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文档简介

培优拓展❹巧设变量速求立体几何中的动态、最值问题立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题,解决这类问题应该动静结合、化动为静,找到相应的几何关系,对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题化归为静态问题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证.具体可以有以下几种解决方法:(1)函数法:某些点、线、面的运动,必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化,从而建立函数关系,将立体几何问题转化为函数问题来解决.(2)等价转换法:动和静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,将一些变化的点、线、面进行合理转换,实现变量与不变量的结合.(3)解析法:我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题,即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后,借助向量进行运算和分析是解决这类问题的常用方法.例1(2022全国乙,理9)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(

)C评析

方法一:思维严谨,利用基本不等式求最值,模型熟悉,是该题的最优解.方法二:消元,实现变量统一,再利用基本不等式求最值.方法三:消元,实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法.例2如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(

)B解析

建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),设点P的坐标为(0,λ,2λ),λ∈[0,1],点Q的坐标为(1-μ,μ,0),μ∈[0,1],评析

该题涉及两个动点,所以需要引入两个变量,建立目标函数之后通过配方法可以直接判断并求出最值.例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M为BC的中点,点N为平面DCC1D1上的动点,若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积最大值为

.评析

该题中“点N为平面DCC1D1上的动点”,虽然只涉及一个动点,但需要两个变量才能确定点的位置,在解题过程中首先建立目标函数,然后利用“MN⊥A1C”建立两个坐标参数之间的关系,确定两个参数最终的取值范围或代入目标函数进行消元,从而求得最值.例4(2023全国模拟预测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上,PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,点Q为球O的球面上一动点,则点Q到平面

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