余弦值互为相反数，可求三角形中线.

(2)计算数量积时，常转化为已知夹角的数量积.

(3)对于C,D选项的判断，本题利用了相似，辅助圆，圆基定理等知识.

三、填空题

13.已知向量a/满足a-（a-b）=2,且卜|=1,忖=2,则.与/，的夹角为.

27r

【正确答案】y

【分析】根据内（。-加=2,求得〃力，从而可得出答案.

【详解】由夕（。-6）=2,得了一。心=1一”2=2，

所以4加=忖.阵0$（4&=-1,所以cos（a,»=-g,

又因为04（a紛4兀，

所以a与6的夹角为牛.

故答案为.右

14.已知a,/?满足0<a<£,:<夕<=，cos住+a]=],sin[?+〃]=^,则

44414丿5<4）13

sin（a-/7）=.

【正确答案】-II

【分析】根据题意得到sin[：+a）,cos（：+Z?）的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算

即可得到结果.

【详解】因为0<a<£,则

4442

因为：〈夕〈手，则戸夕+[<兀，

4424

所以sin仔+“=Jl-cos2（；+a[=*,

c陪+勾=-卜电+力2

则sin（a-/?）=sin

=sin（a+；）cos—cos（a+；）,in（夕+

4（5）31256

=­x------—x—=---------

5113丿51365

故答案为:-豊

65

15.4cos50—tan40=.

【正确答案】6

r、¥名八〈八，八4sin40cos40-sin40

【详解】4cos50-tan40=-------------------------------

cos40

_2cos10-sin30cos10-sin10cos30

cos40

（C、

A/3cos10——sin10

:122丿

cos40

=6COS40=6,故答案为

cos40

三角函数诱导公式、切割化弦思想.

16.已知。,48是平面上不共线的三点，设尸为线段AB垂直平分线上的任意一点，若

|OA|=7,|OB|=5,则OP（OB-OA）的值为

【正确答案】—12

【分析】设M为A8的中点，结合P为线段A8垂直平分线上的任意一点，则有

OP（OB-OA）=OMAB,再将。M,AB都用0408表示，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】设M为AB的中点，

则OP\OB-OA）=（OM+MP）AB^OM-AB+MP-AB,

因为P为线段43垂直平分线上的任意一点，

所以MP.A8=0，

则OP•（08_04）=O例.A8=O何•（08—0A）=g（08+0A）・（OB—0A）

=^[OB-O^=-\2.

故答案为.-12

四、解答题

17.己知向量a=(sina,cosa—2sina),

⑴若蕨,求tana的值;

（2）若卜+方卜,一可，求J°s2：的值

1111l+sin2cr

【正确答案】（1）,

6

(2)n

【分析】（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；

（2）由卜+。|=卜-0，平方可得a必=0,再根据数量积的坐标运算可求得tana,再根据二

倍角的正余弦公式及平方关系化弦为切即可得解.

【详解】（1）因为）〃），

所以4sina-（cosa-2sina）=0,即6sina=cosa,

所以tana=>

6

（2）因为,+〃卜,_0,

所以（4+/?）=（。一人）,

即〃~+〃+2〃•b=/一2〃.b，所以。•匕=0，

即sina+4（cosa-2sina）=0,所以tana=：,

g、icoslacos2a-sin2a1-tan2a

所以--------=-5-------；------------------=------j------------

1+sin2acosa+sina+2sinacosal+tan“a+2tana

13

二49二3

.1681T

1+—+-

497

7

18.在一ABC中，内角43,C所对的边分别为〃也c.已知cosC=£,3b=4a.

8

⑴求cosB的值；

（2）求sin（2B+5）的值.

【正确答案】⑴北

e3石+7

(/丿-----------------

16

【分析】(1)利用两次余弦定理即可.

(2)利用cosB,得出sin28,cos2B,然后结合两角和差公式即可.

【详解】(1)在4BC中，3b=4a

222

a2,12_2(^)+b-C7I

又因为cosC=^_^_^=-4--------------=-,解得c='b

人j,」2ah3,,82

2x.—bb

4

2,津)2+自2

由余弦定理可得cosB=a+；-b=_4_备_=_1

2ac4

42

(2)由(1)可得sin8=Jl-cos?B=,

4

/i~?7

从而sin2B=2sinBcosB-...........,cos2B=cos-B—sin~B=——.

88

M•(cn兀、.cr、兀cr、•兀V15\[3713\/5+7

sin2B4——sin28cos—FCOS28sin——-------x---------x—=-------------

(6丿66828216

19.在①an=人2+02—力o,®tanA+tanB+tanC->/3tanBtanC=0»③一ABC的面积为

gagsinB+csinC-asinA),这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

在一45c中，角ABC所对的边分别为"c,且__________.

⑴求角A；

(2)若a=8,的内切圆半径为求.ABC的面积.

【正确答案】(1)条件选择见解析，

(2)116

【分析】（1）选①，直接利用余弦定理即可得解;选②，根据tanA+tanB+tanC-^3tantanC=0,

,,,一，一一」,-tanA+tanB~tanA+tanB,,

结合三角形内角和定理可得tanC=卞―=-tan（zA4+3）=，化简整理

V3tanB-11-tanA-tanB

可求得tanA,即可得解；选③，由JagsinB+csinC-asinA）,结合三角形的面积公式化

简，再结合余弦定理即可得解；

（2）利用等面积法可得Ac之间的关系，再利用余弦定理求得be,再根据三角形的面积公

式即可得解.

【详解】（1）若选①，由余弦定理可知：a2=b2+c2-bc,

/.cosA=—,0<A<TC,A=—；

23

若选②，EltanA+tanB+tanC->/3tantanC=0,

tanA+tanAtanA+tan8

所以tanC==-tan(A+8)=一

A/3tanB-11-tanA-tanB

\/3tanZ?=tanA-tanB,又tan3w0,所以lanA=G,

_..71

0<A<TI,..An,；

若选③，S=—t7(/?sinB+csinC-«sinA)=—hcsinA,

ARr22

b1+c2-a2丄

b2+(r-a2=be,：.cosA=

2bc2

71

,0<A<n,...A=-；

(2)一ABC内切圆半径为石，

.,.丄(a+b+c).V5=—besinA,

22

/oI

=S+c+8)♦,£>+0+8=5/?。，

且h2+c2-2bc~=64,即(A+c)2-3bc=64,

（；0c-8）-3/?c=64=bc=44,

1h

••-5=-x44x—=1173.

nAo/t?.r22

20.如图所示，A8分别是单位圆与x轴、V轴正半轴的交点，点尸（cos®,sin。）在单位圆上,

ZAOP=e^<e<^,C点坐标为（一2,0）,平行四边形OAQP的面积为5.

⑴求040。+S的最大值;

(2)若CB//OP,求|OQ『+S的值.

【正确答案】⑴a+1

⑵2+6

【分析】(1),向量与圆结合，利用平面向量的数量积运算与三角函数结合；(2),利用向量

平行的关系表达与求解关系式就可以顺利解决问题.

【详解】(1)由已知得A,P的坐标分别为(1,0),(cosO,sin。),

因为四边形OAQP是平行四边形，

所以OQ=OA+OP=(1,0)+(cos。,sin。)=(l+cos6,sin。),

OQ-OA=1+cos0

又因为平行四边形。AQP的面积为S=|O4OP卜ine=sine,

所以OA.OQ+S=l+cose+sin0=&sin(0+(1+i

又因为0<6<不，所以当，=?时，04OQ+S的最大值为0+1.

(2)由题意知，CB=(2,1),OP=(cos。,sin，)

1TT

因为CB//OP,所以tan9=—，因为0<9<%，所以0<。<一.

22

由cose=2sin。，cos26>+sin20=l,得sin9=^^,cos0=,

55

所以，|OQ『+s=2+2cos9+sine

所以•|od+S=2+2cosO+sin®=2+6

21.己知向量a=(cosa,sina),〃=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),其中0vavxV7r

rr

(1)若a=—,求函数f(x)=b-c的最小值及相应的X的值；

(2)若〃与/?的夹角为g,且〃.c=sin2a,求。的值.

【正确答案】(1)最小值为-］，相应的x的值为蓝兀

…5兀亠11兀

(2)a=—或——

1212

【分析】(1)根据数量积的坐标运算可得/(幻=2$広呪0$工+>/5区门+8$了)，令

,=sinx+cosx\<x<，，再根据平方关系将sinxcosx用f表示，再结合二次函数的性质即可

得解；

(2)先根据d与/，的夹角为求得X，。的关系，再根据数量积的坐标运算结合a.c=sin2a

计算即可得解.

【详解】(1)因为=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa)_g,f(x)=Z?•c,

所以fM=cosxsinx+2sin«cosx+sinxcosx+2sinxcosa=2sinxcosx+V2(sinx+cosx),

A(it)

令f=sinx+cosxl—<x<JII,

因为sinx+cosx=&sin[x+：[,由:<%<兀，所以

所以一等<sin[+；]<1,则止(一1,&),

因为(sinx+cosx『=sin?x+cos?x+2sinxcosx=1+2sinxcosx,

所以2sinxcosx=〃-1,

・。宀"亠1

当，=一^^时，ymin=---»此时sinx+cosx=-4，

222

即&sin(x+：)=_^^=>sin(x+：)=一；,

兀

—<X<7t,BPx=—

412

311

•・J(x)的最小值为；，相应的x的值为募兀;

/—、।—I/,兀a•b.«.

(2)由已知【，cosy=j-=coscrcosx+sinasinx=cos(x-a),

0<a<x<7r,:.^<x-a<n,所以=]

由a・c=sin2a,得cosa(sinx+2sina)+sina(cosx+2cosa)=sin2a,

即sin(x+a)+2sin2a=sin2a,

由x-a=W，