弧度制课件高一下学期数学北师大版

第一章

三角函数第3节

弧度制引入在角的度量中，我们选取一个周角，把他360等分而得到角的度量单位(单位角度)，以它为单位去度量其他角的大小.

显然，角的度量单位(单位角度)，与单位线段无关.

即在几何图形的各种度量中，除了角度之外，其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的.单位制,角的度量除了角度制之外,是否也有其他的的单位制呢？——有不同的单位制,即弧度制.

角度制：(1)定义：用

作为单位来度量角的单位制.(2)1度的角：周角的

.弧度制：(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作

．(2)1弧度的角：长度等于

的圆弧所对的圆心角.度弧度半径长弧度数与实数一一对应正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是0弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么

.角的正负由角的终边的旋转方向决定

注意：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.

OBr=1l=1A

一些特殊角的度数与弧度数对应表02π60°180°

例1

(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关答案

ABC解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.

例3(多选题)下列说法中正确的是(

)A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关答案

ABC解析

无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.例4用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

练习3用弧度制表示终边在x轴上的角的集合.

练习5用弧度表示终边落在下图阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解

:(1)以OB为终边的330°角可看成－30°角，化为弧度，即－，而75°＝75×rad＝rad，∴终边落在阴影部分内的角的集合为.利用弧度制与角度制的关系，证明下列关于扇形的公式.（1）；（2）；（3）.其中R是圆的半径，为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.

证明：（1）由公式

可得，

.

（2）

，于是，

.

（3）将

代入

，得

.总结简化公式例5(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（1）设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1cm时，l＝8cm，此时θ＝8rad＞2πrad(舍去)；(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2.练习6已知扇形的半径为10cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.练习7

设扇形的弧长为18cm,半径为12cm,求这个扇形的面积.

练习8一个扇形的面积是1cm²，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数.练习9已知扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使