高考二轮复习理科数学课件培优拓展5巧用公共点速定立体几何中的截面交线问题

培优拓展❺巧用公共点速定立体几何中的截面、交线问题在处理空间几何问题时,常遇到用一个平面去截几何体,判断截面的形状或求截面的周长、面积等问题.很多同学空间想象力不强,确定平面的公理运用不够熟练,遇到此类问题往往束手无策,为此,有必要总结一下画截面的方法,帮助学生又快又准地找出截面,顺利解决截面问题.画一个平面截多面体的截面,关键是确定交线,常用的方法有:方法1.直接连接法:当有两点在几何体的同一个面上时,连接该两点即为几何体与截面的交线.方法2.作平行线法:过直线与直线外一点作截面,常用到面面平行、线面平行的性质,通过该点找直线的平行线,即找到几何体与截面的交线.方法3.作延长线找交点法:观察在同一个平面上的两点,连接并延长至另一个点所在平面,同一个平面有两点则可连线,需要注意长度的运算、比例关系,否则难以确定位置关系.名师点析

确定截面的主要依据有:(1)平面的四个公理及推论;(2)直线和平面平行的判定和性质;(3)两个平面平行的性质;(4)球的截面的性质.例1(2023江西上饶一模)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,点E为棱BC的四等分点(靠近点B),点F为棱A'D'的四等分点(靠近点A'),过点C',E,F作该正方体的截面,则该截面的周长是(

)C解析

(方法一)由题意得截面与正方体相对的面的两交线平行,如图,过F作FO⊥AD,点O为垂足.连接OC,则FC'∥OC.过点E作OC的平行线交AB于点G,交DA的延长线于点P,显然AP=2,所以点G为AB的三等分点,靠近点B.连接FP,交AA'于点H.因为EP∥OC,OP∥CE,所以四边形PECO是平行四边形,所以OC=PE.同理,OC=FC'.所以PE=FC'.又PE∥FC',所以四边形PEC'F是平行四边形,所以PF∥EC'.易知点H为AA'的三等分点,靠近A'点,连接HG,则五边形GHFC'E即为过点C',E,F的正方体的截面.因为AB=4,A'F=BE=1,所以(方法二)如图,延长C'E交B'B的延长线于点K,延长C'F交B'A'的延长线于点O,点O,K都在平面ABB'A'上,连接OK与AA',AB分别交于点H,G.连接GE,FH,则五边形GHFC'E为过点C',E,F的正方体的截面.因为A'F=1,AB=4,评析

方法二是通性通法,利用两个平面有两个交点,则这两个交点的连线为两平面的交线,若点在两个平面上,则该点一定在两平面的交线上.A解析

由正四面体的棱长为2可求得它的外接球半径是3,因为3>,所以正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示,△BMN是正四面体的一个面,点O1是正四面体一个平面截球面所得截面圆的圆心.O1D⊥BM,点A是BM与圆O1的交点.由题意结合例3(2023陕西榆林模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为4,空间内的点H满足HA⊥HA1,且HB⊥HC1,则满足条件的点H的轨迹的长度为

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解析

设AA1的中点为M,BC1的中点为N,易知MN的长等于△ABC的边BC上的高,由于直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为4,所以MN=2.因为HA⊥HA1,且HB⊥HC1,所以点H在以AA1,BC1为直径的球上,球心分别为M,N,半径分别为r=MA=2,R=NB=2,即HM=2,HN=2.评析

探究动点轨迹长度的方法分两步:(1)巧转化:根据几何体的结构特征将动点所满足的条件转化为平面图形内的动点问题.(2)定形状:即根据平面几何的知识确定动点轨迹的形状,进而确定轨迹长度.C评析

球被平面或几何体的侧面所截得到的交线一定是圆或圆弧,由球心与截面圆圆心的连线垂直截面来确定出圆心.再求出截面圆的半径,从而求出交线长.例5已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,AA1=3,点P为矩形A1B1C1D1内及边界上一动点,设二面角P-AD-C为α,直线PB与平面ABCD所成的角为β,若α=β,则三棱锥P-A1BC1体积的最小值是

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解析

如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为O,再作OE⊥AD,垂足为E.连接PE,PB,由题意可知,∠PEO=∠PBO,所以EO=BO.由抛物线的定义可知,点O的轨迹为抛物线的一部分,所以P的轨迹为抛物线的一部分.当点P到线段A1C1的距离最短时,△PA1C1面积最小,三棱锥P-A1BC1的体积最小.在矩形A1B1C1D1中,以A1B1的中点O1为坐标原点,以直线A1B1为x轴,线段A1B1的垂