y=ax2的图像与性质课件人教版九年级数学上册

二次函数——y=ax2的图像与性质学习目标1．知道二次函数的图象是一条抛物线.2．会画二次函数y=ax2的图象.（难点）3．掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．（重点）函数

图像

与

性质复习导入1.一次函数的图象是一条

.2.通常怎样画一个函数的图象？直线列表、描点、连线3.二次函数的一般形式是怎样的？y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)4.下列函数中,哪些是二次函数？①⑤④③②复习导入二次函数y=ax2的图象和性质一授人以渔你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?问题：授人以渔x…-3-2-10123…y=x2…

…

94101941.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：授人以渔24-2-40369xy

函数图象画法列表描点连线2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．授人以渔你喜欢打篮球吗?你最喜欢的篮球明星有谁？问题：授人以渔授人以渔

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线y=x2

，xyO-4-3-2-11234108642-2y=x2这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.24-2-4O369xyx…-3-2-10123…y=x2…9

4

1

0

1

4

9

…

问题1

从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质？在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最低点.观察与思考练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？列表：y24-2-40-3-6-9x在对称轴左侧，抛物线从左往右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左往右下降.顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.x…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

授人以渔解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5问题：

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．授人以渔二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系二xyO

－222464－48思考：

从二次函数

开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.授人以渔练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8问题

从二次函数

开口大小与a的绝对值大小有什么关系？当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.授人以渔归纳总结y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减yOxyOx抛物线y=ax2与y=-ax2的关系三授人以渔问题：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？xyOy=ax2y=-ax2授人以渔问题：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2例题精讲二次函数y=ax2的图象和性质一、y=ax²顶点与对称轴问题二、y=ax²顶开口方向和开口大小问题题型归纳三、

y=ax²

的图像性质六、二次函数y=ax²

与一次函数综合问题四、确定y=ax²

的解析式五、利用增减性比较y值大小七、二次函数的图象与性质的综合题八、

y=ax²

的几何图形面积问题九、求参数取值范围等其他综合应用问题题型一、y=ax²顶点与对称轴问题例1：

说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）

二次函数y=ax²顶点与对称轴问题：画出图像，根据图像特征判断，当a>0时，开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），当a<0时，开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）.归纳

如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝

x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）

．题型二、y=ax²顶开口方向和开口大小问题例2：

①③②

当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.

当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.归纳

二次函数y＝x2的图象经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限题型三、y=ax²

的图像性质例3：

A

当a>0时，过第一、二象限，在对称轴左侧，抛物线从左往右下降；在对称称轴的右侧，抛物线从左往右上升，顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最低点.当a<0时，过第三、四象限，在对称轴左侧，抛物线从左往右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左往右下降，顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.归纳

一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．题型四、确定y=ax²

的解析式例4：

确定二次函数解析式，需要将点坐标带入解析式进行求解，即待定系数法求二次函数解析式.当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．归纳

作出函数y＝-x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？题型五、利用增减性比较y值大小例5：

解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．通过作图，可以根据自变量的值描出所对应的因变量的值，越向上数值越大，来判断y的值的大小.归纳

下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（）

A．

B．

C．

D．题型六、二次函数y=ax²

与一次函数综合问题例6：

D

解题技巧：一次函数图像重点看k与b的值，k决定增减性及象限，b根据图像与y轴交点的位置确定正负；二次函数根据a＞0，则开口向上，a＜0则开口向下来进行判断，并且结合一些特殊点，采取“排除法”做此类题目．归纳

已知函数y＝(m+3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？题型七、二次函数的图象与性质的综合题例7：

已知函数y＝(m+3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性． 题型七、二次函数的图象与性质的综合题例7：

二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．归纳

如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝

x2的图象，C2是函数y＝

x2的图象，则阴影部分的面积是（）A．4π

B．2π

C．π

D．无法确定题型八、y=ax²

的几何图形面积问题例8：

B

根据二次函数图像的性质及特征结合圆、三角形、四边形等其他几何图形综合考察，灵活运用初中所学知识，综合题目所给条件及图形解决此类问题．归纳

如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是

．题型九、求参数取值范围等其他综合应用问题例9：

二次函数求参数取值范围，要根据实际问题及图像特征进行求解，主要是根据抛物线与线段的交点分情况讨论，来解决问题.归纳习题精练

抛物线y＝

x2

的开口方向是（）A．向上 B．向下 C．向右 D．向左练习1：

题型精练B练习2：

题型精练(1)函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.

(2)函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO

如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.练习3：

题型精练xyk>1

若抛物线y=ax2（a≠0），过点（-1，2）.

（1）则a的值是