4.5 相似三角形的性质及其应用（9大题型）（分层练习）（原卷版）

第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用（9大题型）分层练习考查题型一重心的有关性质1．（2023春·安徽·九年级专题练习）下列说法中正确的是（

）①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④2．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若，则EF的长度为（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.43．（2023·江苏苏州·苏州高新区第二中学校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是．4．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．

5．（2023春·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

考查题型二相似三角形的判定与性质综合1．（2023秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（

）A．7.5 B．8 C． D．2．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，则的长为（

）．

A．4 B．2 C．1 D．33．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，在矩形中，，，若点E是边的中点，连接，过点B作于点F，则的长为．

4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，中，，于，，，则的长为．5．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，点C是边上一点，且满足．

(1)证明：；(2)若，，求的长．考查题型三利用相似三角形的性质求解1．（2023秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，有一锐角为的三角尺，它的内外两个三角形是相似的，三角尺的斜边长为，其内部三角形的最短边长为，则这个三角尺内外两个三角形的面积比为（

）

A． B． C． D．2（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，相似比为，交于点F．则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，小亮利用标杆测量建筑物的高度，已知长为，测得长为，长为，则长为.

4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，点D、E分别是边、上的点，且，，那么．

5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点是边上一点，且满足．

(1)证明：；(2)若，，求的长．考查题型四证明三角形的对应线段成比例1．（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（

）．A． B．3 C．4 D．2．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(

)A． B．C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=．4．（2023·江苏徐州·校考一模）如图，在中，分别平分与，延长交于点D，连接，作，垂足为E，若，，，则的面积为．5．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．

(1)图①中，点P为的中点；(2)图②中，点P在线段上且．考查题型五利用相似求坐标1．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为．4．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则（1）与的位置关系是；（2）求点的坐标是．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且．(1)直接写出___________，___________(2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标．考查题型六在网格中画与已知三角形相似的三角形1．（2022秋·九年级单元测试）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（）A．B． C． D．2．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，联结DE、DF，使得△DEF与△ACB相似（在图中画出符合题意的点D）4．（2022秋·河北张家口·九年级统考期中）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在的网格中，是一个格点三角形，如果也是该网格中的一个格点三角形，它与相似且面积最大，那么与相似比的值是．5．（2023春·吉林·九年级专题练习）图①、图②均是由48个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形，如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中作，使是格点三角形且与相似．(2)在图②中作，使与相等，要求点F为格点且不与点C重合．考查题型七相似三角形—动点问题1．（2023春·吉林长春·九年级校考开学考试）如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（

）

A．2或 B． C．3或 D．32．（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（

）A．20 B．16 C． D．3．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在中，，，点是的中点，点为上一动点，当时，与相似．4．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．运动过程中，若以B、P、Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为s．5．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：(1)当时，、两点之间的距离是多少？(2)若的面积为，求关于的函数关系式．(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？考查题型八相似三角形的应用举例1．（2023秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（）

A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为（

）．

A． B． C． D．3．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，刻度尺的分度值为．玻璃管的内径正对“30”刻度线，正对“50”刻度线，，量得，则内径长为．

4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长，即．水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，即．当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒与影长的比为，则此刻风力发电机的影长为m．5．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．

考查题型九相似三角形的综合问题1．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（

）A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：32．（2022秋·福建宁德·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：83．（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为.4．（2023秋·九年级课时练习）如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在中，，于，且，那么（

）

A． B． C． D．2．（福建省漳州市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（A卷））如图，在菱形中，E为上一点，、交于点O，若，则等于（）

A． B． C． D．3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（

）

A． B．4 C． D．54．（2022·安徽合肥·校考三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．5．（2021·广东深圳·统考一模）如图，在矩形中，，E为中点，连接交于点F，连，下列结论：①；②；③；④．正确的有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在中，，于D．若，，则．

7．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，垂足为D，，垂足为E，若，则

8．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

9．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点C的对应点是点N，与交于点P，与交于点M，若，，则．

10．（2023秋·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，点是上一动点(不与重合)，对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤点在两点的连线上．其中正确的是．

11．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，身高的小王晚上在灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部点向东走20步