专题07 特殊平行四边形的综合问题含答案备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练

备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题07特殊平行四边形的综合问题【典型例题】1．(2021·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末)在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．【专题训练】选择题1．(2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模)如图，在菱形ABCD中，点F在线段CD上，连接EF，且∠CBE+∠EFC＝180°，DF＝2，FC＝3．则DB＝()A．6 B． C．5 D．2．(广西壮族自治区玉林市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中错误的是()A．四边形是平行四边形B．若，则四边形不一定是矩形C．若四边形是菱形，则是等腰三角形D．若四边形是正方形，则是等腰直角三角形3．(2022·重庆南开中学八年级开学考试)如图所示，在长方形中，，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点．将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为()A．3 B． C．4 D．4．(2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，其中正确的是()A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题5．(四川省成都市高新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为_____cm2．6．(2021·广东南海·二模)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是________．7．(2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中二模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________________．8．(2021·广东东莞·二模)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，P、Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是______．三、解答题9．(2021·广东·一模)如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．(1)求证：△EGF≌△EDF；(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．10．(2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．(1)则CQ的长度为(用含t的式子表示)；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，求t的值．11．(2022·云南省昆明市第二中学九年级期末)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，连结、．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求的长；(3)连结，若，求的值．12．(2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和点Q，连接EF、EP(s)(0＜t＜4)．(1)t为何值时四边形ABEF是矩形？四边形ABEF能否为正方形？并说明理由．(2)连接DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值．(3)运动时间t为何值时，EF⊥AC？13．(2021·广东南海·二模)如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．(S△BCF表示△BCF的面积)(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与钱段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．14．(2021·广西·南宁二中九年级开学考试)(1)感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点AB重合)，连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：．(2)探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．(3)应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______．15．(2022·重庆大渡口·九年级阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，其中，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作，交DC延长线于点G．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)图中，．①当时，以点B为原点，射线BC为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在的内部(不含边界)，求CF的取值范围．备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题07特殊平行四边形的综合问题【典型例题】1．(2021·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末)在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；(2)如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE(ASA)，得AH＝DE，再证△DJH≌△DKE(AAS)，得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF＝,FJ，进而得出结论；(3)如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由(2)得△ABH≌△DAE(ASA)，则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR＝DQ＝．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵DG⊥AE，BF⊥AE∴∠AFB＝∠DGA＝90°∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°∴∠BAF＝∠ADG在△AFB和△DGA中∵∴△AFB≌△DGA(AAS)．(2)证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°∴∠DAE＝∠ABH在△ABH和△DAE中∵∴△ABH≌△DAE(ASA)∴AH＝DE∵点E为CD的中点∴DE＝EC＝CD∴AH＝DH∴DE＝DH∵DJ⊥BJ，DK⊥AE∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°∴四边形DKFJ是矩形∴∠JDK＝∠ADC＝90°∴∠JDH＝∠KDE在△DJH和△DKE中∵∴△DJH≌△DKE(AAS)∴DJ＝DK，JH＝EK∴四边形DKFJ是正方形∴FK＝FJ＝DK＝DJ∴DF＝FJ∴∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b由(2)得△ABH≌△DAE(ASA)∴AH＝DE∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点∴PD＝EH＝PH＝PE∵PK⊥DH，PT⊥DE∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°∴四边形PTDK是矩形∴PT＝DK＝b，PK＝DT∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE∴PT是△DEH的中位线∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT∴AH＝DE＝1﹣2b∴PK＝DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b∴PK＝QK∵∠PKQ＝90°∴△PKQ是等腰直角三角形∴∠KQP＝45°∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形∴QR＝DQ＝∴点P的运动轨迹的长为．【点睛】本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．【专题训练】选择题1．(2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模)如图，在菱形ABCD中，点F在线段CD上，连接EF，且∠CBE+∠EFC＝180°，DF＝2，FC＝3．则DB＝()A．6 B． C．5 D．【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得BD=2DE，BC=CD=5，从而得到∠CBE=∠CDB，再由∠CBE+∠EFC＝180°，可得∠CBE=∠CDB=∠DFE，从而得到△DEF∽△DCB，可得到，解得，即可求解．【详解】解：在菱形ABCD中，BD=2DE，BC=CD=DF+FC=2+3=5，∴∠CBE=∠CDB，∵∠CBE+∠EFC＝180°，∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠CBE=∠DFE，∴∠CBE=∠CDB=∠DFE，∵∠CDB=∠EDF，∴△DEF∽△DCB，∴，∴，∴，解得：，∴．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键．2．(广西壮族自治区玉林市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中错误的是()A．四边形是平行四边形B．若，则四边形不一定是矩形C．若四边形是菱形，则是等腰三角形D．若四边形是正方形，则是等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．【详解】解：点，，分别是，，的中点，，，，，四边形是平行四边形，故正确；若，四边形是矩形，故错误；若四边形是菱形，则，，是等腰三角形，故正确，若四边形是正方形，则，，，，是等腰直角三角形，故正确，故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质是解本题的关键．3．(2022·重庆南开中学八年级开学考试)如图所示，在长方形中，，在线段上取一点，连接、，将沿翻折，点落在点处，线段交于点．将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上，且点为的中点，则线段的长为()A．3 B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】设长为，根据图形沿着某条边折叠所得的两个图形全等，得出A=AB=CD=D，，利用AAS再证，F即是AD的中点，已知再根据边之间的长度关系列出等式，解方程即可．【详解】解：设F长为，∵沿翻折，点落在处，沿翻折，使点的对应点落在线段上，∴A=AB=CD=D，，在△AB′F和△DC′F中，∴(AAS)，∴=，AF=DF，∴，∵点为的中点，∴，∴，得，经检验是方程的解，并符合题意，∴．故选：A．【点睛】本题考查图形折叠问题，矩形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题关键．4．(2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，其中正确的是()A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确．【详解】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC=FG，故①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵，FG⊥CA，∴，∴四边形CBFG是矩形，∴CBF=90°，，故②正确；∵CA=CB，，∴，故③正确；∵，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，故④正确；∴正确的有①②③④．故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．二、填空题5．(四川省成都市高新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题)如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为_____cm2．【答案】4【解析】【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，∵AB＝cm，∴AO＝＝＝2(cm)，∴AC＝2AO＝4cm．∴S菱形ABCD＝(cm2)．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．6．(2021·广东南海·二模)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是________．【答案】【解析】【分析】由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝xcm，则CE＝AB﹣DE＝(8﹣x)cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得，计算求解即可．【详解】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE∵四边形ABCD为矩形∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°∵∴由勾股定理得(cm)∴AD＝BC＝10(cm)∴CF＝BC﹣BF＝4(cm)设EF＝DE＝xcm，则CE＝(8﹣x)cm在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+(8﹣x)2解得：x＝5∴DE＝5cm在Rt△ADE中，由勾股定理得(cm)故答案为：cm．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．7．(2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中二模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________________．【答案】【解析】【分析】证四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得出EF=CP，根据垂线段最短得出CP⊥AB时，CP最短，然后根据三角形的面积公式求出此时CP值即可．【详解】解：连接CP，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，∴四边形EPFC是矩形，∴EF=CP，当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CP，∴CP=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识点；能求出EF最短时P点的位置是解此题的关键．8．(2021·广东东莞·二模)如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，P、Q分别是边BC，CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长最小时，四边形AEPQ的面积是______．【答案】####【解析】【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．【详解】解：如图所示：作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，此时四边形AEPQ的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴，，，∴∴∴DQ＝AE′＝2，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴＝，即＝，BP＝，S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S△BEP＝＝＝．故答案为：【点睛】此题考查轴对称、相似三角形的判定及性质、平行线的性质等知识，利用轴对称作出辅助线确定得出P、Q的位置是解题关键．三、解答题9．(2021·广东·一模)如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．(1)求证：△EGF≌△EDF；(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)4【解析】【分析】(1)由翻折和矩形的性质可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通过HL证明Rt△EGF≌Rt△EDF；(2)根据点F是CD的中点知：CF＝CD，BF＝，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程．(1)证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵点E是AD的中点，∴EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF与Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL)．(2)由(1)知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，∵点F是CD的中点，∴GF＝DF＝CF＝，在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折叠可知AB＝GB，∴GB＝CD，∴BF＝GB+GF＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得：∴，∵CD＞0，∴CD＝．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边相等是解题的关键．10．(2022·湖南·长沙市湘一立信实验学校八年级期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．(1)则CQ的长度为(用含t的式子表示)；(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；(3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，求t的值．【答案】(1)5﹣t；(2)当t秒时，四边形ABQP是平行四边形；(3)【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证△APO≌△CQO，则AP＝CQ，再利用即可得出答案；(2)由平行四边形性质可知AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，建立一个关于t的方程，解方程即可求出t的值；(3)在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长度，进而求出AO的长度，然后利用的面积求出EF的长度，进而求出OE的长度，而AE可以用含t的代数式表示出来，最后在中利用勾股定理即可求值．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO(ASA)，∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝BC-CQ=5﹣t；故答案为：5﹣t；(2)∵AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5﹣t，t＝，∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；(3)t＝，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC=∴AO＝CO＝AC＝2，∴3×4＝5×EF，∴，∴，∵OE是AP的垂直平分线，∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，或(舍去)∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是解题的关键．11．(2022·云南省昆明市第二中学九年级期末)如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，连结、．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，，求的长；(3)连结，若，求的值．【答案】(1)四边形是菱形．理由见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得，从而得AE=CF，即可证得四边形AFCE是平行四边形，进而可得四边形AFCE是菱形；(2)设，，由四边形AECF是菱形及勾股定理可求得m，从而可得BC的长，由勾股定理可求得AC的长，从而可得OC的长，再由勾股定理求得OF的长，最后求得EF的长；(3)设，，由矩形的性质及BE⊥CE，易得，由相似三角形的性质可得关于a、b的方程，即可求得的值，从而求得结果．(1)四边形是菱形．理由如下：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵是的垂直平分线，∴，，在和中，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；(2)∵，∴设，，∵四边形是菱形，∴，EF=2OE=2OF，，AC⊥EF，在中，∵，∴，∴，∴，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，在Rt△OCF中，由勾股定理得：∴，∴．(3)设，，则，，．∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或(舍去)，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．12．(2022·成都市龙泉驿区四川师范大学东区上东学校九年级期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和点Q，连接EF、EP(s)(0＜t＜4)．(1)t为何值时四边形ABEF是矩形？四边形ABEF能否为正方形？并说明理由．(2)连接DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值．(3)运动时间t为何值时，EF⊥AC？【答案】(1)t=时，四边形ABEF是矩形；四边形ABEF不能为正方形，理由见解析.(2)t值为2；(3)运动时间t为s时，EF⊥AC.【解析】【分析】(1)由四边形ABEF是矩形，可得：AF＝BE，然后分别用含有t的式子表示A与BE即可求t的值；若四边形ABEF为正方形，则AB=BE=AF，即可判断；(2)由四边形EQDF为平行四边形，可得：DF＝EQ，然后分别用含有t的式子表示DF与EQ即可求t的值；(3)先确定出AC＝10，进而得出∠ACB的余弦值，利用三角函数得出CP，CG，即可得出PG，再判断出△PFG∽△EFQ，建立方程即可得出结论，(1)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∵点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，∴t秒后，BE=2t，AF=AD-DF=8-t，∵四边形ABEF是矩形，∴BE=AF，即2t=8-t，解得t=，故t=时，四边形ABEF是矩形；四边形ABEF不能为正方形.理由：当t=时，BE=AF=，故四边形ABEF不能为正方形.(2)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝10，∵FQ⊥BC，∴∠FQC＝90°，∴四边形CDFQ是矩形，∴DF＝QC，DC＝FQ＝6cm，t秒后，BE＝2t，DF＝QC＝t，∴EQ＝BC−BE−QC＝8−3t，∵四边形EQDF为平行四边形，∴FD＝EQ，即：8−3t＝t，解得：t＝2，故t值为2；(3)解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，根据勾股定理得，AC＝10cm，∵∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，FQ⊥BC于Q，∴四边形CDFQ是矩形，∴CQ＝DF，由运动知，BE＝2t，DF＝t，∴CQ＝t，CE＝BC−BE＝8−2t，AF＝8−t，∴EQ＝CE−CQ＝8−3t，在Rt△ABC中，cos∠ACB＝，在Rt△CPQ中，cos∠ACB＝，∴CP＝t，∵EF⊥AC，∴∠CGE＝90°＝∠ABC，∴∠ACB＋∠FEQ＝90°，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠FEQ＝∠BAC，∴△ABC∽△EQF．∴，即，∴EQ＝，∴8−3t＝，解得：t＝s，故运动时间t为s时，EF⊥AC.【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，动点问题，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．13．(2021·广东南海·二模)如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．(S△BCF表示△BCF的面积)(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与钱段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．【答案】(1)见解析(2)2或6(3)【解析】【分析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△CBF；(2)由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；(3)先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF(SAS)；(2)解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+(4﹣EH)2，∴EH＝1或3，当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由(1)同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．14．(2021·广西·南宁二中九年级开学考试)(1)感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点(点E不与点AB重合)，连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：．(2)探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点(点E，F不与正方形的顶点重合)，连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．(3)应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______．【答案】(1)见解析；(2)；(3)，【解析】【分析】感知：由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，证得∠ADE＝∠BAF，由ASA证得△DAE≌△ABF(ASA)，即可得出结论；探究：分别过点A、D作，分别交BC、AB于点N、M，由正方形的性质得出，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形DMEF是平行四边形，ME＝DF＝1，DM＝EF，证出DM⊥GH，同理，四边形AGHN是平行四边形，GH＝AN，AN⊥DM，证得∠ADM＝∠BAN，由ASA证得△ADM≌△BAN，得出DM＝AN，推出DM＝GH，由E为AB中点，得出AE＝AB＝2，则AM＝AE﹣ME＝1，由勾股定理得出DM＝，即可得出结果；应用：S正方形ABCD＝9，由阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，由SAS证得△ABE≌△BCF，得出∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S四边形CEGF，则S△ABG＝，∠FBC+∠BEA＝90°，则∠BGE＝90°，∠AGB＝90°，设AG＝a，BG＝b，则，2ab＝6，由勾股定理得出a2+b2＝AB2＝32，a2+2ab+b2＝15，即(a+b)2＝15，得出a+b＝，即可得出结果．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴≌(ASA)，∴．探究：解：分别过点A、D作，，分别交BC、AB于点N、M，如图②所示：∵四边形ABCD是正方形，∴，，，∴四边形DMEF是平行四边形，∴，，∵，，∴，同理，四边形AGHN是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴≌(ASA)，∴，∴，∵E为AB中点，∴，∴，∴，∴．应用：解：∵AB＝3，∴S正方形ABCD＝3×3＝9，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为：×9＝6，∴空白部分的面积为：9﹣6＝3，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S四边形CEGF，∴S△ABG＝×3＝，∠FBC+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠AGB＝90°，设AG＝a，BG＝b，则ab＝，∴2ab＝6，∵a2+b2＝AB2＝32，∴a2+2ab+b2＝32+6＝15，即(a+b)2＝15，而∴a+b＝，即BG+AG＝，∴△ABG的周长为+3，故答案为：，．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键．15．(2022·重庆大渡口·九年级阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，其中，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作，交DC延长线于点G．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)图中，．①当时，以点B为原点，射线BC为正半轴建立平面直角坐标系．平面内是否存在一点M，使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N落在的内部(不含边界)，求CF的取值范围．【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2)①或或；②【解析】【分析】(1)过点E作，交FC于M，根据菱形的性质得，故，推出，由得，故是等边三角形，根据ASA证明，由全等三角形的性质得，即可得出答案；(2)①首先求出点E的坐标，求出CD的函数解析式，根据求出点G的坐标，从而求出点M的坐标；②找出点N落在DC上的位置，求出CF的长度，当N落在DE上时，求出CF的长度，从而确定CF的范围．(1)是等边三角形，理由如下：如图，过点E作，交FC于M，∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，,∵，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴是等边三角形；(2)①如图所示，过点A作轴交于点T，∵，∴，∴，，过点E作轴交于点H，交AB于点K，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，，∴，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，，∴CD的解析式为，设，∵是等边三角形，∴，即，解得：或(舍去)，当时，，∴，当是菱形EFMG时，，当是菱形EFGM时，，当是菱形FGEM时，，综上所述，或或；②如图，当N在CD上时，作于P，点关于AB的对称点N在CD上，∴，，∴，在中，，∴，如图，当N在DE上时，N与关于AB对称，AB与DN交于点Q，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称性质以及三角函数，解题关键是灵活应用相关知识．备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题08圆的综合问题【典型例题】1．(2022·广东花都·九年级期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【专题训练】选择题1．(2022·浙江新昌·九年级期末)已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为()A． B．2πcm C．4cm D．2．(2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为()A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°3．(2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为()A． B． C． D．4．(2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末)如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．∠OAB＝38°，则∠E的度数为()A．52° B．38° C．30° D．26°5．(2022·安徽潜山·九年级期末)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝()A． B． C． D．6．(2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测)如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE的中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠DQN=15°，DQ＝，则NQ的长为()A．2 B．3 C．2 D．2+二、填空题7．(2021·广东·可园中学二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°．8．(2021·广东·珠海市紫荆中学三模)如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)则这个圆锥的底面圆半径为___．9．(2022·内蒙古乌兰察布·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，∠A＝60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD＝10，则AB＝_____，BC＝_____．10．(2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC．若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为_____．11．(2021·天津·耀华中学九年级期中)如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为______．12．(2022·广东白云·九年级期末)如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则____________°．三、解答题13．(2021·广东濠江·一模)如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．14．(2022·云南昆明·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．(结果保留根号及π)15．(2021·江苏徐州·九年级期中)如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积16．(2021·天津滨海新·九年级期末)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BE=4，DE=8，求CD的长．17．(2022·江苏江都·九年级期末)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA=DC，线段DC，AB的延长线交于点E．(1)求证：直线DC是⊙O的切线；(2)若BC=4，∠CAB=30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．18．(2022·吉林市第五中学九年级期末)如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．(1)求∠AOC的度数；(2)若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积(结果保留π)．19．(2021·北京市师达中学九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若⊙O的半径为5，sin∠DAC＝，求BD的长．20．(2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：DN2＝BN•(BN+AC)；(3)若BC＝6，cosC＝，求DN的长．21．(2021·广东惠城·九年级期末)如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是上的一点．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；(3)在(2)的条件下，若OA＝18，求的长．22．(2021·广东禅城·二模)如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点D，E是BD的中点，分别延长AB、CE相交于点P；(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)如图2，若CH⊥AB于H，连接AE与交CH于N，求证：N是HC的中点；(3)在(2)的条件下，若BE＝EN，且BH＝2，求⊙O的半径．23．(2021·广东韶关·一模)如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．24．(2022·广东潮安·九年级期末)如图，在中，，D为AB边上的一点，以AD为直径的交BC于点E，交AC于点F，过点C作于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q(EP不是直径)，点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为的切线．(1)求证：BC是的切线；(2)求证：AE平分；(3)若，，，求四边形CHQE的面积．备战2024年中考复习重难点与压轴题型专项突围训练专题08圆的综合问题【典型例题】1．(2022·广东花都·九年级期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【答案】(1)证明见解析(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析(3)6【解析】【分析】(1)连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．(2)过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．(3)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．(1)解：如图，连接OD，交BC于点N，AB为直径弦AD平分∠BAC，四边形CNDM为矩形OD为圆的半径MD是⊙O的切线(2)解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小弦AD平分∠BAC，与的度数为AB是直径，AB是直径为半圆FD为圆的直径由(1)知：MD是⊙O的切线由题意得：AB垂直平分FC由(1)知：四边形CNDM为矩形在中在中EC+EM的最小值为．(3)解：如图FC平分，AD平分，解得或(不合题意，舍去)【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．【专题训练】选择题1．(2022·浙江新昌·九年级期末)已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则弧长为()A． B．2πcm C．4cm D．【答案】B【解析】【分析】扇形的弧长=圆形周长×，根据公式列出算式计算即可．【详解】解：扇形的弧长：，故选：B．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键．2．(2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，，则∠BAC的度数为()A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【答案】A【解析】【分析】连接OC，由可求得∠AOC的度数，由等腰三角形的性质即可求得∠BAC的度数．【详解】如图，连接OC∵∴∴∵OA=OC∴故选：A【点睛】本题考查了弧的关系与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，关键是掌握弧的关系与圆心角的关系．3．(2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB＝60°，EB＝2，那么CD的长为()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可得CE，进而问题可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，∴，∵∠DOB＝60°，∴，∵EB＝2，∴，∴，∴；故选D．【点睛】本题主要考查勾股定理、垂径定理及圆周角定理，熟练掌握勾股定理、垂径定理及圆周角定理是解题的关键．4．(2022·内蒙古巴彦淖尔·九年级期末)如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．∠OAB＝38°，则∠E的度数为()A．52° B．38° C．30° D．26°【答案】D【解析】【分析】由OD⊥AB，得到，，求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理求出∠E的度数．【详解】解：∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴，，∵∠OAB＝38°，∴，∴．故选：D．【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆周角定理，熟记定理并熟练应用是解题的关键．5．(2022·安徽潜山·九年级期末)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝()A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，由tan∠ADC＝tan∠ABC求出答案．【详解】解：连接AC、BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°,∵∠ABC=∠ADC，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝，故选：B．．【点睛】此题考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，求角的正切值，熟记圆周角定理及角的正切值公式是解题的关键．6．(2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测)如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD＝AE，连接AD和BE，点P为BE的中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠DQN=15°，DQ＝，则NQ的长为()A．2 B．3 C．2 D．2+【答案】B【解析】【分析】连接P点与O点，Q点与O点，根据中位线定理可知，PO=QO,且PO⊥QO，进而可知∠NQO=45°，过Q作QF垂直于BC，通过中位线定理可证∠DQF=30°进而可计算则NQ的长度．【详解】解：如图所示，连接P点与O点，Q点与O点，∵点P为BE的中点，O为AB的中点，∴PO∥AE，PO=AE，∵点Q为AD中点，O为AB的中点，∴QO∥BD，QO=BD，∵AC和BC互相垂直，∴PO=QO,且PO⊥QO,∴∠NQO=45°，过Q作QF垂直于BC,则QF∥AC,∴QF⊥OQ，∴∠DQF=90°－∠NQO－∠DON=30°∵DQ＝，且QF⊥BC，∴，∵∠NQF=15°＋30°=45°，∴，故选：B．【点睛】本题考查中位线定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，能够构造适合的辅助线是解决此类题型的关键．二、填空题7．(2021·广东·可园中学二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝__°．【答案】140【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角与圆心角的关系定理，熟练掌握两个性质是解题的关键．8．(2021·广东·珠海市紫荆中学三模)如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)则这个圆锥的底面圆半径为___．【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形弧长与底面圆周长相等，列方程，解方程即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意，解得．故答案为：．【点睛】本题考查扇形的弧长公式，圆的周长，一元一次方程的解法，掌握扇形的弧长公式，圆的周长，一元一次方程的解法是解题关键．9．(2022·内蒙古乌兰察布·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，∠A＝60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD＝10，则AB＝_____，BC＝_____．【答案】40【解析】【分析】先证明再证明利用三角形的中位线求解再利用锐角三角函数求解即可.【详解】解：AB是⊙O的直径，OD⊥BC，而而∠A＝60°，故答案为：【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，证明是三角形的中位线是解本题的关键.10．(2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC．若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为_____．【答案】【解析】【分析】连接OD，根据AD平分∠BAC，OA=OD，推出，得到∠DOB的度数，勾股定理求出BD，利用求出阴影面积．【详解】解：连接OD，∵AD平分∠BAC．∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴，∴∠DOB=∠BAC＝60°，∠ODB=∠C＝90°，∴∠B=30°，∴OB=2OD=4，，∴阴影部分的面积=，故答案为：．【点睛】此题考查了扇形面积公式，勾股定理，直角三角形30度角的性质，角平分线的证明，平行线的判定及性质，解题的关键是证明出．11．(2021·天津·耀华中学九年级期中)如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为______．【答案】【解析】【分析】如图，过点B作BE⊥CD，交⊙O于E，连接AE，交CD于P，连接BP，OE，根据垂径定理可得CD垂直平分线BE，根据垂直平分线的性质可得BP=PE，可得PA+PB=PA+PE，即可得出AE为AP+BP的最小值，根据∠AOD＝2∠AOB＝60°可得∠BOD=30°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠DOE=∠BOD=30°，可得∠AOE=90°，根据CD为直径可得OA的长，根据等腰直角三角形的性质求出AE的长即可得答案．【详解】如图，过点B作BE⊥CD，交⊙O于E，连接AE，交CD于P，连接BP，OE，∵CD是⊙O的直径，BE⊥CD，∴CD垂直平分线BE，∴BP=PE，∴PA+PB=PA+PE，∴AE为AP+BP的最小值，∵∠AOD＝2∠AOB＝60°，∴∠BOD=30°，∵OB=OE，OD⊥BE，∴∠DOE=∠BOD=30°，∴∠AOE=90°，∴△AOE是等腰直角三角形，∵CD=6，∴OA=CD=3，∴AE==，∴AP+BP的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，垂直弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．12．(2022·广东白云·九年级期末)如图，AB是的直径，，BC交于点D，AC交于点E，，则____________°．【答案】22.5【解析】【分析】先根据圆周角定理得到∠AEB=90°，则∠ABE=45°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=67.5°，再计算∠ABC-∠ABE即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×(180°-45°)=67.5°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了圆周角定理：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．三、解答题13．(2021·广东濠江·一模)如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝2BC，点O在边AB上，且，以O为圆心，OB长为半径的圆分别交AB，BC于D，E两点．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)判断由D，O，E及切点所构成的四边形的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)菱形．理由见解析【解析】【分析】(1)作OF⊥AC于F，如图，由三角函数可得到∠A=30°，则OA=2OF，再利用BO=AB得到OA=2OB，所以OF=OB，于是根据切线的判定方法可判定AC是⊙O的切线；(2)先证明△OFD和△OBE都是等边三角形得到OD=DF，∠BOE=60°，则可计算出∠EOF=60°，从而可判定△OEF为等边三角形，所以EF=OE，则有OD=DF=EF=OE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ODFE为菱形．(1)证明：作OF⊥AC于F，如图，∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=，∴∠A=30°，∴OA=2OF，∵BO=AB，∴OA=2OB，∴OF=OB，∴AC是⊙O的切线；(2)解：四边形ODFE为菱形．理由如下：∵∠A=30°，∴∠AOF=∠B=60°，∴△OFD和△OBE都是等边三角形，∴OD=DF，∠BOE=60°，∴∠EOF=180°-60°-60°=60°，∴△OEF为等边三角形，∴EF=OE，∴OD=DF=EF=OE，∴四边形ODFE为菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定方法．14．(2022·云南昆明·九年级期末)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠BAC＝30°，OA＝4，求阴影部分的面积．(结果保留根号及π)【答案】(1)见详解(2)【解析】【分析】(1)连接，推出，，求出，得出，推出，根据切线的判定判断即可；(2)由直角三角的性质求出，，由扇形的面积公式可得出答案．(1)证明：连接，平分，，又，，，，又，，是半径，是圆的切线．(2)解：，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．15．(2021·江苏徐州·九年级期中)如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；(2)连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．(1)解：连接BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，连接OC，∵点C为劣弧BF的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；(2)连接OF，CF，∵OA=OC，∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，∵点C为劣弧BF的中点，∴，∴∠FOC=∠BOC=60°，∵OF=OC，∴∠OCF=∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF=S△COF，∴阴影部分的面积=S扇形COF，∵AB=4，∴FO=OC=OB=2，∴S扇形FOC==，即阴影部分的面积为：．【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．16．(2021·天津滨海新·九年级期末)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BE=4，DE=8，求CD的长．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解析】【分析】(1)根据圆周角的定义可得，再根据平行线的性质可知，再根据垂直平分线的性质得，从而可得，进而运用全等三角形的性质进行证明即可；(2)设⊙O半径为r，在中，利用勾股定理得，解得，再根据平行线分线段成比例进行求解即可．(1)如图所示，连接OD，AB为⊙O的直径，，，，又，，在和中，，，，AC为⊙O的切线，，，CD为⊙O的切线；(2)⊙O半径为r，则在中，，解得，，，即，解得．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理,勾股定理及切线的判定和性质，解题的关键是结合图形得到三角形的全等关系，与此同时需要利用平行线的性质．17．(2022·江苏江都·九年级期末)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA=DC，线段DC，AB的延长线交于点E．(1)求证：直线DC是⊙O的切线；(2)若BC=4，∠CAB=30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)连接OC，由题意得，根据等边对等角得，，即可得，则，即可得；(2)根据三角形的外角定理得，又根据得是等边三角形，则，根据三角形内角和定理得，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，用三角形OEC的面积减去扇形OCB的面积即可得．(1)证明：如图所示，连接OC，∵AB是的直径，直线l与相切于点A，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴直线DC是的切线．(2)解：∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积=．【点睛】本题考查了切线，三角形的外角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．18．(2022·吉林市第五中学九年级期末)如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．(1)求∠AOC的度数；(2)若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积(结果保留π)．【答案】(1)60°(2)cm2【解析】【分析】(1)根据垂径定理得到，得到，再根据圆周角定理即可解答；(2)先根据垂径定理求出，再运用勾股定理求出，然后求得∠BOC，最后运用扇形的面积公式计算即可．(1)解：，∴，，由圆周角定理得，，；(2)解：，，在中，，∴∠OBE=30°设OB=2x，则OE=x∴(OB)2=OE2+BE2,即：(2x)2=x2+BE2，解得：x=8∵∴∠BOC=∴扇形BOC的面积为cm2．【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，掌握垂径定理和扇形的面积公式是解答本题的关键．19．(2021·北京市师达中学九年级阶段练习)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若⊙O的半径为5，sin∠DAC＝，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD＝【解析】【分析】(1)连接OD．先依据平行线的判定定理证明OD∥AC，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD＝∠DAC，于是可证明AD平分∠BAC．(2)连接ED、OD．由题意可知AE＝10．接下来，在△ADA中，依据锐角三角函数的定义可求得AD的长，然后在△ADC中，可求得DC和AC的长，由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程．(1)解：如图1所示：连接OD．∵BC与圆O相切，∴OD⊥BC．∴∠ODB＝90°．∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC．∴∠ODA＝∠DAC．∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠OAD＝∠DAC．∴AD平分∠BAC．(2)如图2所示：连接ED．∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，∴AE＝10，∠EDA＝90°．∵∠EAD＝∠CAD，sin∠DAC＝，∴sin∠EAD＝，在Rt△ADE中，DE＝AE×sin∠EAD=×10＝2．∴在Rt△ADC中，DC＝DC×sin∠EAD=×4＝4，∴．∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC．∴，即，解得：BD＝．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质，列出关于BD的方程是解题的关键．20．(2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．(1)求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：DN2＝BN•(BN+AC)；(3)若BC＝6，cosC＝，求DN的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】(1)连接OD通过内错角相等证明OD∥AC，所以OD⊥MN；(2)通过证明△BDN∽△DAN，得到对应线段成比例，从而得出题中等式；(3)通过△BDN∽△DAN，得到两三角形相似比为3:4；且，所以，再通过AN=BN+5建立方程从而解出AN，再解出DN．(1)如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴，∴DN2＝BN•AN＝BN•(BN+AB)＝BN•(BN+AC)；(3)∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cosC＝＝，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝＝＝4，∵△BDN∽△DAN，∴＝＝，∴BN＝DN，