《微积分一》中值定理

第四章中值定理与导数的应用§42洛必达法那么§4.1中值定理§4.3函数的增减性§4.4函数的极值§4.5最大值与最小值，极值的应用问题§4.6曲线的凹向与拐点§4.7函数图形的作法§4.8变化率及相对变化率在经济中的应用

——边际分析与弹性分析介绍§4.1中值定理一、罗尔定理三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理TheMeanValueTheorem一、罗尔定理罗尔定理

(Rolle,1652-1719,法国数学家)“在反对微分学的人中，也不乏具有才能的数学家。法国代数学家罗尔便是一例。”——梁宗巨《世界数学史简编》“微积分是巧妙谬论的汇集。”——罗尔一、罗尔定理

设连续光滑的曲线y

f(x)在端点A、B处的纵坐标相等

f

(

)?观察与思考

f

(

)0罗尔定理

(Rolle,1652-1719,法国数学家)设函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)

f(a)=f(b).那么至少存在一点(a,b),使f'()=0.罗尔定理的证明

因为y

f(x)在闭区间[a

b]上连续

所以它在[a,b]上一定取得最大值M和最小值m

(1)如果M

m

则在[a,b]上f(x)

M

在(a,b)内f

(x)

0

所以定理的结论是成立的

证

(2)如果Mm那么或者Mf(a)或者mf(a)不妨设Mf(a)那么存在(a,b)使f()M因为f()M是yf(x)在[ab]上的最大值所以对任意x(a,b)有f(x)f()0于是因此必有f

(

)

0

罗尔定理

(Rolle,1652-1719,法国数学家)设函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)

f(a)=f(b).那么至少存在一点(a,b),使f'()=0.几何意义:

端点等高连续光滑的曲线必有水平切线.例1.

解

因此在(1,2)内至少存在一点

1

使f

(

1)

0

1是f

(x)的一个实根

在(2,3)内至少存在一点

2

使f

(

2)

0

2也是f

(x)的一个实根

f

(x)是二次多项式

只能有两个实根

分别在区间(1,2)及(2,3)内

例2

不求导数

判断函数f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)的导数有几个实根

以及其所在范围

f(1)

f(2)

f(3)

0

所以f(x)在[1,2]

[2,3]上满足罗尔定理的三个条件

因为f(x)是连续的可导的函数并且

例2

不求导数

判断函数f(x)

(x

1)(x

2)(x

3)的导数有几个实根

以及其所在范围

一般结论:例如:例3.证明方程x33x+c=0(c是任意常数)在[0,1]内不含有两个不同的根.证:

(反证法)假设方程x33x+c=0在[0,1]内含有两个不同的根,设为x1,

x2，且不妨设x1<x2.令f(x)=x33x+c,那么有f(x1)=f(x2)=0,又显然f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,由罗尔定理知

(x1,x2)[0,1],使f'(

)=0.即3

23=0,⇒

2=1.

这与0<

<1矛盾,因此假设不成立，原结论成立.★

重要应用难点

解题步骤：推广：要证等式辅助函数例如，练习前情回忆：连续光滑，且端点处等高的曲线，存在水平切线.罗尔定理设函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)

f(a)=f(b),则至少存在一点

(a,b),使f'(

)=0.几何解释二、拉格朗日中值定理约瑟夫·拉格朗日Joseph-LouisLagrange，1736~1813法国著名数学家、物理学家拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性奉献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是说明数学分析的威力。拿破仑曾称赞他是“一座高耸在数学界的金字塔”。百度百科拉格朗日&fromid=383115&type=searchImustthinkaboutitagain.我此生没有什么遗憾，死亡并不可怕，他只不过是我要遇到的最后一个函数。二、拉格朗日中值定理若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理(Lagrange,1736~1813,法国数学家)C点的切线平行于弦AB拉格朗日中值定理的物理解释The

Mean

Value

Theorem若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理证明思路：化归为罗尔定理若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理证明思路：化归为罗尔定理若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理证明思路：化归为罗尔定理

函数j(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理的条件

于是至少存在一点x

(a

b)

使j

(x)

0

即证明:

由此得显然，函数j(x)在区间[ab]上连续，在区间〔ab〕内可导；且法二：反推法显然，函数F(x)在区间[ab]上连续，在区间〔ab〕内可导；

函数F(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理的条件

于是至少存在一点x

(a

b)

使

F

(x)

0

即由此得且若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理f(b)=f(a)Rolle定理Lagrange定理——拉格朗日公式的常用形式若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理1．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．注拉格朗日公式若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理1．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．注拉格朗日公式函数的增量自变量的增量区间内某点的导数函数导数中值定理若函数

f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;则至少存在一点

(a,b),使拉格朗日中值定理1．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．注拉格朗日公式几何意义:

连续光滑的曲线,必有平行于两端点所在直线的切线

解

例8

设f(x)

lnx

1

x

2

求

的值使拉格朗日中值公式成立

这里a

1

b

2

由拉格朗日公式得

思考：常值函数的导数为零，反过来，在某个开区间内导数恒为零的函数一定是常值函数吗？?推论1推论1证：推论1推论2在区间(a,b)内任意一点

有

[f(x)

g(x)]

f

(x)

g

(x)

0

由推论1

函数f(x)

g(x)在区间(a,b)内是一个常数，即：f(x)

g(x)

c

或f(x)

g(x)

c

其中c为某一常数

证：证明：由推论1可知:即又当时，综上所述可得

证

例10

证明不等式

arctanx2

arctanx1

x2

x1,(x1

x2)

设f(x)arctanx,那么f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日定理的条件因此有arctanx2

arctanx1

x2

x1

如果不等式中既含有函数的差,又含有自变量的差,常用拉格朗日中值定理证明.注

练习

练习

三、柯西中值定理柯西中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零那么至少存在一点(ab)内使得柯西中值定理的证明设函数f(x)及g(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零那么至少存在一点(ab)内使得

简要证明

仿照证明拉格朗日定理的方法

作辅助函数易知

(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件

因此

至少存在一点

(a,b)

使

三、柯西中值定理柯西中值定理(Cauchy，1789-1857，法国数学家)设函数f(x)及g(x)满足条件(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零那么至少存在一点