2023-2024学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市开福区北雅中学八年级（上）入学

数学试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若一2与a互为相反数，则a=（）

A.0B.2C.-1D.-2

2.光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示千米/秒.（）

A.0.3x106B.3X10sC.30X104D.300x103

3.下列各数中属于无理数的是（）

A.3.14B.V-4C.V5D1

4.如图，如果41=42,那么48〃C。,其依据可以简单说成（）

A.两直线平行，内错角相等

B.内错角相等，两直线平行

两直线平行，同位角相等

D.同位角相等，两直线平行

5.在平面直角坐标系中，将点（1,1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）

A.(3,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(1,-1)

6.长度分别为a2,4的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（）

A.1B.2C.3D.6

7.估计G的值在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

不等式组｛对的解集在数轴上表示正确的是（

8.)

—

A.B.T―•-----

------►

-10;—102

9.若满足方程组£：+匕=黑3的％与互为相反数，则根的值为（）

~y——1

A.11B.-11C.1D.-1

10.若不等式组｛：：：根无解，则rn的取值范围为（）

A.m<2B.m<2C.m>2D.m>2

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.若正多边形的一个外角为40。，则这个正多边形是边形.

12.如果a的平方根是±3,则如一17=.

13.若是方程x—ky=0的解，则k=.

14.在平面直角坐标系中，已知线段轴，且48=5,点4的坐标是（-2,4）,则点8的坐

标为.

15.已知a<5,不等式（a-5）x>a-5解集为.

16.如图，C是线段AB上的一点，△4CC和ABCE都是等边三D

角形，力E交于M,BD交CE于N,交4E于。，则①DB=AE;/E

②41MC=乙DNC;③々1OB=60°;④DN=AM淇中，正确/

的有,——Y

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：-12022_闹_「+|q_2|.

18.（本小题6.0分）

（2x+1>%—1

解不等式组［把匚22x-2，并求出它的非负整数解.

19.（本小题6.0分）

下面是教材中“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：NAOB,求作：一个角NA'0'B',

使它等于440B.

作法：如图，①作射线。%'；

②以。为圆心，任意长为半径作弧，交。4于C,交OB于。；

③以。'为圆心，OC为半径作弧C'ET交O'A于C'；

④以C'为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于£>'；

⑤过点D'作射线O'B',贝I乙4'0'B'就是所求作的角.

请完成下列问题：

（1）该作图的依据是（填序号）

①4s4

②S4S

③/US

④SSS

(2)请证明乙4'0'B'="OB.

20.（本小题8.0分）

新冠肺炎疫情发生以来，专家给出了很多预防建议.为普及预防措施，某校组织了由七年级

1000名学生参加的“防新冠”知识竞赛.杨老师为了了解学生的答题情况，从中随机抽取了部

分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制成了

如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：

1人数

40--------------------------------------

30............1----------------------------

20..................——.......................

10--1-!...........................

oLI-LJ_——L—1—-----►

不及格及格良好优秀级别

（1）求被抽取的部分学生的人数，并请补全条形统计图；

（2）求出扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数；

（3）请估计七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数.

21.（本小题8.0分）

如图，已知。是48上一点，E是4c上的一点，BE、C。相交于点尸，44=63。，Z.ACD=34°,

/-ABE=22°.

(l)NBDC的度数:

(2)NCFE的度数.

A

D

22.(本小题9.0分)

为开展“校园读书活动”’雅礼中学读书会讣划采购数学文化和文学名著两类书籍共100本，

经了解，购买20本数学文化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文学名著贵

450元.(注：所采购的同类书籍价格都一样)

(1)求每本数学文化和文学名著的价格；

(2)若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请求出所

有符合条件的购书方案.

23.(本小题9.0分)

如图1,在平面直角坐标系中，点4(a,b),连接04将04绕点。逆时针方向旋转90。到

(1)求点B的坐标；(用字母a,b表示)

(2)如图2,延长AB交汇轴于点C,过点8作BD1力。交、轴于点。，求证：OC=OD.

24.(本小题10.0分)

我们定义，关于同一个未知数的不等式4和B,两个不等式的解集相同，则称4与B为同解不

等式.

(1)若关于x的不等式4l—3x>0,不等式8：竽<1是同解不等式，求a的值;

(2)若关于％的不等式C：x+1>mn,不等式D：%-3>6是同解不等式，其中血，九是正整

数，求zn,九的值;

7

>

(3)若关于％的不等式P：(2a—6)%4-3a—4/?<0,不等式Q：——2-2x是同解不等式,

试求关于工的不等式(a-4b)%+2Q-3b<。的解集.

25.(本小题10.0分)

如图1,AD//BC,48Ao的平分线交8C于点G,Z.BCD=90°.

图1图2

⑴如图1,若乙4BG=48。，NBCD的平分线父2D于点E、交射线G4于点F.求乙4FC的度数；

(2)如图2,线段4G上有一点P,满足N48P=34PBG,若在直线4G上取一点M,使ZPBM+

N。4G=90。，求名罂的值.

乙GBM

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：若一2与a互为相反数，贝b=2.

故选:B.

直接利用相反数的定义得出答案.

此题考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键.相反数的定义：只有符号不同的两个

数叫做互为相反数.

2.【答案】B

【解析】解：每秒30万千米，用科学记数法表示3x105千米/秒.

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中141al＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中lW|a|＜10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】C

【解析】【解答】

解：4、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；

B、＜4=2,2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；

C、遮是无理数，故此选项符合题意.

。、3是分数，属于有理数，故此选项不符合题意.

故选：C.

【分析】

分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理

数.如兀，＜6,0.8080080008...（每两个8之间依次多1个0）等形式.

4.【答案】D

【解析】解：=

••.4B〃CD(同位角相等，两直线平行)，

故选：D.

由平行线的判定求解.

本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法.

5.【答案】A

【解析】解：将点(1,1)向右平移2个单位后，横坐标加2,所以平移后点的坐标为(3,1),

故选：A.

根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可.

本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了三角形的三边关系，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第

三边.

根据三角形的三边关系得出4-2<a<4+2,求出a的取值范围进行判断即可.

【解答】

解：由三角形的三边关系得：4-2<a<4+2,

即2<a<6,

即符合的只有3.

故选C.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查估算无理数的大小，属于基础题.

由于25<33<36,由此即可近似确定，■方的大小.

【解答】

解：•••25<33<36,

•••V-25<V_33<

:,5<V33<6.

故选：D.

8.【答案】A

【解析】解：在彘。的解中,

由3x+3>。得：x>-1,

由x—2W0得：x<2,

•••不等式组的解集为：-1SXW2.

故选：A.

首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断.

本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大

小小大取中间，大大小小无解了.

9.【答案】A

__3m+2

二京9，

{y=^~

因为X与y互为相反数，

所以x+y=0,

所以等+竽=0,

解得：m=11,

故选：A.

先求出方程组的解，根据相反数的定义得出x+y=0,即亨+誓2=o,再求出方程的解即

可.

本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是

解此题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：根据题意得：4m<8,

/.m<2.

故选：A,

根据大大小小无解集得到4nl<8,即可得出答案.

本题考查了不等式的解集，不要忘记可以取等号是解题的关键.

11.【答案】九

【解析】解：多边形的每个外角相等，且其和为360。，

据此可得些2=40,

n

解得n-9.

故答案为：九.

利用任意凸多边形的外角和均为360。，正多边形的每个外角相等即可求出答案.

本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360。，比较简单.

12.【答案】-2

【解析】解：•••a的平方根是±3,

•••a=9,

则%i-17=V9-17=-2.

故答案为：-2.

直接利用平方根的定义得出a的值，再利用立方根的定义得出答案.

此题主要考查了立方根以及平方根，正确掌握相关定义是解题关键.

13.【答案】2

【解析】解：把二j代入方程x-ky=0得：

2—k=0,

解得：k=2,

故答案为：2.

把代入方程x-ky=0,可得关于k的一元一次方程，解方程即可得答案•

本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解是使方程两边相等的未知数的值.

14.【答案】（3,4）或（一7,4）

【解析】解：•••在平面直角坐标系中，线段4B〃x轴，

••点A,8的纵坐标相同，

•••做一2,4）,

•・.设B（a,4）,

"AB=5,

|-2—a|=5,

解得：a=3或a=-7,

・•・8（3,4）或（一7,4）.

故答案为：B(3,4)或(一7,4).

根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同可设B(a,4),由两点间的距离公式可得|-2-3=5,以

此求解即可.

本题主要考查坐标与图形性质，熟知平行于％轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键.

15.【答案】x<1

【解析】解：QV5,

Aa—5<0,

.•.解不等式(a-5)x>a—5,得x<1.

故答案为：x<1.

先由a<5,得出Q—5<0,由不等式的性质得出答案.

本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是注意不等号的方向是否改变.

16.【答案】①②④

【解析】解：•.・△ACD和ABCE都是等边三角形，

ACD=CA,CB=CE,乙ACD=乙BCE=60°,

:.乙DCB=乙ACE=60°+乙DCE,

在△DCB和△4CE中，

CD=CA

Z-DCB=乙ACE,

CB=CE

:.DB=AE,Z.CDB=Z-CAE,

故①正确；

•・・C是线段4B上的一点，^ACD=/.BCE=60°,

・•・Z.DCE=1800-Z-ACD-乙BCE=60°,

:.Z-ACD=Z.DCE,

在△ACM和△DOV中，

/-CAM=乙CDN

CA=CD,

ZACM=乙DCN

•••△ACMNADCN(ASA),

・•・乙AMC=LDNC,AM=DN,即ON=AM,

故②正确，④正确；

VZ.AOD=/.AMD-乙CDB=/.AMD-/.CAE=^ACD=60°,

Z.AOB=180°-/.AOD=120°*60°,

故③错误，

故答案为：①②④.

由等边三角形的性质得CD=CA,CB=CE,Z.ACD=乙BCE=60°,则4CCB=AACE=60°+

4DCE,即可证明△DCB三△4CE,得DB=AE,乙CDB=MAE,可判断①正确；再证明△ACMma

DCN,得NAMC=乙DNC,AM=DN,可判断②正确，④正确；因为乙40。=Z.AMD-乙CDB=

^AMD-Z.CAE=/.ACD=60°,所以UOB=120°丰60°,可判断③错误，于是得到问题的答案.

此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻

的两个内角的和等知识，证明△DCB三4ACE是解题的关键.

-

17.【答案】解：—12022一—V4+—2|

=-l-4-2+2->f3

=-5-V~3•

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

2x+1>x—1(T)

18.【答案】解:竽>2x-2(2),

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：x<3,

则该不等式组的解集为：—2<xW3.

故不等式组的非负整数解为：0,1,2,3.

【解析】先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出负整数解.

本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较

小，小大大小中间找，大大小小解不了.

19.【答案】④

【解析】（1）解：由作法得OD=0C=O'D'=O'C,CD'=CD,

所以根据"SSS”可判断△O'C'D'WAOCD,

所以/O'=NO.

故答案为：④;

(2)证明：由作法得已知:0C=O'C,0D=O'D',CD=C'D'

在40。。和4O'C'D'中，

OC=O'C

OD=O'D'，

CD=CD'

•••△OCD=LO'C'C'(SSS),

^A'O'B'=4AOB.

(1)根据sss证明三角形全等可得结论；

(2)利用SSS证明三角形全等.

本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活

运用所学知识解决问题.

20.【答案】解：(1)30+30%=100(人),

即被抽取的部分学生有100人；

优秀的学生有：100x20%=20(人)，

良好的学生有：100-10-30-20=40(人)，

补全的条形统计图如图所示：

不及格及格良好优秀级别

(2)扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数为：360。、盘=144。，

即扇形统计图中表示良好级别的扇形的圆心角度数是144。；

(3)1000x普=600(人)，

即七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数是600人.

【解析】(1)根据及格的人数和所占的百分比，可以求得被抽取的部分学生人数；根据条形统计图

中的数据，可以计算出良好和优秀的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(2)用360度乘以表示良好级别所占的比例即可得出答案；

(3)根据样本估计总体，可以计算出七年级1000名学生中达到良好和优秀的总人数.

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

21.【答案】解：(1)♦.•乙4=63°,AACD=34°,

乙BDC=Z.ACD+44=34°+63°=97°；

(2)由(1)得4BCC=97°,

乙ABE=22°,

4DFB=180°-乙BDC-Z.ABE=180°-97°-22°=61°,

AACFE=乙DFB=61°.

【解析】(1)根据三角形外角性质得出NBDC=Z.ACD+/.A,再代入求出答案即可；

(2)根据三角形内角和定理求出NDFB=180O-NBDC-乙4BE,求出NDFB,再根据对顶角相等

求出答案即可.

本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和对顶角相等等知识点，能熟记三角形内角和等

于180。是解此题的关键.

22.【答案】解：(1)设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，

依题意,得:雕第二距

解得：

答：每本数学文化的价格为35元，每本文学名著的价格为20元.

(2)设购买数学文化m本，则购买文学名著(100-徵)本，

依题聿，-100-m

似昭尼''何.(35m+20(100-m)S2780'

解得：50<m<52.

vm为整数，

共有三种购书方案，方案1：购进数学文化50本，文学名著50本；方案2：购进数学文化51本，

文学名著49本：方案3：购进数学文化52本，文学名著48本.

【解析】(1)设每本数学文化的价格为x元，每本文学名著的价格为y元，根据“购买20本数学文

化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文学名著贵450元”，即可得出关于x,y的

二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买数学文化血本，则购买文学名著(100-m)本，根据购买数学文化本数不少于文学名著

且总费用不超过2780元，即可得出关于他的一元一次不等式组，解之即可得出关于血的取值范围，

结合爪为整数即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

・•・/,ACO=乙BDO=90°,

・•・/.AOC+=90°,

vZ.AOB=90°,

・・・Z,AOC+乙BOD=90°,

・•・乙4=乙BOD,

在和AOB。中，

Z.ACO=Z.BDO

Z.A=Z.BOD,

0A=0B

•••△40CwZk0BD(44S),

:.OD=AC=网，BD=OC=同,

・•・B(-b,a)；

(2)证明：如图2,

设OC,BD交于点E,

•・・BD14C,

・•・乙BCD=乙COD=90°,

•・.Z-BEC=乙DEO,

:.Z.ACO=乙BDO,

•・•Z.AOB=(COD=90°,

・•・乙4。8+乙BOC=(COD+Z.BOC,

即：乙AOC=CBOD,

*/OA=OBf

*'•△i4(?C=AB0DQ1S4),

:.OC=OD.

【解析】(1)作力C_Lx轴于C,作BD_Lx轴于。，可证得△AOC三△OBD,进一步得出结果；

(2)可推出4A0C=48。0,乙ACO=(BDO,进而得出△40C三△800,从而得出结论.

本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线,

构造全等三角形.

24.【答案】解：(1)解关于x的不等式4：1-3%>0,得

解不等式B：等<1,得x(学，

由题意得：g=-y->

解得：a=1.

(2)解不等式C：%+1>mnW：x>mn-1,

不等式D：%—3>?n得：%>m4-3,

：・mn—1=TH4-3,

4

771=----T,

n—1

vm,九是正整数，

・・・九一1为1或4,

Am=4,n=2或；m=l.n=5.

(3)解不等式P：(2Q-b)%+3a-4bV0得：%>松多(2Q-b<0),

解不等式Q：竽得：x>l，

4b-3a_4

2a-b=9f

••・7a=86,

v2a—6<0,

:.4b=3.5a,且Q<0,

・•・a-4b=Q—3.5a=-2.5a>0,

1

，(a—4Z?)