适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练40数列中的构造问题新人教A版

课时规范练40数列中的构造问题基础巩固练1.(2024·宁夏六盘山模拟)已知数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an等于()A.22n+1+2 B.22n+1-2C.22n-1+2 D.22n-1-22.(2024·江苏盐城高三期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an4,则a6的值为(A.220 B.224C.21024 D.240963.(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}中,a1=1且an+1=3anan+3(n∈N*),则aA.16 B.C.13 D.4.(多选题)(2024·广东顺德一中校考)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=ann,则下列结论正确的是(A.b3=4 B.{bn}是等差数列C.b4=16 D.an=n·2n-15.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+3,且Sn=1450,若a2<4,则n的最大值为()A.50 B.51 C.52 D.536.(2024·广西梧州模拟)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1,则{an7.(2024·江西景德镇模拟)已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则数列{an}的通项公式为.

8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为.

9.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为.

10.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=23an+1+13an,求{an}综合提升练11.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2an+1+1,则a10=(A.80 B.100 C.120 D.14312.已知数列{an}满足an+1=2an+4·3n-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为.

13.已知a1=3,an+1=3an-4an-2创新应用练14.用砖砌墙,第一层用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,……以此类推,每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块,到第10层恰好把砖块用完,则此次砌墙一共用了块砖.

课时规范练40数列中的构造问题1.C解析因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2),所以an+1-2an-2=4,又a1-2=2,所以数列{an-2}是一个以2为首项,以4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以an2.C解析an+1=an4,a1=2,易知an>0,故lnan+1=4lnan,故{lnan}是首项为ln2,公比为4的等比数列,lnan=4n-1·ln2,lna6=45·ln2=ln21024,故a6=23.A解析由an+1=3anan+3得1an+1=an+33an=1an+13,又1a1=1,∴数列{1an}是以4.AD解析由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,故B错误;可得bn=ann=2n-1,所以an=n·2n-1,故D正确;则b3=4,b45.B解析∵an+1+an=2n+3,∴an+1-(n+2)=-(an-(n+1)),∴{an-(n+1)}是以-1为公比的等比数列,∴an-(n+1)=(a1-2)·(-1)n-1,an=(n+1)+(a1-2)·(-1)n-1,∴Sn=[2+3+…+(n+1)]+(a1-2)[1+(-1)+(-1)2+…+(-1)n-1]=n(n+3)2+(a1-2)1-(-1)n2.当n为偶数时,Sn=n(n+3)2=1450无解,当n为奇数时,Sn=n(n+3)2+a1-2=1450,∴a1=1452-n(n+3)2,又a1+a2=5,∴a2=5-a1<4,即a1>1,即n(n+3)<2902,y=n(n+3)6.an=26n-5解析由an+1=an3an+1,两边取倒数得1an+1=3an+1an=3+1an,即1an+1-1an=3,7.an=n·2n-1解析当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则ann=2·an-1n-1,而a11=1,因此数列{ann}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ann=1×2n-1=2n-8.an=3n-2n解析an+1=2an+3n两边同除以3n+1,得an+13n+1=23·an3n+13,令bn=an3n,则bn+1=23bn+13,设bn+1+λ=23(bn+λ),解得λ=-1,则bn+1-1=23(bn-1).而b1-1=-23,所以数列{bn-1}是以-239.an=2·3n-n-1解析设an+pn+q=3[an-1+p(n-1)+q],化简后得an=3an-1+2pn+(2q-3p),所以2p=2,2q-3p=-1,解得p=1,q=1,即an+n+1=3(an-1+n-1+1).令bn=an+n+1,则bn=3bn-1.又b1=6,故bn=6·3n-1=2·3n,又10.解设an+2-san+1=t(an+1-san),即an+2=(s+t)an+1-stan,所以s解得s=1,t不妨令an+2-an+1=-13(an+1-an),又a2-a1=1,所以{an+1-an}是以1为首项,-13为公比的等比数列,则an+1-an=(-13)n-1,累加得an-a1=(-13)0+(-13)1+…+(-13)n-2=1-(-an=74-34·(-13)又a1=1符合上式,故an=74-34·(-11.C解析易得an>0,因为an+1=an+2an+1+1,所以an+1+1=(an+1)2+2an+1+1,即an+1+1=(an+1+1)2,等式两边开方可得an+1+1=an+1+1,即an+1+1-an+1=1,所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,1为公差的等差数列,所以an+1=212.an=4×3n-1-5×2n-1解析(方法一)设an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1),整理得an+1=2an-λ·3n-1,可得λ=-4,即an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),又a1-4×31-1=-5≠0,所以数列{an-4·3n-1}是首项为-5,公比为2的等比数列,所以an-4×3n-1=-5×2n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1.(方法二)(两边同除以qn+1)两边同时除以3n+1,得an+13n+1=23×an3n+49,整理得an+13n+1-43=23×(an3n-43),又a13-43=-5(方法三)(两边同除以pn+1)两边同时除以2n+1,得an+12n+1=an2n+(32)n-1,即an+12n+1-an2n=(32)n-1,当n≥2时,an2n=(an2n-an-12n-1)+(an-12n-1-an-22n-2)+…+(a222-a12)+a12=(32)n-2+(32)13.解an+1-1=3an-4anan+1-4=3an-4an由①÷②得an+1-1a又因为a1-1a1-4=-2,所以{an-1an-4}是首项为-2,公比为-2的等比数列14.2046解析设此次砌墙一共用了S块砖,砌好第n层