专题1共顶点模型-【压轴必刷】2024中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案

【压轴必刷】2024中考数学压轴大题之经典模型培优案专题1共顶点模型经典例题经典例题【例1】把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α(0°＜α＜360°)．(1)当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．(2)如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；(3)若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．【例2】已知中，，，点为直线上的一动点(点不与点、重合)，以为边作，，连接．(1)发现问题：如图①，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系________，位置关系________；②线段、、之间的关系是_________；(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，(1)中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________．

【例3】有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．求证：△BCE≌△DCF．

(1)请你完成这道题的证明：(2)如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．①求证：∠BFC＝45°．②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP(如图3)．求证：BF＝CP+DF．【例4】已知等边，为边中点，为边上一点(不与A，重合)，连接．(1)如图1，点是边的中点，当在线段上(不与A，重合)时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．①依题意补全图1；②此时与的数量关系为：，=°．(2)如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【例5】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN．(1)问题发现当α＝0°时，FNGM=32；直线MG与直线FN(2)类比探究当0°＜α＜360°时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN的长．培优训练培优训练1．和都是等腰直角三角形，，将绕点D旋转．(1)如图1，当点B落在直线上时，若，，求的长；(2)如图2，直线、交于点F，再连接，求证：；(3)如图3，，，G为中点，连接，，以直角边构造等腰，过H作交于点I，连接，当最小时，直接写出的长度．2．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．(1)(请直接写出你的结论)如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；(2)设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点(观察猜想)(1)线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；(探究证明)(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值4．(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；(2)探索：如图2，当D点为BC边上一点(不与点B，C重合)，Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为5．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为；(2)如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．6．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．(1)求证：∠BCM＝∠BDM；(2)求∠CMN的度数；(3)求证：AM＝BN．7．问题发现(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由．问题探究(2)如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的长．问题解决(3)如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由．8．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：(1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______．(2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由．9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：(1)如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°(AB＞AD)，连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度数为．(2)如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．(3)如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE(等边三角形三条边相等，三个角都等于60°)，连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数．

10．如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：∠EAD＝∠CBD；(2)求证：BF＝2AE；(3)如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．11．如图，在四边形中，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动设运动时间为．(1)如图①，连接，当时，求的值；(2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值；(3)如图③，当(2)中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接当时，，请求出此时的值．12．(1)如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是．(2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB的度数是．(3)如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．(1)如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．(2)如图2，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC=6，请直接写出BQ14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．(1)如图1，求DE与BC的数量关系是DE=32BC(2)如图2，若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合)，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．15．(1)观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．(2)理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用(1)中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；(3)类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．(4)拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．(画出示意图)16．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．(1)如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；(2)材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG(AAS)，再证明△GDC≌△BCE(SAS)，从而得到∠CNE＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．17．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．(1)观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为CF⊥BC；②CF，DC，BC之间的数量关系为BC＝DC+CF(直接写出结论)；(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，请求出线段CE的长．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD．(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝22，CD＝1，请求出GE的长．19．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF＝BC﹣CD．(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF＝CD﹣BC．(3)如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB＝22，CD=14BC，请求出20．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，DC，CF之间的数量关系为：BC＝DC+CF；(2)类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC、DC、CF三条线段之间的数量关系为：BC＝DC﹣CF．②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连结OC，则OC的长度为2．21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝42．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒(t＞0)(1)在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是(2)如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；(3)当t＝4时，点D经过点A：当t=163时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤1622．【问题情境】如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B小明认为线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即PA＜PC，从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是5−【构造运用】如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H(请继续完成本题的后续解题过程)【深度运用】如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是23−2和23+23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t(s)．(1)当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为(t﹣2)cm(用含t的代数式表示)．(2)当点N落在AB边上时，求t的值．(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式．(4)连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．24．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)在(2)中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．25．综合与实践：如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．(1)观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是PM＝MQ；(2)探究证明当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；(3)拓展延伸当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．26．【问题提出】如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是FG＝FH(直接写出结论)．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点E在BC上，且BE=61，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE与AC垂直时，线段DF的长度为34或106(直接写出结果)．【压轴必刷】2024中考数学压轴大题之经典模型培优案专题1共顶点模型经典例题经典例题【例1】把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α(0°＜α＜360°)．(1)当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．(2)如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；(3)若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．【答案】(1)垂直，平行；(2)90°；(3)90°或270°【分析】(1)根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；(2)利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；(3)根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．【详解】解：(1)如图，设AC与DE交于点H，在等腰直角△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，∵DE⊥AC，∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，∴∠BAD＝∠DAH，∴AD⊥BC，∵∠EAH＝∠C＝45°，∴AE∥BC，故答案为：垂直，平行；(2)在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；(3)如图，因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形．【例2】已知中，，，点为直线上的一动点(点不与点、重合)，以为边作，，连接．(1)发现问题：如图①，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系________，位置关系________；②线段、、之间的关系是_________；(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，(1)中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段的长为________．

【答案】(1)①，．②．(2)不成立，．(3)5【分析】(1)①根据全等三角形的判定定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明；②根据全等三角形的对应边相等证明即可；(2)证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答即可；(3)根据△BAD≌△CAE得到BD=CE=1，再证明△DCE是直角三角形，利用勾股定理求出DE，即可求出AD的长度；【详解】(1)①解：结论：BD=CE，BD⊥CE，理由：∵∠ABC=∠ACB=45°，∠ADE=∠AED=45°，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=90°，即BD⊥CE，故答案为：BD=CE；BD⊥CE；②证明：∵BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD；故答案为：．

(2)解：(1)中BC、CE、CD之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是CE=BC+CD，理由：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD；(3)解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE=1，∠ABD=∠ACE=135°，∵∠ACB=45°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，CD=BD+BC=7，CE=1，∴DE=；∴；故答案为：5．【点睛】本题考查三角形综合题，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【例3】有如下一道作业题：如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．求证：△BCE≌△DCF．

(1)请你完成这道题的证明：(2)如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．①求证：∠BFC＝45°．②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP(如图3)．求证：BF＝CP+DF．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②见解析【分析】(1)由正方形的性质可知CB=CD，∠BCD=90°，再根据题意推出∠BCE=∠DCF，以及CE=CF，从而利用“SAS”证明全等即可；(2)①根据题意可先证明△BCN≌△DCM，从而推出∠CBN=∠CDM，然后作CG⊥CF交BF于G点，再证明△BCG≌△DCF，即可得到△CFG为等腰直角三角形，从而得出结论；②作CQ⊥CF交BF于Q点，结合①的结论，可得BQ=DF，然后结合题意证明四边形CQFP为平行四边形，即可得到CP=QF，从而证得结论．【详解】(1)∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，即：∠BCE+∠ECD=90°，∵△CEF为等腰直角三角形，∴CE=CF，∠ECF=90°，即：∠ECD+∠DCF=90°，∴∠BCE=∠DCF，在△BCE与△DCF中，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)①由正方形性质可知，∠BCN=∠DCM=90°，在△BCN和△DCM中，∴△BCN≌△DCM(SAS)，∴∠CBN=∠CDM，如图，作CG⊥CF交BF于G点，则∠GCF=90°，∴∠BCG=∠DCF，在△BCG和△DCF中，∴△BCG≌△DCF(ASA)，∴CG=CF，∴△CFG为等腰直角三角形，∴∠BFC=45°；②如图所示，作CQ⊥CF交BF于Q点，由①可知，△BCQ≌△DCF，∴BQ=DF，且由①证明可知，△CQF为等腰直角三角形，∵FP由FC绕F点旋转90°得到，∴△CFP为等腰直角三角形，∴∠P=∠CQF=45°，∠QFP=∠QCP=90°+45°=135°，∴四边形CQFP为平行四边形，∴CP=QF，∵BF=QF+BQ，∴BF=CP+DF．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平四边形的判定与性质等，熟练掌握图形的基本性质，掌握几何证明中的常见模型是解题关键．【例4】已知等边，为边中点，为边上一点(不与A，重合)，连接．(1)如图1，点是边的中点，当在线段上(不与A，重合)时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．①依题意补全图1；②此时与的数量关系为：，=°．(2)如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②，120；(2)，证明见解析【分析】(1)①根据提示画出图形即可；②连接DE，证明△DME≌△DFB即可得到结论；(3)取线段中点，连接．由三角形中位线定理得，，．根据是等边三角形可证明，，再证明得，，进一步可得结论．【详解】解：(1)①补全图形如图1．②线段与的数量关系为；．连接DE，∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE为△ABC的中䏠线，∴DE=AB，DE//AB∵是等边三角形，∴，．∵D为BC的中点，∴∵∴，∴∵，∴△DME≌△DFB∴；．∵∴∴．故答案为：；．(2)证明：取线段中点，连接．如图2．∵点是边的中点，点是边的中点，∴，，．∵是等边三角形，∴，．∴，．∴，∵，∴．∴．∴，，∵，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．【例5】如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，点M，F分别为边AB，AC的中点，点D在边AC上，且CD＝2AD，点N为CD的中点，过点D作DE∥AB交BC于点E，点G为DE的中点．将△DCE绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接MG，FN．(1)问题发现当α＝0°时，FNGM=32；直线MG与直线FN(2)类比探究当0°＜α＜360°时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用若AB＝4，直线MG和直线FN交于点O，在旋转的过程中，当点O与点N重合时，请直接写出线段FN的长．【分析】(1)首先证明点C，点G，点M三点共线，由直角三角形的性质可求GM＝CM﹣CG=12AB-12DE=12(AB﹣DE)，直线MG与直线FN相交所成的较小夹角的度数为30°，由中点的定义可得FN＝FC﹣NC(2)通过证明△CDA∽△CGM，可得GM=33AD，由三角形中位线定理可得FN=12AD，可得结论，由相似三角形的性质可得∠ADC＝∠(3)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可得NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，利用直角三角形的性质可求NG的长，由勾股定理可求MN的长，即可求解．【解析】(1)∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，∴sin∠CAB=BC∴∠CAB＝30°，∴AC=3BC∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠CAB＝30°，∴DE＝2CE，CD=3CE如图1，连接CG，CM，∵Rt△DCE中，点G是DE中点，∴CG＝DG＝GE=12∴∠CDE＝∠DCG＝30°，∵Rt△ACB中，点M是AB中点，∴AM＝BM＝CM=12∴∠CAB＝∠ACM＝30°，∴∠ACM＝∠DCG，∴点C，点G，点M三点共线，∴GM＝CM﹣CG=12AB-12DE=12(AB﹣∵点F是AC的中点，点N是CD的中点，∴FC=12AC=32BC=34AB，∴FN＝FC﹣NC=34(AB﹣∴FNGM故答案为：32(2)仍然成立，理由如下：如图，连接AD，CM，CG，延长MG交NF于H，设GM与DE交于点I，如图1，∵CD＝2AD，∴CD=23∵DE∥AB，∴CDAC∴DE=23∵CG=12DE，CM=∴CGCM∴CGCM如图2，∵∠ACM＝∠DCG，∴∠DCA＝∠DCM，∴△CDA∽△CGM，∴CMAC∴12∴GM=33∵点N是CD的中点，点F是AC的中点，∴FN=12AD∴FNGM∵△CDA∽△CGM，∴∠ADC＝∠MGC，∵∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∠MGC+∠GCF+∠GIC＝180°，∴∠GIC＝∠DAC+∠DCG＝∠DAC+30°，∵NF∥AD，∴∠DAC＝∠NFC，∵∠GIC＝∠CFN+∠FHG，∴∠DAC+30°＝∠CFN+∠FHG，∴∠FHG＝30°；(3)如图3，当点G在线段MN上时，连接AD，CG，CM，∵CG＝DG，DN＝CN，∴NG⊥CD，∠CDG＝∠DCG＝30°，∵AB＝4，∴BC＝2，AC＝23，AM＝CM＝2，∴CD=23AC∴CN=2∵∠DCG＝30°，NG⊥CD，∴NC=3NG∴NG=2∵MN=CM∴MG=2∵FNGM∴FN=32GM若点N在线段GM上时，同理可求：MN=CM2-CN2∴MG=2∵FNGM∴FN=32GM综上所述：线段FN的长为2-33培优训练培优训练1．和都是等腰直角三角形，，将绕点D旋转．(1)如图1，当点B落在直线上时，若，，求的长；(2)如图2，直线、交于点F，再连接，求证：；(3)如图3，，，G为中点，连接，，以直角边构造等腰，过H作交于点I，连接，当最小时，直接写出的长度．【答案】(1)34，(2)证明见解析，(3)【分析】(1)作CF⊥DB于F，根据勾股定理求出CF和BF即可；(2)将△CEF绕点C逆时针旋转90°，得到△CDM，可证点M在BD上，再证△FCM是等腰直角三角形即可；(3)作CN⊥AB于N，作AF⊥AC交AN延长线于F，得出△GAC≌△HAF，当点H落在CF上时，HI最小，此时点I与点N重合，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)作CF⊥DB于F，∵，，都是等腰直角三角形，∴，，∵点B落在直线上，∴，∴；的长为34．

(2)将△CEF绕点C逆时针旋转90°，得到△CDM，由(1)得，∠CDB=∠CEA，∴点M在BD上，CF=CM，∠FCM=90°，EF=DM，∴，∵；∴．(3)作CN⊥AB于N，作AF⊥AC交AN延长线于F，∵是等腰直角三角形，∴∠ACF=45°，∴AC=AF，∵∠GAH=∠CAF=90°，∴∠GAC=∠HAF，∵AG=AH，∴△GAC≌△HAF，∴CG=FH，∴当点H落在CF上时，HI最小，此时点I与点N重合，如图所示，∵∠GCA=∠AFC=45°，∴∠GCI=90°，∵，，∴，，；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题关键是恰当作辅助线，构造全等三角形进行推理证明．2．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．(1)(请直接写出你的结论)如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；(2)设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．【答案】(1)①90；②80；(2)①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β【分析】、(1)①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，则可得出结论；(2)①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE＝40°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案为：80．(2)①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点(观察猜想)(1)线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；(探究证明)(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值【答案】(1)DE＝2AM，DE⊥AM；(2)成立，见解析；(3)【分析】(1)由四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，可得AD＝AB，AF＝AE，可证△DAE≌△BAF(SAS)，可得DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，可证∠ADE+∠AFB＝90°，根据直角三角形斜边中线性质可得AM＝FM＝BM＝BF，可得DE＝2AM．再证AN⊥DN即可；(2)仍然成立，延长AM至点H，使得AM＝MH，先证△AMB≌△HMF(SAS)，再证△EAD≌△AFH(SAS)，可得DE＝AH，∠ADE＝∠FHA，可证DE＝AM+MH＝2AM，再在∠ADE+∠DAM＝90°即可；(3)过D作DK⊥GE延长线交于K，把△GKD沿DK折叠得△DKG′，连结HG′，可得GG′=2GK，DG=DG′，在△HDG′中，DH+DG=DH+DG′＞HG′，当点H、D、G′三点共线时，DH+DG最短，根据四边形FHGE≌四边形FADE，HG=AD=4，GE=DE，∠EGD=∠EDG，即∠GDC=∠DGK，再△CGD≌△KDG(AAS)，可得DC=GK=G′K=4，最后根据勾股定理HG′=即可．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AF＝AE，在△DAE和△BAF中，∴△DAE≌△BAF(SAS)，∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠AFB＝90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，∴AM＝FM＝BM＝BF，∴DE＝2AM．∠AFB＝∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB＝90°，∴∠ADE+∠MAF＝90°，∴∠AND＝180°﹣(∠ADE+∠MAF)＝90°，即AN⊥DN；故答案为DE＝2AM，DE⊥AM；(2)仍然成立，证明：如下：延长AM至点H，使得AM＝MH，∵M是BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠AMB＝∠HMF，∴△AMB≌△HMF(SAS)，∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，∴AB∥HF，∴∠HFG＝∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，∠EAG＝∠AGF，∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，∴△EAD≌△AFH(SAS)，∴DE＝AH，∠ADE＝∠FHA，又∵AM＝MH，∴DE＝AM+MH＝2AM，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA＝∠BAM，∴∠ADE＝∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AND＝180°﹣(∠ADE+∠DAM)＝90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM；(3)解：过D作DK⊥GE延长线交于K，把△GKD沿DK折叠得△DKG′，连结HG′，则GG′=2GK，DG=DG′，在△HDG′中，DH+DG=DH+DG′＞HG′，当点H、D、G′三点共线时，DH+DG最短，∵正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，∴四边形FHGE≌四边形FADE，∴HG=AD=4，GE=DE，∠EGD=∠EDG，即∠GDC=∠DGK，∵DK⊥GK，∠C=90°，∴∠DKG=∠GCD，在△CGD和△KDG中，，△CGD≌△KDG(AAS)，∴DC=GK=G′K=4，∴GG′=2GK=8，∵∠HGG′=90°，在Rt△HGG′中，根据勾股定理HG′=，∴DH+GD最小=4，故答案为．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形判定，直角三角形斜边中点性质，三角形全等判定与性质，图形旋转性质，图形折叠性质，勾股定理，本题是正方形猜想，探究，应用，难度较大，应用知识多，图形复杂，通过辅助线画出准确图形，是中考的压轴题．4．(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；(2)探索：如图2，当D点为BC边上一点(不与点B，C重合)，Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；(3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为【答案】(1)BD＝EC，BD⊥CE；(2)BD2+CD2＝DE2，证明见解析；(3)2【分析】(1)利用SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题．(2)由△BAD≌△CAE，推出BD＝CE，∠ACE＝∠B，可得∠DCE＝90°，利用勾股定理即可解决问题．(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE．由△BAD≌△CAE(SAS)，推出BD＝CE＝3，由∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，可得∠EDC＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：(1)结论：BD＝EC，BD⊥CE．理由如下：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE．故答案为：BD＝CE，BD⊥CE．(2)结论：BD2+CD2＝DE2．理由：如图2中，连接CE，由(1)得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2．BD2+CD2＝DE2(3)如图3中，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE．∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝3，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝，∵∠DAE＝90°，∴AD2+AE2＝DE2∴AD2＝4，∵AD＞0，∴AD＝2．故答案为2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度，综合性较强．5．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为；(2)如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．【答案】(1)；(2)见解析；(3)【分析】(1)由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；(2)过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；(3)延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．【详解】(1)设交于，如图1，是等腰和是等腰即故答案为(2)如图2，过点作的垂线交的延长线于,是等腰和是等腰又又即是的中点(3)延长至，使得，连接，设交于点，如图即是等腰和是等腰在与中，(SAS)，点是的中点，(SAS)(SAS)，即，【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．6．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．(1)求证：∠BCM＝∠BDM；(2)求∠CMN的度数；(3)求证：AM＝BN．【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析【分析】(1)根据和为等边三角形，且为公共边，可以得出条件，，即可证明，由性质即可得出结论；(2)根据，得出，，又根据和为对顶角，可得，再根据和为全等三角形，为平角，利用等量代换即可求出；(3)连接由(1)可知：，即可得，证出为等边三角形，进而证明出，由性质即可得出结论．【详解】解：(1)证明：和为等边三角形，且为公共边，，又在和中，，，；(2)，，，又和为对顶角，，又和为全等三角形，为平角，，，，(3)证明：连接，如图所示：由(1)可知：，，又，，为等边三角形，，又为等边三角形，是和重叠的部分，，又在和中，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质，再利用等量代换的思想进行解答．7．问题发现(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由．问题探究(2)如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝60．求BD的长．问题解决(3)如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值，若存在求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，理由见解析；(2)90；(3)存在，CD长的最大值为5，∠ACB的大小为【分析】(1)通过证明即可得到CD与BE的数量关系；(2)以AB为腰向上作等腰直角，连接GC，通过证明即可得到，再根据、运用勾股定理求出GC的长即可得到BD的长；(3)以BC为边向外作等边，连接AH，通过证明即可得到，再由可知当A，C，H三点共线时，有最大值，进而求出∠ACB的值即可．【详解】(1)证明：∵△ABD和△ACE是等边三角形∴，，∵∴在与中∴∴；(2)如下图，以AB为腰向上作等腰直角，连接GC∵与是等腰直角三角形∴，，∵∴在与中∴∴；∵是等腰直角三角形，∴，，，∵∴∴∴∴；(3)如下图，以BC为边向外作等边，连接AH∵与是等边三角形∴，，∵∴在与中∴∴；又∵是等边三角形，∴，∵，∴∴当A，C，H三点共线时，∵∴则当时，．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等相关内容，熟练掌握相关三角形的解题方法是解决本题的关键．8．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：(1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此线和的数量关系是______．(2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的关系，并说明理由．【答案】(1)△AEC，BD=CE；(2)BD=CE且BD⊥CE，理由见解析【分析】(1)先判断出∠DAB=∠EAC，进而判断出△DAB≌△EAC，即可得出结论；(2)先判断出△DAB≌△EAC，得出BD=CE，∠DBA=∠ECA，进而判断出∠DBC+∠ECB，即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，故答案为：△AEC，BD=CE；(2)BD=CE且BD⊥CE；理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE．∴∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD=CE，∠DBA=∠ECA，∵∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°，∴∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°，即∠DBC+∠ECB=90°，∴∠BPC=180°-(∠DBC+∠ECB)=90°，∴BD⊥CE，综上所述：BD=CE且BD⊥CE．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：(1)如图1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°(AB＞AD)，连接BD，CE，当点E落在AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度数为．(2)如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，当点B，D，E在同一条直线上时，请判断线段BD和CE的关系，并说明理由．(3)如图3，已知△ABC，请画出图形：以AB，AC为边分别向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE(等边三角形三条边相等，三个角都等于60°)，连接BE，CD，交于点P，请直接写出线段BE和CD的数量关系及∠BPD的度数．

【答案】(1)△ACE，40°；(2)BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；(3)作图见解析，BE=CD，∠BPD=60°．【分析】(1)利用全等三角形的判定定理可以证明，再根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出是解题的突破口；(2)通过∠BAC=∠DAE=90°及等量代换可得相等关系，再通过证明△DAB≌△EAC(SAS)，通过等量代换推出∠DBC+∠ECB=90°即可间接证明垂直；(3)利用全等三角形的判定定理可以证明三角形全等得出BE=CD，通过等量代换求解可得∠BPD=60°．【详解】解：(1)由题意在△ABD和△ACE中，,，，，，，，，故答案是：△ACE，40°；(2)BD=CE且BD⊥CE；理由：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠DAC+∠DAB=∠DAC+∠EAC．所以∠DAB=∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC(SAS)，所以BD=CE，∠DBA=∠ECA，因为∠DBA+∠EBC+∠ACB=90°，所以∠ECA+∠EBC+∠ACB=90°，即∠DBC+∠ECB=90°，所以∠BEC=180°﹣(∠DBC+∠ECB)=90°，所以BD⊥CE，(3)BE=CD，∠BPD=60°，理由如下：如图所示，为等边三角形，，，，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质、三角形内角和定理、等边三角形的性质、解题的关键是掌握相关定理的同时，要灵活运用等量代换的思想进行解答．10．如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D是AC中点，连接BD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E，过点C作CF⊥BD于点F．(1)求证：∠EAD＝∠CBD；(2)求证：BF＝2AE；(3)如图2，将△BCF沿BC翻折得到△BCG，连接AG，请猜想并证明线段AG和AB的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)：AG＝AB，理由见解析【分析】(1)根据角度的等量代换即可求解．(2)证明△AEC≌△BPC后，运用角度等量代换，求得CF＝PF；证明△AED≌△CFD即可求解．(3)证明△AEB≌△BHA，根据线段的等量代换以及运用等腰三角形三线合一的证明即可求解．【详解】(1)证明：∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAD＝∠CBD；(2)证明：如图1，连接CE，在BF上截取BP＝AE，连接CP，∵∠EAD＝∠CBD，AC＝BC，∴△AEC≌△BPC(SAS)，∴CE＝CP，∠ACE＝∠BCP，∴∠ACE+∠DCP＝∠BCP+∠DCP，∴∠ECP＝∠DCB＝90°，∵CE＝CP，CF⊥BD，∴∠CEP＝∠CPF＝∠PCF＝45°，∴CF＝PF，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵∠AED＝∠CFD＝90°，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(AAS)，∴AE＝CF，∴AE＝PF，∴BF＝BP+PF＝2AE；(3)结论：AG＝AB，证明如下：如图2，取BG的中点H，连接CE，CH，AH，∴BH＝＝＝AE，∵∠HBC＝∠PBC＝∠EAC，∴∠EAC+∠CAB＝∠HBC+∠CBA，∴∠EAB＝∠HBA，∵AB＝BA，∴△AEB≌△BHA(SAS)，∴∠BHA＝∠AEB＝90°，∴AH⊥BG，∵BH＝HG，∴AG＝AB．【点睛】本题考察了全等三角形的判定与性质以及运用等边三角形三线合一的证明，运用全等可以进行角度与线段的等量代换进行题目求解，全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS、HL要熟记．11．如图，在四边形中，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动设运动时间为．(1)如图①，连接，当时，求的值；(2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值；(3)如图③，当(2)中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接当时，，请求出此时的值．【答案】(1)；(2)，或，；(3)【分析】(1)由“”可证，可得，可求解；(2)分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；(3)由，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值．【详解】解：(1)，，，，，在和中，，，，，；(2)若，，，，，，，，，若，，，，，，，；综上所述：，或，；(3)如图，连接，过点作于，过点作于，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．12．(1)如图1，已知△CAB和△CDE均为等边三角形，D在AC上，E在CB上，易得线段AD和BE的数量关系是．(2)将图1中的△CDE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F．①判断线段AD和BE的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB的度数是．(3)如图3，若△CAB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，分别写出∠AFB的度数，线段AD、BE间的数量关系．【答案】(1)；(2)①，证明见解析；②；(3)，【分析】(1)由等腰三角形的性质即可求解；(2)①由“SAS”可证,可得；②由全等三角形的性质可得，即可解决问题；(3)结论：先证明可得由此即可解决问题．【详解】(1)；证明：∵和是等边三角形，∴∴，故填：；(2)①；证明：∵和是等边三角形，∴∴在和中∵∴,∴；②∵,∴设BC交AF于点O，如图，∵∴∴故答案为：；(3)结论：理由如下：在Rt中，∵∴∵∴∴∴∴∵∴．【点睛】本题考查几何变换旋转综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．(1)如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．(2)如图2，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC=6，请直接写出BQ【分析】(1)先判断出△POQ是等边三角形，进而判断出∠COP＝∠BOQ，进而判断出△COP≌△BOQ，即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)先求出BC，进而利用三角形中位线求出CH，OH，再利用等腰直角三角形的性质得出PH，同(1)的方法得出BQ＝CP，即可得出结论．【解析】(1)CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC=OB∠COP=∠BOQ∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ，(2)CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC=OB∠COP=∠BOQ∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP＝BQ，(3)如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC=6∴BC＝AC•tan∠A=2过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH=12BC=22，OH∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH=6∴CP＝PH﹣CH=6连接BQ，同(1)的方法得，BQ＝CP=614．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．(1)如图1，求DE与BC的数量关系是DE=32BC(2)如图2，若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合)，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】(1)由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB＝DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=32(2)根据旋转的性质得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE=32BC可得到BF+BP=(3)与(2)的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，则BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP=23【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵点D是AB的中点，∴DB＝DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE＝BC；故答案为DE=32(2)BF+BP=23∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，而∠CDB＝60°，∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP＝∠BDF，在△DCP和△DBF中DC=DB∠CDP=∠BDF∴△DCP≌△DBF(SAS)，∴CP＝BF，而CP＝BC﹣BP，∴BF+BP＝BC，∵DE=32∴BC=23∴BF+BP=23(3)如图，与(2)一样可证明△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，∴BF﹣BP=2315．(1)观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．(2)理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用(1)中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；(3)类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．(4)拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．(画出示意图)【分析】(1)根据AAS证明△AEC≌△CDB；(2)利用(1)中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值；(3)如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论；(4)由题意得：EP＝t，则PC＝t﹣3，如图4，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4．【解析】(1)在△AEC和△CDB中，∵∠AEC=∠CDB∠CAE=∠BCD∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°，由(1)得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD=12(4+6)×16﹣2×1故答案为：50；(3)如图3，过B′作B′E⊥AC于E，由旋转得：AB＝AB′，∵∠BAB′＝90°，∴△AEB′≌△BCA，∴AC＝B′E＝4，∴S△AB′C=12AC•B′E故答案为：8；(4)由题意得：设EP＝t，则PC＝t﹣3，如图4，∵∠FOP＝120°，∴∠FOB+∠COP＝60°，∵∠BCE＝60°，∴∠COP+∠OPC＝60°，∴∠FOB＝∠OPC，∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°，∴△PCO≌△OBF，∴PC＝OB＝1＝t﹣3，则t＝4，即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上．16．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．(1)如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；(2)材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG(AAS)，再证明△GDC≌△BCE(SAS)，从而得到∠CNE＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．【分析】(1)延长BD交AE于H，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，由余角的性质可证AE⊥DB；(2)过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，由“AAS”可证△AMC≌△DMG，可得DG＝AC＝BC，由“SAS”可证△GDC≌△BCE，可得∠GCD＝∠BEC，可得结论；(3)过点A作AQ∥CD，交CM的延长线于Q，延长BE交CQ于N，由“AAS”可证△AQM≌△DCM，可得AQ＝CD＝CE，由“SAS”可证△QAC≌△ECB，可得∠ACQ＝∠CBE，可得结论．【解析】(1)AE＝DB，AE⊥DB，理由如下：如图1，延长BD交AE于H，∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠DBC＝∠EAC，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∴∠DBC+∠AEC＝90°，∴∠BHE＝90°，∴AE⊥BD．(2)如图2，过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，∵DG∥AC，∴∠G＝∠ACM，∵点M为AD中点，∴AM＝DM，又∵∠G＝∠ACM，∠AMC＝∠DMG，∴△AMC≌△DMG