拉普拉斯变换在线性动态电路分析上的应用

拉普拉斯变换在线性动态电路分析上的应用【摘要】本文主要介绍如何利用拉普拉斯变换的方法来求解线性动态电路的响应，首先利用拉普拉斯变换将元器件的时域模型转化为S域模型，然后在S域中建立起联系输入输出的代数方程，求解该代数方程，得到系统的S域解，再做拉普拉斯反变换求出系统的时域解。【关键词】拉普拉斯变换；S域模型；动态电路分析引言在电路分析中，对于线性动态电路的分析，首先是电路分析的知识，建立电路的微分方程，确定其初始条件，然后根据给定的输入信号，在时域中直接求解该微分方程的解，得到系统的响应。该方法分为建立方程和求解方程两个步骤，求解过程复杂，耗时多，学生掌握困难，本文介绍用拉普拉斯分析的方法来分析线性动态电路，将微分方程转化为代数方程来求解，简化了计算过程，对复杂电路显现出很高的优越性。1.拉普拉斯变换1.1拉普拉斯变换的定义设在有定义，，在闭区间可积，如果无穷含参积分收敛，则称为拉普拉斯变换，简记为称为原函数，称为象函数。1.2拉普拉斯变换分析线性动态电路的优点（1）拉普拉斯变换将时域中描述动态电路的微分方程变换为复频域的代数方程，求解代数方程可得复频域响应。（2）对于系统中包含的初始条件，经过拉普拉斯变换，这些初始条件自动包含在变换式中，可以一步求得系统的完全解。（3）在进行电路分析时，可以直接根据电阻、电感、电容的复频域模型，直接画出电路的S模型求得电路的S域方程，十分简便。因此，拉普拉斯变换是分析复杂线性动态电路的有效工具。2.拉普拉斯变换在动态电路中的应用2.1S域分析模型中的电压和电流在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示。通常时域激励通过拉普拉斯变换可求出它的象函数。电路中的电压和电流用它的象函数表示，如，等。2.2S域模型分析中R、L、C元件的S域模型（1）电阻元件R的S域模型电阻R的时域模型为：（2）电感元件L的S域模型电感的时域模型为：（3）电容元件C的S域模型电容的时域模型为：对该模型做拉普拉斯变换得S域的模型为：电感和电容的S域模型均采用串联电路模型，当S域模型对应串联电路时，用回路方程列出方程。2.3S域方法分析电路过程的基本步骤（1）根据改变开关前一瞬间电路的工作状态，计算电容电压和电感电流在该时刻的值，以便确定电路复域模型中的初始值。（2）画出电路的复频域模型。（3）用普通电路分析方法（网孔、节点、回路等分析法）建立电路的复频域方程，求出待求响应的象函数。（4）根据部分分式展开法，将已求得的象函数进行拉普拉斯反变换，从而得到待求的时域响应。2.4动态电路复频域分析法举例解：根据图a），当，开关位于“1”且电路处于稳态，则：，根据电路复频域分析法，做出图b），由节点电压法得：将作部分分式展开并求出相应系数得：进行拉普拉斯反变换得出：3.结束语常见的动态电路分析方法有时域分析、频域分析、复频域分析这三种。时域分析：在时域范围内用经典方法来分析电路，先列出电路的微分方程，再解微分方程可得系统的全响应。频域分析：频域分析法只能求到系统的零状态响应，不能求到系统的零输入响应，因此不能得到完全解。复频域分析：拉普拉斯变换法既能求出系统的零状态响应，又能求出系统的零输入响应，也可以一步求到全响应，方法灵活，计算简单。频域分析法和复频域分析法都是变换域分析法，它们是系统分析中非常重要的方法，如能灵活运用这些方法去求解线性系统，对于系统分析具有非常重要的意义。参考文献[1]瑞坤生.信号分析与处理[M].北京：高等教育出版社，1993.[2]曾禹村.信号与系统（第3版）[M].北京：北京理工大学出版社，2010.[3]李瀚荪.简明电路分析基础[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]陈洪