结构力学-老师力矩分配法

力矩分配法张系斌主讲传递系数C远端固定C=1/2远端铰结C=0远端定向C=-1转动刚度S远端固定SAB=4i

远端铰结SAB=3i

远端定向SAB=i分配系数几个概念例：试求作图示连续梁的M图。EI等于常数，l1=6m,

l2=5

m，P=1000kN。（只计算二轮）172119226565953279-2500-15001500-2500-938-5621765735883-735-281-469-301-301-151-151945747291074454-42-42-44-1922656-656-5955941721-1721-3279例作M图。解▲横梁的线刚度有变化，是原来的二倍。▲横梁的转动刚度有变化，是一倍的线刚度。▲按A、C依次放松结点。▲固端弯矩不变。讨论：力矩分配法计算图示连续梁，作弯矩图。弯矩分配法的物理概念

单结点分配

设有如图所示单结点(位移)结构。首先锁定结点使无位移。由载常数可获得AC、CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩。放松结点(反向加不平衡力矩)使产生实际结点位移，此时可分配和传递计算分配和传递弯矩。

因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）相加得到，这时结果是精确解。最后累加固端、分配和传递得结果。

多结点(位移)分配

对多结点(位移)结构，弯矩分配法的思路是：首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到“平衡”(包括分配和传递)。

接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到可忽略。锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是位移法的结果。分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递(考试只进行二轮即可)。因为分配系数小于1，传递系数也小于1(因为定向支座处不分配)，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。无剪力分配法

单跨多层对称刚架（多跨多层，迭代法）正对称荷载，无侧移，半刚架法

力矩分配法反对称荷载，有侧移，半刚架法

无剪力分配法各梁：两端结点没有相对线位移（也就是无垂直杆轴的相对位移）称两端无线位移的杆件。各柱：两端结点虽有侧移，但剪力是静定的，称剪力静定杆件（柱）。无剪力分配法1无剪力分配法的应用条件两类杆件

▲两端无相对线位移的杆件（横梁）。

▲剪力静定杆件（柱子）。无剪力分配法的应用条件刚架中只包含杆端无相对线位移杆件和剪力静定杆件。应用条件：刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余的杆件全是剪力静定杆件。（单跨对称刚架在反对称荷载作用下可化成此结构）2剪力静定杆件的固端弯矩

无剪力分配法计算刚架的步骤与力矩分配法相同，但固端弯矩、转动刚度和分配系数的求法不同锁住结点（只阻止结点的角位移，不阻止线位移）。上边滑动下边固定

（1）根据静力条件求出杆端剪力；（2）将剪力看成杆端荷载，按该端滑动、另端固定的杆件进行计算。3零剪力杆件的转动刚度和传递系数放松结点相当于在结点处施加一反向的约束力矩。结点变形：有转角、有侧移杆件受力：剪力为零，弯矩为常数若杆端发生转角

A，则故放松B结点时，AB、BC杆均为零剪力杆，故

放松结点时，刚架中静定剪力杆都是在零剪力的条件下，得到分配弯矩和传递弯矩的，故称无剪力分配法。例试作刚架的弯矩图解（1）固端弯矩（2）转动刚度和分配系数例作图示刚架的弯矩图解固端弯矩分配系数力矩分配法与位移法的联合应用（1）基本体系只取线位移作基本未知量。（2）位移法方程（3）求系数和自由项，解方程用力矩分配法求（4）例求刚架内力。解

（1）基本体系：取D点水平线位移作为基本未知量

（2）位移法方程（3）求系数和自由项▲作∆1=1时的弯矩图

因为侧移是已知的，可用力矩分配法计算。▲作MP图

因为没有侧移，可用力矩分配法计算。（4）作弯矩图若有两个线位移时，计算步骤如下：（1）基本体系：取两个线位移作为基本未知量。（2）位移法基本方程：（3）求系数和自由项，解方程▲用力矩分配法作出∆1=1时的弯矩图，并求出▲用力矩分配法作出∆2=1时的弯矩图，并求出▲用力矩分配法作出荷载时的弯矩图，并求出（4）作弯矩图近似法1忽略剪力和轴力引起的变形▲计算梁和刚架的位移时，经常略去剪力和轴力的产生的变形，计算拱的位移时，也常略去剪切变形。▲超静定梁和刚架的内力计算，由于只考虑弯曲变形而大为简化。通常在位移法、力矩分配法中都采用这个假定。否则，计算将极为复杂。▲计算时忽略轴向变形和剪切变形，实际上就是假设杆件的抗拉和抗剪刚度无穷大。▲在高层建筑中，轴力引起的变形将不能忽略，在截面尺寸大、杆长很小的粗杆中，剪力引起的变形也不容忽视。2在竖向荷载作用下忽略刚架的侧移▲有结点线位移的刚架，虽然在竖向荷载作用下也可以引起侧移，但数值一般比较小。▲分层计算法假定

第一：忽略侧移的影响，用力矩分配法计算；

第二：忽略每层梁的竖向荷载对其他各层的影响，把多层刚架分解成一层一层地单独计算。

荷载对其它层的影响要经过分配——传递——再分配的过程，因而可以忽略

因为假定柱的远端为固定端，而实际各柱都是弹性固定端，因此将上层各柱的线刚度乘以折减系数0.9，传递系数由1/2变为1/3。

分层计算的结果在结点上是不平衡的，但误差一般不会很大。如需要，可对结点的不平衡力矩在进行一次分配。3在水平荷载作用下忽略刚架的结点转角▲如果梁的刚度与柱子的线刚度大很多，在水平荷载作用线位移是主要位移，转角位移可以忽略。▲反弯点法假定：将横梁简化为刚性梁。各柱的剪力为k1、k2——柱子的侧移刚度。由平衡条件，得

荷载FP按剪力分配系数分配给各柱剪力分配系数

利用反弯点在柱子中点的性质，可得到柱子两端弯矩。

注：在多层刚架中，通常将底层反弯点设在柱子2/3高度处。例作刚架弯矩图。

解设柱的反弯点在柱子中点高度处。（1）求各柱的剪力分配系数顶层底层（2）计算各柱剪力（3）计算杆端弯矩（以E点为例）梁端弯矩：将柱端弯矩之和按梁的转动刚度分配。超静定结构各类解法的比较和合理选用1基本方程直接解法和渐进解法的比较基本方程直接解法：力法和位移法。渐进解法：力矩分配法和无剪力分配法。

渐进法的每一步都满足变形协调条件，平衡条件则在最后一步在允许误差内得到满足。2手算方法和计算机方法的比较手算方法：用来理解和掌握结构力学的基础内容；计算机方法：用于解决大型结构的计算问题。3超静定结构中计算方法的合理选用（1）超静定桁架

超静定桁架由于结点位移多，宜于使用力法。但计算次应力时，以力矩分配法为宜。（2）超静定拱

两铰拱和无铰拱需用力法计算。计算连续拱时，可取曲杆为单元，用位移法或力矩分配法。（3）连续梁

刚性支座上的连续梁，最适于用力矩分配法。弹性支座上的连续梁，宜用力法或位移法。（4）刚架

无结点线位移的刚架，可采用力矩分配法。无结点角位移的刚架可采用位移法或剪力分配法。多层刚架可采用无剪力分配法、力矩分配法或近似法。力法基本方程由互等定理，得则因是常数，上式可写成超静定力的影响线超静定力的影响线的作法：（1）撤去与所求的约束力Z1相应的约束。

（2）使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载点的挠度图，即为影响线的形状。

（3）将δP1

图除以常数δ11，便确定了影响线的数值。

（4）横坐标以上图形为正号，横坐标以下图形为负号。例作连续梁支座弯矩MB的影响线解用力矩分配法作MB=1kNm时的弯矩图。求MB=1kNm时的挠度方程。■