适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练47平面向量的综合应用新人教A版

课时规范练47平面向量的综合应用基础巩固练1.已知点P为△ABC所在平面内一点,且AP=13AB+tAC(t∈R),若点P落在△ABC的内部,则实数tA.(0,34) B.(1C.(0,1) D.(0,232.(2024·广东珠海模拟)P是△ABC所在平面上一点,满足|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,则△ABCA.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形3.(2022·北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]4.(2024·北京昌平高三期末)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,(c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值是(A.2-1 B.5C.5+12 D.25.在△ABC中,AB=3,AC=4,点P是△ABC的外心,则AP·BC=(A.3 B.72C.4 D.96.已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(1,0),则|PA+PB+PC|7.(2020·天津,15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD=λBC,AD·AB=-32,则实数λ的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则综合提升练8.(2024·湖南益阳模拟)如图所示,边长为2的等边三角形ABC,以BC的中点O为圆心,BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC,点P在圆弧上运动,则AB·AP的取值范围为(A.[2,23] B.[2,5]C.[2,4] D.[4,33]9.(2024·河北唐山模拟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的一点,且BC=4BD,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若AM=λAB,AN=μAC(λ>0,μ>0),则μ-1λ的最小值是A.23-4C.233-7 D创新应用练10.(2022·浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则PA12+PA22

课时规范练47平面向量的综合应用1.D解析因为点P落在△ABC的内部,所以A,P两点在直线BC的同一侧,所以13+t<1,且t>0,所以0<t<23.2.B解析由|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,可得|CB|=|PB+PC-2PA|,即|CB|=|AB+AC|,|AB-AC|=|AC+AB|,把等式|AB-AC|=|AC+AB|两边平方,化简得AB3.D解析依题意建立如图所示平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),因为PC=1,所以点P在以C为圆心,1为半径的圆上运动.设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],则PA=(3-cosθ,-sinθ),PB=(-cosθ,4-sinθ),所以PA·PB=(-cosθ)×(3-cosθ)+(4-sinθ)×(-sinθ)=cos2θ-3cosθ-4sinθ+sin2θ=1-3cosθ-4sinθ=1-5sin(θ+φ),其中sinφ=35,cosφ=45.因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6,即4.C解析把a,b平移到共起点,以b的起点为原点,b所在的直线为x轴,与b所在直线垂直的直线为y轴,建立如图所示坐标系,设OB=b,OA=a,OC=c,则c-a=AC,c-b=BC.又(c-a)·(c-b)=0,所以AC⊥BC,则点C的轨迹为以AB为直径的圆,又因为|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,所以B(1,0),A(1,1),故以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-12)2=14,所以|c|的最大值就是以AB5.B解析取BC的中点D,连接AD,PD(图略),则PD⊥BC.AP=AD+DP,AD=12(AB+AC),BC=AC-AB6.[1,5]解析因为AB⊥BC,所以AC为圆的直径.以AC中点O为原点,建立平面直角坐标系(图略).设B(x,y)(-2≤x≤2),则PO=(-1,0),PB=(x-1,y),所以PA+PB+PC=2PO+PB=(x-3,y),故|PA+PB+PC|=|2PO+PB|=(x-3)2+y2=7.16132解析∵AD=λBC,∴AD·AB=λBC·AB=λ|BC||AB|·cos120°=λ×6×3×-12=-32,∴λ=16.令BM=μBC(0<μ≤56),则BN=BM+MN=μBC+16BC=μ+16BC,DM=DA+AB+BM=-16BC+AB+μBC=μ-16BC-BA,DN=DA+AB+BN=-18.B解析过点O作OD∥AB交半圆弧于点D,连接AO,OP,如图.因为△ABC是正三角形,则∠BOD=π3,令OP,AB夹角为θ,当点P在弧BD上时,0≤θ≤π3,当点P在弧CD上时,0≤θ≤2π3,于是-12≤cosθ≤1,显然AO=3,OP=1,∠OAB=π6,AP=AO+OP,所以AB·AP=AB·(AO+OP)=AB·AO+AB9.A解析因为M,D,N三点共线,所以可设MD=tDN(t∈R),则AD-AM=t(AN-AD),又AD=AB+BD=AB+14BC=AB+14(AC-AB)=34AB+14AC,所以34AB+14AC-AM=t(AN-34AB-14AC),又AM=λAB,AN=μAC,所以34AB+14AC-λAB=t(μAC-34AB-14AC),所以(34-λ)10.[12+22,16]解析如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴