2024高中数学教学论文-让学生成为“演员”

2024高中数学教学论文-让学生成为“演员”高中数学教学论文：让学生成为“演员”

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

1、

占位子问题

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20（种）。这样原题也就得到了解决。

④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P）

①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：

从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案

同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。

④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。三次函数的再探索-对称中心问题三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。一．三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。因为

对比

由（1）有代入(3)有

即

说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为【例1】

求的对称中心解：令为的对称中心

为曲线上任意一点，则也在曲线上，即

整理得

对比有

解得所以，的对称中心为

二．三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。

（4）结论

是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。证明：的图象关于对称，则

由

图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。

图①图②

对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。

【例2】

求的极值和对称中心

解：

令有

易求极大值处A，极小值处B

而的对称轴，

所以

对称中心

易发现对称中心为A，B的中点三．过三次函数对称中心的切线条数结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。证明：若是三次曲线上的任一点，设过M的切线与曲线相切于，则切线方程为，因为点M在此切线上，故，又，所以，整理得：，解得，或。由此可见，不仅切线与三次曲线的公共点可以多于一个，而且过三次曲线上点的切线也不一定唯一。【例3】

已知曲线，求曲线在点处的切线方程解：，，

曲线在点处的切线斜率为

代入直线方程的斜截式，得切线方程为

即

变式：已知曲线，则曲线过点的切线方程___________。错解：依上题做法，直接填上答案错因分析：因为求过曲线上某点的切线方程，不一定这点就是切点，这与圆的切线是有不同的。本题点在曲线上，所以求过点（2，4）的切线，点（2，4）可以是切点也可以不是。正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为即点的坐标代入，得，，

又

解得或所以过（2，4）的切线方程为或

点评：“在点”处的切线方程和“过点”的切线方程是不同的。

四．三次函数对称中心在高考题中的表现

【例4】（2004高考，浙江，理（11）题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）解：根据图象特征，不防设是三次函数，则的图象给出了如下信息：①②导函数方程两根是0，2（对称中心的横坐标是1）③在上；在或上由①可排除B、D，由③确定选C

纵观上述，三次函数的对称中心问题还是比较容易掌握的，而处或的对称轴就是对称中心的横坐标，且经过对称中心的切线有且有一条。赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当时，①或②当q=1时，本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法---错位相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列它的前n项和是公式的推导方法一：当时，由得∴当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时常用公式①；当已知,q,时，常用公式②.拓展延伸：若是等差数列，是等比数列，对形如的数列，可以用错位相减法求和。例题数列的前项和，则的表达式为（）．A． B．C． D．解析：由，①可得，②②－①，得，故选（D）．点评：这个脱胎于课本中等比数列前项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：当时，由等比数列的定义得，根据等比的性质，有即∴当时，或当q=1时，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，…，仍成等比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程：证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，∴=∴成等比数列.［这一过程也可如下证明］：证明二：－=－===同理，－==∴成等比数列。对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。公式的推导方法三：＝＝＝∴当时，或当q=1时，“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察中常利用方程思想构造方程（或方程组），在已知量和未知量之