2024高中数学教学论文-运用“正弦、余弦定理”灵活解题-苏教版必修5

2024高中数学教学论文-运用“正弦、余弦定理”灵活解题-苏教版必修5运用“正弦、余弦定理”灵活解题正弦、余弦定理是高中数学一个非常重要的知识点，那又怎样才能做到运用“正弦、余弦定理”灵活解题呢！下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用．例1．中，角所对的边分别是，为的面积，则．分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解：，∴．又，∴．根据正弦定理，得．二、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式．例2．已知中，，求的值．分析：由得，再利用余弦定理很快解决问题．解：令角所对的边分别是，又∴根据正弦定理，得．不妨令∴．三、应用正弦定理求角时应注意检验．例3．在中，已知，求边．解法一：，∴．又∴．∴．当；当．解法二：∴即，解得．例4．中，角所对的边分别是，则=．解：∴．又∴由正弦定理，得．即．说明：在中，角所对的边分别是，若有，则有．四、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）．例5．中，角所对的边分别是，证明：．证明：要证，由正弦定理，得即证即证即证而从而本题得证．在设问中生成，在解决中创新—浅谈高中生数学创新思维能力的培养论文摘要：本文以怎样设置有效的问题情境，怎样提出有启发性和挑战性的问题，怎样调动学生探索问题的主动性、积极性和自觉性，使学生创造性思维的潜能得到最大程度地挖掘，以起到抛砖引玉的作用。关键字：问题、创造性思维恰当的创设问题情境，通过问题解决对所学知识进行意义建构的行之有效的方法之一。因此在日常教学中，我们若能把需要研究和证明的定理、公式等纳入“问题”之列，把建立概念的各种特征和揭示概念的本质属性也归入“问题”范畴，把有关例题、习题融入“问题”系列之中，那么对其探索发现和抽象概括过程就能成为学生对某个问题的“再发现”和“再解决”的创造性思维活动过程。这样“问题解决”活动中相关的数学思想、思维方法，不仅能作为学生掌握知识与技能的工具，而且也成为学生学习的对象，从而慢慢学会探索新知识所必须的科学方法。一、在知识形成的过程中，启迪学生的创造性思维基础知识对于人类是已知的，但是对于学生来说事实上是未知的，属于开放型问题。这就要我们把“问题”作为教学的出发点，不直接展示结论，而是提供让学生动手、动脑，参与的机会。通过学生自己主动去发现事先不知道的结果，运用创造性思维去参与学习过程，使学生在问题解决中逐渐学会学习，从而为培养学生创造性思维打下更坚实的基础。如“正弦定理”的教学中，分三步引导学生参与、讨论并建立“正弦定理”的公式。ABABCacb问题：在中边和角有什么样的关系？对于问题，学生易知利用初中锐角三角函数的概念可得到关系：问题：在一般△ABC中边和角有类似的关系？对于问题，无法运用锐角三角函数的概念解决，从而产生认识冲突——如何解决这类问题呢？借此激发学生的探索欲望。第二步引导问题的转化，将新问题转化为已知问题。当是锐角三角形时，可以通过做一边上的高，将三角形转化为直角三角形，再根据三角函数的定义得到关系：第三步，引导学生利用类似方法探究当△ABC是钝角三角形以上等式是否仍然成立？从而在一步一步的问题解决中构建起对新知识的正确理解。二、鼓励想象，培养直觉思维直觉思维是指直接快速对客观事物的本质作出判断过程。它不要求有严密的逻辑性，允许“知其然，而不知其所以然”。允许甚至鼓励学生运用直觉思维进行联想，可以帮助学生打开思路，开阔视野，由此及彼，得到启发。从而使学生在无拘无束中受到发现新知识的美感和乐趣。例如：在教学“球的体积”时，我设计这样一组题。

问题：圆柱的体积是；圆锥的体积是；问题：（讨论交流）猜一下，半球的体积是。通过观察，比较，讨论，交流猜想。学生的思维得到了碰撞，不但激发了学生积极探索知识的兴趣，使学生的思维处于非常活跃的状态，而且培养了学生的想象能力，学生的创新能力也在不知不觉中得到了提高。三、在知识的巩固和运用中，激发学生的创造性思维例题、习题是“问题”系列中的重要组成部分，是联系各类知识的纽带，是学生获取知识，学会“数学地解决问题”的主阵地。对例题、习题进行适当变式、拓广、演变，形成一个发展性问题，可以激发学生的学习兴趣和求知欲，养成深入研究问题的习惯，让学生进入较高的思维层次。例：一个圆锥形零件，底面积是平方厘米，这个零件的体积是多少？可设计如下一串题组：

(1)一个圆锥形零件，底面半径厘米，高厘米。这个零件的体积是多少？

(2)一个圆锥形零件，底面直径厘米，高厘米。这个零件的体积是多少？

(3)一个圆锥形零件，底面周长厘米，高厘米。这个零件的体积是多少？

(4)一个圆锥形零件，底面半径厘米，是高的

。这个零件的体积是多少？

这些题的条件不断变化，难度逐步增大，最终都落实到这一解题规律上，由浅入深，由易到难，学生灵活应变，有利于开阔思路，培养思维的灵活性。

例2：用一张长

分米，宽分米的硬纸，围成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？用这张硬纸围成圆柱，有两种不同的围法，可引导学生发散思考，分以下两种情况探索解法：

（1）以硬纸的长分米为圆柱的底面周长，宽分米为圆柱的高，围成圆柱的体积是.

（2）以硬纸的宽分米为圆柱的底面周长，长分米为圆柱的高，围成圆柱的体积是.

总之，在教学中，经常引导、鼓励学生进行一题多变、一题多形、一题多解、一题多编、一题多答的练习，有利于学生对知识的掌握和智能的发展，这是培养和发展学生良好思维品质的有效途径。

四、在知识应用于实践中培养学生思维的灵活性学生应用意识的薄弱是当前数学教育的一个重要问题，在教学中，要选择一些有典型意义的问题，把它回归到生活，生产中的原型，给学生创造一个实际背景，让他们认真观察，收集数据，联想学过的知识和技能，来解决实际问题，从中体会到数学来自实践，在解答中有一个数化的过程，，真正起到培养数学的应用意识与创新意识。如:在学习解三角形后，可让学生利用皮尺、测角仪等工具设计测量底部不可到达的物体高度的方法（如金字塔、厂房上的烟囱、小山上的电视塔距地面的高度等）；或设计测量不可到达两点间距离（如在海岸边如何测量海上一船离海岸线的距离，如何测量一条河宽等）。又如，学习了不等式、函数、统计初步等知识后，可要求学生进行市场调查，了解这些知识在市场经济中的作用，提高他们学数学，用数学的热情。通过对所学的知识联系实际，扩展开来，使学生体会到数学应用的无处不在，而且也培养学生的创新意识。也可选择一些有趣味性问题，或环保，绿化等问题；如，把12盒花放在12个点处，使之形成六行，并且每行盒，应如何摆放？通过思考、讨论、试验，学生很快得出右图，应用正六边形知识易产生答案。答案的产生会给学生领悟到数学的内在美，而这种美必然吸引学生的思维注意力。又如，据《新华日报》消息，巴西医生马廷恩经过年研究后得出结论：卷入腐败行为的人容易得癌症、心血管病。如果将犯有贪污受贿罪的名官员与名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多人，两者患病（包括致死）者共有人。试问：犯有贪污、受贿罪的官员的健康人数占名官员的百分之几？廉洁官员的健康人数占名官员的百分之几？本题是一元一次方程的应用，但它从医学研究的角度指出，卷入腐败行为的人容易的癌症、心血管病；腐败不仅腐蚀政府形象，也损害自身健康，极富教育意义。五、在引导学生探索和提问中，挖掘学生的创造性思维的潜能提出问题和解决问题相辅相成，不可偏废，它们都是培养学生创造性思维的重要组成部分。解决问题的过程就是不断地提出问题，将面临的问题转换、分解、组合、引申、变化为已经解决过的辅助问题。爱因斯坦指出：“提出一个问题比解决一个问题更为重要。因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，以新的角度去看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”例如，在学习了公理之后，可以提出以下问题：问题：过直线和直线外一点可以确定平面吗？问题：过两条相交直线可以确定平面吗？问题：过两条平行线可以确定平面吗？又例：如图已知垂直平面，垂直，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？发现一：；发现二：；发现三：；发现四：。该题运用了“你有什么发现？”这样富有挑战性语言进行激励，学生则在不受任何约束的前提下，认真地观察，激烈地争论，大胆地猜想，精力高度集中，思维高度活跃，达到参与教学的高潮，从而实现在思维运动中达到创新的目的。赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”。赞可夫这句话说明了发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。教师妥善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识。对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值。对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗？”“试试看，再从另一个角度分析一下！”的求异思考。总之，实施问题解决可以培养学生的主体性，创造性和解决问题的能力，从而促进学生的全面发展。因此，在教学过程中教师不仅要根据教学内容及学生的具体情况，精心设计出可供学生进行探索，又有利于学生掌握数学知识及数学思想方法的好问题，是学生在教师的提问中和潜移默化的影响下，学到质疑的方法。还要创设产生问题的意识，鼓励学生大胆地猜想，大胆地质疑，要保护学生的积极性，同时留给学生提问的空间，提出争辩的机会，并对学生的问题进行积极的、合理的评价，使课堂形成一种积极思考，勇于探索的热烈的气氛。这样才能调动学生探索问题的主动性、积极性和自觉性，最大程度地挖掘学生创造性思维的潜能。在数学教学中培养学生的创造性思维在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造性思维，就应该有与之相适应的，能促进创造性思维培养的教学方式。当前，数学创新教学方式主要有以下几种形式：1、开放式教学。这种教学在通常情况下，由教师通过开放题的引进，在学生参与下解决，使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放，一个问题可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题；三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。2、活动式教学。这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动，包括模型制作、游戏、行动、调查研究等，使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。3、探索式教学。采用“发现式”，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、问题的解决等过程。要培养学生的创造思维能力，应当在数学教学中充分有效地结合上述三种形式（但不限于这三种形式），通过逐步培养学生的以下各种能力来实现教学目标：一、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么，在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三，要科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。第四，要努力培养学生浓厚的观察兴趣。二、培养领悟力。数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来的。在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识，并能熟练的掌握数学的基本方法和基本技能，通过培养学生的领悟能力，优化学生的数学思维品质，让学生达到“真懂”的地步。例如：上圆锥曲线复习课时，当复习完椭圆、双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后，突然有一学生提问：平面内到两定点F1，、F2的距离的积等于常数的点的轨迹是什么？这一意料外的问题使思路豁然开朗，我们也可以顺势提出以下问题引导学生，让学生探索：问题1平面内到两定点F1，、F2的距离的积、商等于常数的点的轨迹是什么？问题2平面内到定点F的距离与到定直线L的距离的和等于常数的点的轨迹是什么？若联想到课本第61页第6题（两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点的轨迹方程），还可以提出下列问题：问题3平面内到两定点F1，、F2的距离的平方积、商分别等于常数的点的轨迹是什么？问题4平面内到定点F距离的平方与到定直线L的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么？三、培养想象力。想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基本要素。第一，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三，要有执著追求的情感。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。其次，根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等。例如在一节高三复习课上，我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如下的问题：，在教师的点评帮助下，学生给出了四种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三角换元法。教师对此感到满意，也潜意识认为没有其他证法了。但此时学生的思维大门已经开启，有的学生还想跃跃欲试，学生1展示了他的新探究：用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新，应该说思维非常巧妙。学生2同样展示了他的新探究：用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候，学生的想象力可能是“天马行空”，甚至是荒唐的，这时候教师还要注意引导：解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多走了哪些思维回路？思维、运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加强知识的横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些重要的结果，有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？等等。通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰富的想象力。四、培养发散思维。在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等。特别是近年来，随着开放性问题的出现，不仅弥补了以往习题发散训练的不足，同时也为发散思维注入了新的活力。下面是我在教学实践中遇到的一个例子，事情缘起于一本教辅读物的一个练习题：求f(x),使f(x)满足f[f(x)]=x+2………(1)，书后的答案是f(x)=x+1。该题本意是在学生学习了函数的基本概念之后，通过一次函数复合的具体例子，让学生体会复合函数的概念。这样的设计思想是不错的，但是题目中没有明确给出“f(x)是一次函数”的条件，给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后，许多学生认为“f(x)是一次函数”的条件可由（1）推出，有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下，求出函数方程（1）的一个非线性解的兴趣被唤起，我不愿放过这样一个能让学生开阔数学眼界，提升思维深度的大好机会。于是，我开始探究能否构造一个满足（1）的非线性函数的例子。在具体进行构造之前，有必要了解f(x)的一些基本性质，以便构造时有正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有x1,x2使f(x1)=f(x2)，则f(f(x1))=f(f(x2))；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)=f。(f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2……（2）因此，我们只要对满足0<2的实数x定义f(x)，然后按照（2）将f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。令为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函数记为