2024研究高考试题++提升解题能力

2024研究高考试题++提升解题能力研究高考试题提升解题能力高三年级的数学教学，特别是高三年级的第二、三轮的复习教学，它的教学目标已经不同于新授课的数学教学，也不同于第一轮的复习教学，它应该着眼于“支撑学科知识体系的重点内容”，因为高考的数学命题者要“精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题”。因此，二、三轮的复习工作应抓住核心内容和方法，从数学思想和方法入手，完成构建知识网络，提升解题能力为目标。其实，无论是构建知识网络，还是提升能力，最终的目标还是以提高学生的应试能力，取得令人满意的考试结果为目的。因此，如何提高学生分析问题和解决问题的能力，是当前摆在高三数学教师面前最突出的问题，每一位高三的老师在自己的教学实践中都有着自己一套行之有效的方法，同时因为学情各异，面对不同的学生也有不同的应对方法。在这里，我本人就多年从事高三毕业教学过程中的一点思考和做法提出来和各位老师交流，我期望通过和各位老师的交流，找到更合适有效的方法，使我们的工作更有成效，使更多的学生受益。我们在平常的解题教学中，志在求知，为培养学生能力，应尽量避免“解题套路”，而着重于学生能力的培养，故应多发散，但在高考的考场上，学生在两个小时内要完成一张试卷，时间紧、任务重，为完成得分任务，在遇到熟悉问题时，应考虑“套”、“搬”、“借”，而一张高考试卷不可能题题都创新，可以“套”、“搬”、“借”的题目应该不在少数。因此，在二、三轮的复习中，帮助学生建立一些常规的解题模板，使学生在解题时对常规题做到有理可据、有型可依也是我们的教学目标之一。怎样去构筑解题模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息应来源于历年的高考试题。因此，研究高考试题，从历年高考试题中去提炼解题模板应该是最直接、最有效的途径了。下面我就以函数及其导数为例，剖析近几年的高考试题，揭示考查的核心关键,建立起解题模板，希望通过这样一个实例，给大家提供一个基本模型。先看下面的例子：（2013全国新课标（I）卷第21题）设函数若曲线和曲线都过点P（0，2），且在P处存在相同切线求的值；（2）若时，，求的取值范围。分析：（1）易求得令，依题意得当时当当时当时在上单减，在上单增即当时，即恒成立时当时，在上单增，恒成立则从而当时不可能恒成立再看一例（2010年山东第22题）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）设当时，若对存在使，求实数的取值范围。分析：（1）时，易知在（0，1）和上为负，在上为正。在（0，1）和上单减，在上单增。时，易知在（0，1）和上为负，在上为正。在（0，1）和上单减，在上单增。当时，恒成立，在上单减。时，时，，单减；时，，单增。时或由由得时，时，，单减；时，，单增。（2）可利用（1）的结论易得（略）从上可知，对单调性的讨论的基本过程为定义域内单个零点求导求零点定义域内多个零点讨论零点分区定号结论定义域内单个零点无零点或零点不在定义域内时，函数单调无零点或零点不在定义域内时，函数单调这样的流程是不是具有普遍性，在解题过程是不是好使，我们再来看看09~13年安徽的导数考题2009年（19）（本小题满分12分）已知函数，a＞0，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.2010年17、（本小题满分12分）设为实数，函数。(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。2011年（16）(本小题满分12分)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。2012年（19）（本小题满分13分）设（=1\*ROMANI）求在上的最小值；（=2\*ROMANII）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（=1\*ROMANI）设；则=1\*GB3①当时，在上是增函数得：当时，的最小值为=2\*GB3②当时，当且仅当时，的最小值为（=2\*ROMANII）由题意得：2013年（17）（本小题满分12分）设函数，其中，区间求的长度（注：区间的长度定义为）；给定常数，当时，求的长度的最小值。解：（1）因为方程有两个实根，故的解集为，因此区间，的长度为。（2）设，则。令，得。由于，故当时，，单增；当时，，单减。所以当时，的最小值必定在或处取得。而故。因此当时，在区间上取得最小值。从上可以看出，五年的高考题无一例外的均可用上述流程来解决。其实，在中学导数的应用除与切线相关的问题外，其余的问题如极值问题、最值问题、零点问题、不等式问题等，最终都要落实到单调性上，而讨论函数的单调性必然会经过上述流程，这样一个模板就可以解决相当一部分函数导数题。最后再看一个例子（黄山市2014届第一次模拟考试第21题）已知函数若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围。设若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。分析：（1）由有两不等正实根得（2）由得令或，由在上单增，。只要，记则对恒成立。令或当时，当时，单减，不符题意当时，得或，当时，或，对恒成立，单减，不符题意。当时，记，则在上单减，此时不符。当即时，在上单增，此时，不等式成立。综上可得：即为所求。本题有一定的综合性，头绪多，学生得分情况不理想，但用上面的模去套，则条理清晰，完成本题则不困难。从上面的例子可以看出，只要我们认真去研究高考试题，仔细揣摸命题意图，高考的命题规律还是有迹可循的，在二、三轮复习中，将高考试题的解题规律呈现给学生对提高学生的解题能力，提升学生的自信心是很有帮助的。研究高考试题提升解题能力高三年级的数学教学，特别是高三年级的第二、三轮的复习教学，它的教学目标已经不同于新授课的数学教学，也不同于第一轮的复习教学，它应该着眼于“支撑学科知识体系的重点内容”，因为高考的数学命题者要“精心设计考查数学主体内容，体现数学素质的试题”。因此，二、三轮的复习工作应抓住核心内容和方法，从数学思想和方法入手，完成构建知识网络，提升解题能力为目标。其实，无论是构建知识网络，还是提升能力，最终的目标还是以提高学生的应试能力，取得令人满意的考试结果为目的。因此，如何提高学生分析问题和解决问题的能力，是当前摆在高三数学教师面前最突出的问题，每一位高三的老师在自己的教学实践中都有着自己一套行之有效的方法，同时因为学情各异，面对不同的学生也有不同的应对方法。在这里，我本人就多年从事高三毕业教学过程中的一点思考和做法提出来和各位老师交流，我期望通过和各位老师的交流，找到更合适有效的方法，使我们的工作更有成效，使更多的学生受益。我们在平常的解题教学中，志在求知，为培养学生能力，应尽量避免“解题套路”，而着重于学生能力的培养，故应多发散，但在高考的考场上，学生在两个小时内要完成一张试卷，时间紧、任务重，为完成得分任务，在遇到熟悉问题时，应考虑“套”、“搬”、“借”，而一张高考试卷不可能题题都创新，可以“套”、“搬”、“借”的题目应该不在少数。因此，在二、三轮的复习中，帮助学生建立一些常规的解题模板，使学生在解题时对常规题做到有理可据、有型可依也是我们的教学目标之一。怎样去构筑解题模板呢？我想高考考什么、怎么考，最直接的信息应来源于历年的高考试题。因此，研究高考试题，从历年高考试题中去提炼解题模板应该是最直接、最有效的途径了。下面我就以函数及其导数为例，剖析近几年的高考试题，揭示考查的核心关键,建立起解题模板，希望通过这样一个实例，给大家提供一个基本模型。先看下面的例子：（2013全国新课标（I）卷第21题）设函数若曲线和曲线都过点P（0，2），且在P处存在相同切线求的值；（2）若时，，求的取值范围。分析：（1）易求得令，依题意得当时当当时当时在上单减，在上单增即当时，即恒成立时当时，在上单增，恒成立则从而当时不可能恒成立再看一例（2010年山东第22题）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）设当时，若对存在使，求实数的取值范围。分析：（1）时，易知在（0，1）和上为负，在上为正。在（0，1）和上单减，在上单增。时，易知在（0，1）和上为负，在上为正。在（0，1）和上单减，在上单增。当时，恒成立，在上单减。时，时，，单减；时，，单增。时或由由得时，时，，单减；时，，单增。（2）可利用（1）的结论易得（略）从上可知，对单调性的讨论的基本过程为定义域内单个零点求导求零点定义域内多个零点讨论零点分区定号结论定义域内单个零点无零点或零点不在定义域内时，函数单调无零点或零点不在定义域内时，函数单调这样的流程是不是具有普遍性，在解题过程是不是好使，我们再来看看09~13年安徽的导数考题2009年（19）（本小题满分12分）已知函数，a＞0，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。解：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.2010年17、（本小题满分12分）设为实数，函数。(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。2011年（16）(本小题满分12分)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。2012年（19）（本小题满分13分）设（=1\*ROMANI）求在上的最小值；（=2\*ROMANII）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（=1\*ROMANI）设；则=1\*GB3①当时，在上是增函数得：当时，的最小值为=2\*GB3②当时，当且仅当时，的最小值为（=2\*ROMANII）由题意得：2013年（17）（本小题满分12分）设函数，其中，区间求的长度（注：区间的长度定义为）；给定常数，当时，求的长度的最小值。解：（1）因为方程有两个实根，故的解集为，因此区间，的长度为。（2）设，则。令，得。由于，故当时，，单增；当时，，单减。所以当时，的最小值必定在或处取得。而故。因此当时，在区间上取得最小值。从上可以看出，五年的高考题无一例外的均可用上述流程来解决。其实，在中学导数的应用除与切线相关的问题外，其余的问题如极值问题、最值问题、零点问题、不等式问题等，最终都要落实到单调性上，而讨论函数的单调性必然会经过上述流程，这样一个模板就可以解决相当一部分函数导数题。最后再看一个例子（黄山市2014届第一次模拟考试第21题）已知函数若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围。设若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。分析：（1）由有两不等正实根得（2）由得令或，由在上单增，。只要，记则对恒成立。令或当时，当时，单减，不符题意当时，得或，当时，或，对恒成立，单减，不符题意。当时，记，则在上单减，此时不符。当即时，在上单增，此时，不等式成立。综上可得：即为所求。本题有一定的综合性，头绪多，学生得分情况不理想，但用上面的模去套，则条理清晰，完成本题则不困难。从上面的例子可以看出，只要我们认真去研究高考试题，仔细揣摸命题意图，高考的命题规律还是有迹可循的，在二、三轮复习中，将高考试题的解题规律呈现给学生对提高学生的解题能力，提升学生的自信心是很有帮助的。为什么把≥（a，b＞0）叫做“基本不等式”1．从“数及其运算”的角度看，是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。2．有多种等价形式：代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数，，等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线的切线，切线方程为，曲线总位于切线的下方，故有，≤。令，代入化简即得重要不等式。也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时c=A2，于是xy≤。3．证明方法的多样性从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：设A=。引进一个量d=，则a=A+d，b=A－d。于是ab=A2－d2=，由d≥0容易得到≤。4．可推广。我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。值得注意的是，n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=1，2，…，n）。由于测量误差，这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用x－xi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可负），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把(x－xi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n个观测值的算术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。基本不等式的教学过程概录1．借助问题情境（赵爽弦图），得到a2+b2＞2ab。老师提示：当a=b时，有。通过课件，动态演示面积变化情况，直观展示等号成立的条件。师：当a，b为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明吗？生：利用完全平方，(a－b)2≥0，即a2－2ab+b2≥0，得到a2+b2≥2ab。师：还有什么方法？（片刻后）证明不等式的常用方法是“作差”。证明：.由证明过程可知：不等式恒成立.师：通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等式。特别是a=b时，；反过来时，定有a=b。所以我们说当且仅当a=b时取等号。2．探究新知师：当a＞0，b＞0时，如果用,替换上述结论中的a，b，能得到什么结论？生：可得。师：你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？学生模仿已有证明，用综合法。教师让学生阅读教科书，并填空：要证，①只要证②要证②,只要证③要证③,只要证④显然,④是成立的。当且仅当a=b时，④中的等号成立。DCABEO再阅读课本的“DCABEO教师对基本不等式做出如下说明：（1）注意基本不等式成立的条件；（2）注意基本不等式的结构：两个正数之积与两数之和之间的不等关系。（3）注意等号成立的条件。3．知识应用例1判断下列说法是否正确：若x＞0，则≥2；若x＜0，则≤－2；若ab≠0，则≥2；若ab＝3，则a+b≥2。（1）生：因为－2=≥0，所以≥2。（2）生：+2=≥0，所以……？师：能写为吗？生：哦，不能！应该是≥0，所以≤－2。教师提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。（3）当ab＞0时，≥2；当ab＜0时，≤－2。教师补充：实际上，概括一下就是前面（1）和（2）。（4）生：当a＞0，b＞0时，a+b≥2=2；当a＜0，b＜0时，……师：怎么还不会？看一下（3）的解答。生：哦，因为－a－b≥2=2，所以a+b≤－2。师：通过这几个例题可以知道，在基本不等式中，要求a，b大于0。例2在下列函数中，最小值是2的是（）（A）（x≠0）（B）（1＜x＜10）（C）（x