向量数量积的概念第2课时课件高一下学期数学人教B版

向量数量积的概念第2课时新知探究问题1类比于功，你能给两个向量定义相应的运算吗？数量积的定义一般地，当都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作，即新知探究问题2

如果都是非零向量，那么可以是正数吗？可以是负数吗？可以是零吗？你能举出实例加以说明吗？观察两个非零向量与的数量积的定义可知，的符号由cos〈〉决定，从而也就是由〈〉的大小决定．两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数．新知探究定义的适用条件是两个非零向量．注意数量积的符号表示，运算符号不可省略，不可用×号替代；两个非零向量的数量积等于这两个向量的模长与这两向量夹角的余弦值的乘积；规定：零向量与任何向量的数量积为0；由定义可知，两个非零向量的数量积是一个数量．这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同；新知探究具体情况如下表：的符号由cos〈〉的符号决定，从而也就是由〈〉的大小决定．〈〉的大小图示语言描述cos〈〉的符号的符号与共线同向与夹角为锐角与垂直正0正新知探究具体情况如下表：的符号由cos〈〉的符号决定，从而也就是由〈〉的大小决定．〈〉的大小图示语言描述cos〈〉的符号的符号与夹角为钝角负负与共线反向新知探究两个非零向量的数量积可以是正数，也可以是负数，还可以是零．“＞0”是“

与夹角为锐角”的必要不充分条件；“＜0”是“

与夹角为钝角”的必要不充分条件；“＝0”是“

⊥”的充分必要条件．新知探究练（1）已知||＝5，||＝2，，则＝_________．（2）已知则

_________．5新知探究问题3向量的数量积有哪些性质呢？

即

即向量垂直的充要条件为

新知探究向量在直线上的投影、向量在向量上的投影如图所示，设非零向量过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量在直线l上的投影向量或投影．aA′lB′AB类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为l，则在直线l上的投影称为在向量上的投影．aA′lB′ABb如图所示，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能相同，也有可能相反．新知探究思考：如果，都是非零向量，且在向量上的投影为，那么向量的方向、长度与〈〉有什么关联？如图所示，baA′B′ba<a,b>A′(B′)ab<a,b>A′B′当时，的方向与的方向相同，而且当时，为零向量，即当时，的方向与的方向相反，而且新知探究向量投影的数量及数量积的几何意义（1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．（2）因为所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义．（3）特别的，当为单位向量时，因为||＝1，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量．初步应用例1

（1）已知||＝5，||＝4，〈〉＝120°，求；＝5×4×cos120°＝－10；（2）已知||＝3，||＝2，

＝3，求〈〉．解答：（1）由已知可得

（2）由可知，因此从而可知初步应用例2

如图所示，求出以下向量的数量积解答：（1）（方法一）由图可知，（1）（2）（3）abcd因此（方法二）由图可知，向量在向量上的投影的数量为1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知初步应用例2

如图所示，求出以下向量的数量积（2）由图知，因此（1）（2）（3）abcd因此（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为－1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知初步应用例3

如图，等边三角形ABC中，边长为2，求：（1）与的数量积；解答：（1）（2）ABC（2）与的数量积；初步应用例4

已知||＝4，||＝6，＝－12，求在上的投影数量和在上的投影数量．解答：向量在向量