2024圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

2024圆锥曲线中存在点关于直线对称问题圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x0,y0），则AB所在直线为y=－EQ\F(1,4)x＋b.与椭圆联立得：EQ\F(13,4)x2－2bx＋4b2－12=0，∴x0=EQ\F(x1＋x2,2)=EQ\F(4b,13),y0=EQ\F(y1＋y2,2)=EQ\F(－EQ\F(1,4)x1＋b－EQ\F(1,4)x2＋b,2)=EQ\F(12b,13).∵C在y=4x＋m上,∴EQ\F(12b,13)=EQ\F(4b,13)×4＋m,b=－EQ\F(13m,4).又∵△=4b2－4×EQ\F(13,4)(4b2－12)=4b2－52b2＋13×12>0,故b2<EQ\F(13,4),即EQ\F(169m2,16)<EQ\F(13,4)，解得：－EQ\F(2EQ\R(,13),13)<m<EQ\F(2EQ\R(,13),13).由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2．联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3．把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：1．已知双曲线x2－EQ\F(y2,3)=1,双曲线存在关于直线l：y=kx＋4的对称点，求k的取值范围.注：对于此类求斜率k范围要考虑k=0和k≠0，因为要用到－EQ\F(1,k).2．k为何值时，抛物线y2=x上总存在两点关于直线l：y=k（x－1）＋1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：1o弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)=1双曲线抛物线M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)<1EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)>1或EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)<0y2－2px<0(p>0)(焦点在x轴上)y2＋2px<0(p>0)EQ\F(y2,a2)－EQ\F(x2,b2)>1或EQ\F(y2,a2)－EQ\F(x2,b2)<0x2－2py<0(p>0)（焦点在y轴上）x2＋2py<0(p>0)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x12＋4y12=12,3x22＋4y22=12,得EQ\F(y1－y2,x1－x2)=－EQ\F(3(x1＋x2),4(y1＋y2))=－EQ\F(3x,4y)=－EQ\F(1,4),∴y=3x.联立y=4x＋m,解的x=－m,y=－3m,∵M在椭圆内部，∴EQ\F((－m)2,4)＋EQ\F((－3m)2,3)<1,即－EQ\F(2EQ\R(,13),13)<m<EQ\F(2EQ\R(,13),13).这种通法的步骤是：1o设出两点和中点坐标（x，y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3o联立直线方程，求出交点，即中点；4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：例2：在抛物线y=ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.解：显然a≠0.设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，EQ\F(y1－y2,x1－x2)=EQ\F(ax12－ax22,x1－x2)=a（x1＋x2）=1，即x1＋x2=EQ\F(1,a)，EQ\F(y1＋y2,2)＋EQ\F(x1＋x2,2)=0，即x1x2=EQ\F(1－a,a2)，因为存在这样的两点，故方程x2－EQ\F(1,a)x＋EQ\F(1－a,a2)=0的△>0，即EQ\F(1,a2)－4EQ\F(1－a,a2)>0，a>EQ\F(3,4).这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.圆锥曲线动态结构135例圆锥曲线动态结构135例杭州学军中学闻杰杭州学军中学闻杰说明：本系列第一部分（1-20）课件于2006年获教育部中央教科所全国课件大赛一等奖，2007年由教育部主管清华大学主办中国多媒体教学学报电子版连载6期发表．现已完善至(21-46)共135个案例.众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：邮编：310005联系电话-Mail:wenj@目录一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线备用课件问题探究1动点P在圆A：上运动，定点，则（1）线段的垂直平分线与直线的交点的轨迹是什么？（2）若，直线过点，与直线的交于点，则点P轨迹又是什么？2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件问题探究2已知定点，定直线：，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点P，满足，请讨论点P的轨迹类型.3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件问题探究3已知两定点，动点满足条件，另一动点Q满足，求动点Q的轨迹方程.4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）备用课件问题探究4已知两定点，动点满足条件，动点Q满足，，求动点Q的轨迹方程.5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件问题探究51．已知动点P在椭圆上，F为椭圆之焦点，，探究是否为定值2．已知点P在双曲线上，F为双曲线之焦点，，探究是否为定值6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件问题探究6过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件问题探究71．已知动点P在椭圆上，为椭圆之左右焦点，点为△的内心，试求点的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线上，为双曲线之左右焦点，圆是△的内切圆，探究圆是否过定点，并证明之.8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数备用课件问题探究8已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，是否存在实常数，使恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.（借用柯西不等式）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数备用课件问题探究9已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，且，是否存在实常数，使恒成立.并由此求四边形ABCD面积的最小值和最大值.10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦点所在直线于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件问题探究10已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，中垂线交轴于点D，是否存在实常数，使恒成立？11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段．备用课件问题探究11已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，直线：交轴于点G，点在直线上的射影分别是，设直线的交点为D，是否存在实常数，使恒成立.12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则N、C、B三点共线，M、C、A三点共线（抛物线的D点在无穷远处）.备用课件问题探究12已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线交椭圆于A，B两点，分别为椭圆的左、右顶点，动点满足试探究点的轨迹.13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则备用课件双曲线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则备用课件抛物线焦点弦端点A、B与另一顶点D连线与相应准线的交点N、M，则（抛物线的D点在无穷远处）备用课件问题探究13已知双曲线，为双曲线之左焦点，过点的直线交双曲线于A，B两点，分别为双曲线的左、右顶点，动点满足动点满足试探究是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处），因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件问题探究14已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，直线：，直线AD交直线于点P，试判断点P、C、B是否三点共线，并证明之.15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分备用课件问题探究15已知椭圆，为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，直线：，直线AD交直线于点P，试证明.16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线备用课件过双曲线实轴上任意一点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N（）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线备用课件问题探究16已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线AD与直线CB交于点P，试证明点P的轨迹为直线.17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值.备用课件问题探究17已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，设直线AB与轴于点，试求的值.18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值实验成果动态课件过椭圆上任点A作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值．即备用课件过双曲线上任点A作两焦点的焦点弦AC，AB，其共线向量比之和为定值．即备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即备用课件问题探究18已知方向向量为的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心和椭圆的右准线上的点满足：.⑴求椭圆的方程；⑵设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为,设，求的值.19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点T（）的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT＝TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T（）的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT＝TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T（）的两条弦端点的直线截过T点的垂线段相等NT＝TM备用课件问题探究19已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，设直线过点T且，交于点N，M，试证明∣TN∣=∣TM∣.20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件过双曲线虚轴上任意一点N（）的两条弦端点作两条直线,一定截过N点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M（）的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM=MQ备用课件问题探究20已知椭圆，过点的直线分别交椭圆于两点和两点，设直线过点T且，交于点N，M，试证明.21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）实验成果动态课件椭圆中心O与点的连线交椭圆于N，交切点弦于点Q，则.且Q点平分切点弦AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线沿直线PO作反向运动.备用课件双曲线中心O与点的连线交双曲线于N，交切点弦于点Q，则.且Q点平分切点弦AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线沿直线PO作反向运动(直线保持平行).备用课件设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N，交切点弦于点Q，则.且Q点平分切点弦AB（无论点P在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P与直线作反向运动(直线保持平行).备用课件问题探究21已知椭圆，过原点，点的直线交椭圆于点N，过点T的中点弦为AB，过A，B分别作切线且交于点P，求证：.22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）实验成果动态课件椭圆外一点P的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，与椭圆切点弦的交点为Q，则成立.反之亦然.备用课件双曲线外一点P的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，与双曲线切点弦的交点为Q，则成立.反之亦然.备用课件过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦的交点为Q，则成立.反之亦然.备用课件问题探究22过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线过点P与抛物线交于两点C、D，与直线AB交于点Q，试探求的值是否为定值.23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）实验成果动态课件过椭圆外一点P的任一直线与椭圆的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足，则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然.备用课件过双曲线外一点P的任一直线与双曲线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足，则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然.备用课件过抛物线外一点P的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，点Q是此直线上另一点，且满足，则点Q的轨迹即为切点弦，反之亦然.备用课件问题探究23已知椭圆，过点T(1,0)的直线，分别交椭圆于两点C、D，点Q在直线上，且满足，试探求点Q的轨迹.24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）实验成果动态课件椭圆中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦.备用课件双曲线中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦.备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦.备用课件问题探究24过抛物线外一点作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，另一直线：与抛物线交于点N，与直线AB交于点Q，求证：（1）N点处的切线与直线AB平行.（2）.25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）实验成果动态课件点T是与椭圆外一点P的切点弦对应的直线上的动点，则与点T对应的切点弦必过定点Q.备用课件点T是与双曲线外一点P的切点弦对应的直线上的动点，则与点T对应的切点弦必过定点Q.备用课件点T是与抛物线外一点P的切点弦对应的直线上的动点，则与点T对应的切点弦必过定点Q.（PQ平行对称轴）备用课件问题探究25过抛物线外一点作抛物线的中点弦AB（Q为AB中点），两条切线PA，PB交于点P，过点P作直线，且∥，点是直线上的动点，过G作抛物线的两条切线GC、GD，求证：直线CD过定点.26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分备用课件问题探究26已知椭圆，点为椭圆之左焦点，过点的直线分别交椭圆于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率.27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N（）的一条弦端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点N（）的一条弦端点与对应点的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过抛物线对称轴上任意一点N（）的一条弦端点与对应点的连线所成角被对称轴平分备用课件问题探究27已知双曲线，过点的直线交双曲线于A，B两点，问是否在x轴上存在一点P，使得斜率.28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线实验成果动态课件过点Q(T,0)的任一直线交椭圆于A，B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，三点共线.备用课件过点Q(T,0)的任一直线交双曲线于A，B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，三点共线.备用课件过点P(T,0)的任一直线交椭圆于A，B两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，P’(-t,0)三点共线.备用课件问题探究28抛物线，直线过点并交抛物线于M、N，若，直线与x轴交于点E，试探究：的夹角是否为定值.29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等.备用课件问题探究29过点作抛物线的切线PA（斜率不为0），为焦点，研究斜率的关系.30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值备用课件问题探究30过点作抛物线的直线PA、PB，且斜率.探究直线AB的斜率是否为定值.（2）试研究三角形PAB的面积是否有最大值.31．圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值备用课件问题探究31已知椭圆的动弦AB的中点为M，试研究斜率是否为定值（O为原点）.32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值备用课件问题探究32已知点P为椭圆上的动点，设点P的切线斜率为，试研究斜率是否为定值（O为原点）.33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质实验成果动态课件椭圆的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于长轴）备用课件双曲线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于实轴）备用课件抛物线的动弦AB的中垂线MQ必不过焦点（AB不垂直于对称轴）备用课件问题探究33已知椭圆的动弦AB的中垂线交x轴于点，试研究的取值范围.34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹实验成果动态课件椭圆的定向弦AB的中点轨迹为过椭圆中心的线段.备用课件双曲线的定向弦AB的中点轨迹为过双曲线中心的直线.备用课件抛物线的定向弦AB的中点轨迹为平行于抛物线对称轴的射线.备用课件问题探究34对于给定的椭圆，怎样用圆规和直尺找出椭圆的中心、对称轴、顶点、焦点、准线35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹实验成果动态课件椭圆的定点弦AB的中点轨迹为原椭圆内的椭圆弧备用课件双曲线的定点弦AB的中点轨迹为双曲线备用课件抛物线的定点弦AB的中点轨迹为抛物线.备用课件问题探究35过点的直线交抛物线于A,B两点，试探求AB中点的轨迹.实验成果动态课件在圆锥曲线焦点所在直线上必存在一定点，它与焦点弦端点所张的向量点积为定值．且在椭圆、双曲线情形下定点坐标为.（为焦点坐标，为离心率）备用课件在抛物线情形下定点C恰为顶点备用课件36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值问题探究36已知椭圆，直线过焦点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值.37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值实验成果动态课件过椭圆长轴直线上任点的直线交椭圆于两点A、B，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值．备用课件（为焦点坐标，为离心率）过双曲线实轴直线上任点的直线交双曲线于两点A、B，则必存在一定点，它与AB弦端点所张的向量点积为定值．备用课件（为焦点坐标，为离心率）过抛物线对称轴直线上任点的直线交抛物线于两点A、B，则必存在一定点C恰为顶点备用课件问题探究37已知椭圆，直线过点交椭圆于A、B两点，是否存在一定点P使为定值.38．圆锥曲面光线反射路径的性质实验成果动态课件由焦点发出的光线经椭圆曲面反射后的光线必过另一焦点备用课件由焦点发出的光线经双曲面反射后的光线所在直线必过另一焦点备用课件由焦点发出的光线经抛物面反射后的光线必过另一焦点（另一焦点在无穷远处，故反射光线会平行于对称轴）备用课件问题探究38要测试一只音响的声音效果，请你设计出一个测试房间，使测试效果尽可能准确.39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质实验成果动态课件过椭圆外一定点与切点连线的中点的任一直线交椭圆于两点,这两点分别与定点的连线交椭圆于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件过双曲线外一定点与切点连线的中点的任一直线交双曲线于两点,这两点分别与定点的连线交双曲线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件过抛物线外一定点与切点连线的中点的任一直线交抛物线于两点,这两点分别与定点的连线交抛物线于另两点,这两点连线的斜率与切线斜率相等备用课件问题探究39抛物线上一点，点P是以H为切点的切线上一点，点M满足，过点P的直线交曲线于两点，过M，D的直线交曲线于点，过P，C的直线交曲线于点，求证：.40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质实验成果动态课件以直角为定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在椭圆上运动时,其对应的定点在一新的椭圆上运动.备用课件以直角为定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在双曲线上运动时,其对应的定点在一新的双曲线上运动.备用课件以直角为定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在斜边的中点轨迹上,且当直角顶点在抛物线上运动时,其对应的定点在一新的抛物线上运动.备用课件问题探究40抛物线上一点，A,B是抛物线上另两点，且，.（1）试探求点Q的轨迹.（2）试探求直线AB是否过定点.41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质实验成果动态课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点椭圆上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆备用课件直角三角形的直角顶点在中心，斜边的端点在双曲线上,则中心在斜边上的射影轨迹是圆备用课件问题探究411.(2009山东卷理)设椭圆E：（A,B>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在,说明理由.2.（2009北京理）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.42．圆、椭圆、双曲线直径性质动点对直径端点的斜率积为定值实验成果动态课件圆上动点对直径端点的斜率积为定值备用课件椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值备用课件双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值备用课件问题探究42已知定点，动点P满足，直线PA，PB的斜率，试探求点P的轨迹.43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶实验成果动态课件椭圆中垂直于长轴的弦的端点对长轴顶点的连线的交点轨迹为与椭圆共顶点的双曲线.备用课件双曲线中垂直于长轴的弦的端点对实轴顶点的连线的交点轨迹为与双曲线共顶点的椭圆.备用课件抛物线中垂直于对称轴的弦的端点对顶点的连线的交点轨迹为与抛物线共顶点的抛物线.备用课件问题探究43已知椭圆的动弦垂直交x轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线交点的轨迹.44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差实验成果动态课件过x轴上一定点Q(t，0)的直线交椭圆于两点A，B，则在直线上任一点对弦AB端点及定点的连线的斜率成等差.备用课件过x轴上一定点Q(T，0)的直线交双曲线于两点A，B，则在直线上任一点对弦AB端点及定点的连线的斜率成等差.备用课件过x轴上一定点M(T，0)的直线交抛物线于两点A，B，则在直线上任一点对弦AB端点及定点的连线的斜率成等差.备用课件问题探究44过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点.（Ⅰ）试证明两点的纵坐标之积为定值；（Ⅱ）若点是定直线上的任意一点，分别记直线的斜率为，试探求之间的关系，并给出证明.45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质实验成果动态课件椭圆的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为.备用课件双曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为.备用课件抛物线还未找到相应性质问题探究45已知直线是过椭圆上一点的切线.（1）求两焦点到切线的距离积.（2）当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离积是否为定值.46．椭圆、双曲线的中心与共轭点距离等积实验成果动态课件过椭圆对称轴上任一定点Q(t,0)动弦AB，一端点与另一点关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值.备用课件过双曲线对称轴上任一定点Q(T,0)动弦AB，一端点与另一点关于坐标轴的对称点的连线交对称轴于点P，则定值.备用课件抛物线还未找到相应性质问题探究46设椭圆的右焦点弦AB，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点.（1）求的值.（2）若点Q(t,0)是对称轴上任一定点，动弦AB所在直线过点Q，端点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点，试研究是否为定值，其定值与椭圆的几何量有何关系？圆锥曲线的对称问题问题1：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？Q点是P与P′的中点，即满足问题2：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′．问题3：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x′且y=-y′．问题4：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y′且x=-x′．问：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？y=x′且x=y′．问题5：双曲线与的位置如何？它们关于直线y=x对称．问题6：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称,及P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等问题7：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．问题8：两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上．这两个条件能否用方程表示：方程组：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．例1

已知直线和关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若的方程是3x-2y+1=0，求的方程．(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设的斜率为，由两条直线的夹角公式可求出，再用点斜式求得的方程．解：由得交点(0，)，设的斜率为，由两直线的夹角公式得：∴=由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0．另解：在直线上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出的直线方程。解

由方程组：得交点(0，)，在直线上任取一点P(1,2)，找P关于2－2+1=0的对称点P′(′，′)，如图。从得。∴P′（，）由直线2－2＋1＝0与的交点（0，）得直线的方程：4－6＋3＝0另解：在上任取一点P(，)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入问题就解决了．解

设P(x，y)为上的任意一点，则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在上(如图2-75)， ∵得：又因为P′(x′，y′)在直线：3x-2y+1=0上，所以3·x′-2y′+1=0．∴∴的方程为：4x-6y+3=0．问题9：如果把改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？引申：已知曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．可先在y=x2上任取一点P0(x0，y0)，它关于直线的对称点P′(x1，y1)，可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可(如图2-76)．解

设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．由得交点由中点坐标得：＝－2，＝＋2，代入曲线C得：－2＝(＋2)，于是可知所求的对称曲线方程是：=+4+6解法二：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上．∴得代入C的方程可得=+4+6例2已知点A(0,2)和圆C：(-6)+(-4)=，一条光线从A点出发射到轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．(如图2-77)解

已知点A关于x轴的对称点为A′(0，-2)，所求的路程即为|A′D|。在Rt△A′CD中，|A′D|=|A′C|-|CD|。∴|A′D|==光线从A点到切点所经过的路：|AM|+|MD|=。变式1：若已知A(0，2)，D(4，