1.2 锐角三角函数的计算（11大题型）（分层练习）（解析版）

第1章解直角三角形1.2锐角三角函数的计算（11大题型）分层练习考查题型一求特殊角的三角函数值1．（22·23·杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．2．（22·23下·娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可以计算出的值．【详解】解：由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【答案】；【分析】分别化简代数式和字母的值，再代入计算．【详解】原式，∵；，∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，特殊角三角函数值，解题的关键是先化简，然后把给定的值代入求解．考查题型二特殊角三角函数值的混合运算1．（22·23上·洛阳·期末）下列计算错误的个数是（

）①；；③；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．【详解】解：，，，故①错误；，故②正确；，故③错误；，，，故④正确；综上分析可知，错误的有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．（2020上·万州·期中）计算：=．【答案】【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：===．故答案为．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．（上海市闵行区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．考查题型三由特殊角的三角函数值判断三角形形状1．（22·23上·盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可．【详解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．2．（2017下·芜湖·一模）在ABC中，，则ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．3．（22·23上·嘉峪关·期末）在中，，则的形状是．【答案】等边三角形【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答．【详解】∵，∴，，即，，∴，，∴，则一定是等边三角形，故答案为:等边三角形．【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考查题型四由计算器求锐角三角函数值1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分别计算出m，n，k的值即可得出答案．【详解】解：m＝23−＝8−4＝4；n＝−22＝4−4＝0；k＝−cos60°＝−＝4；∴m＝k，故选：C．【点睛】本题考查了计算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数；B、利用科学计算器计算可得．【详解】解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°-140°=40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°=9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角和计算器的使用，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．考查题型五根据特殊角三角函数值求角的度数1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根据，得，根据同底等高可以得到，即可求得k的值．【详解】解：连结

，轴，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据已知条件求出点的坐标，将，的坐标代入，即可求得、，从而求得抛物线的表达式.（2）应用二次函数的性质，求出点的坐标，从而求得，进而求得的大小.（3）根据（2）的结论得出，进而分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：∵∴，∵∴，则将，代入得：，解得，∴这条抛物线的表达式为；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，∵∴，∴，则∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴轴或如图所示，

当轴时，，当时，，则是等边三角形，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．考查题型六已知角度比较三角函数值的大小1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据当α=45°时sinα=cosα和正弦函数和余弦函数的增减性即可得出答案．【详解】解：∵α=45°时sinα=cosα，当α是锐角时sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小，∴45°＜α＜90°．故选D．【点睛】考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义及性质、特殊角三角函数逐项判断即可．【详解】A、，故说法不正确；B、对于任一锐角，这个角的正弦等于它的余角的余弦，即若为锐角，则，故说法正确；C、当β=60°时，，则，故说法不正确；D、当α=45°时，，故说法不正确；故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及性质、特殊角的三角函数等知识，掌握它们是关键．考查题型七根据三角函数值判断锐角的取值范围1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．【答案】4【分析】设，则，根据，，根据正弦的增减性可得，当最大值，取得最大值，进而即可求解．【详解】设，则，则过点，则，当点与点重合时，取得最大值，此时最大，则最大，即取得最大值，此时，的最大值为故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，正弦的增减性，掌握三角函数的关系，矩形的性质是解题的关键．考查题型八利用同角三角函数关系求值1．（22·23·娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．【详解】解：∵，，∴即，，，故选：A．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键．2．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可；（2）把化为直接代入三角函数公式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α为锐角，解得，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．考查题型九求证同角三角函数关系式1．（2021春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得A.tanA•cotA==1，关系式成立；B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立；C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立．故选D．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明．2．（2022春·全国·九年级专题练习）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是．（填序号）①；②；③当时，；④．【答案】①③④【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【详解】解：①如图，在中，∵，，∴，故①正确；②若，则，，∴∴，故②错误；③当时，，∴越大，对边越大，且越接近斜边，∴越大，∴当时，，故③正确；④∵，，，∴，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．考查题型十互余两角三角函数的关系1．（2022秋·广西百色·九年级校考期末）下列式子中，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值的运算以及互余两角三角函数的关系对各选项进行判断即可．【详解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合题意；如图，∵，∴∴B中式子成立，故不符合题意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合题意；∵，∴，D中式子不成立，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，互余两角三角函数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的计算．2．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则．【答案】【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可．【详解】解：如图，在中，

∵，∴．∵，∴．∵为锐角，∴．∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键．考查题型十一三角函数综合1．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接，交于点G，如图所示，

由翻折性质可得：垂直平分，∴，，∵E为的中点，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．2．（2023·上海长宁·统考一模）如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为．【答案】【分析】过点E作交于点G，证明，根据正方形的面积求出，然后求出结果即可．【详解】解：过点E作交于点G，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面积为12，∴，∵，∴．答案：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出．1．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．【详解】解：由题意，得，故设则，故选：B．【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．2．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，解得，，根据，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案【详解】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．4．（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可以计算出的值．【详解】解：由题意可得，，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．5．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形的外接圆上的动点，连接，，，当平分时，的度数为（）

A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】连接，推出是的直径，利用三角函数的定义求得，再分类讨论，当点P在上方和点P在下方时，据此求解即可．【详解】解：连接，∵点P为矩形的外接圆上的动点，∴，∴是的直径，∴，∵，，∴，∴，当点P在上方时，∵平分，

∴，∵，∴，∴；当点P在下方时，

同理可得，∴；综上，的度数为或故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明是的直径是解题的关键．6．（2022·湖北黄石·校考模拟预测）计算：．【答案】0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；【详解】原式故答案为：0．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．7．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在中，，，，则边的长为．【答案】或/或【分析】作于，根据“”，得出，计算出、，根据勾股定理计算出，当在的内部时，；当在的外部时，．分类讨论计算即可．【详解】如下图，作于，

∵，，∴，在中，，，∴在中，，当在的内部时，；当在的外部时，．综上所述，边的长为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角函数、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点分类讨论、计算是解题的关键．8．（2022上·山东青岛·九年级校考阶段练习）如图（1）中，是一张正方形纸片，，分别为，的中点，沿过点的折痕将翻折，使得点落在（）中上，折痕交于点，那么．

【答案】/度【分析】利用正方形的性质和正弦的概念得出，进而根据折叠的性质，即可求解．【详解】解：如图所示，

，，∵折叠，，．故答案为：．【点睛】本题利用了正方形的性质，中点的性质，正弦的概念求解，得出是解题的关键．9．（2023·全国·九年级专题练习）矩形纸片中，，，点M在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F，则线段的长度为．【答案】或【分析】证明，得出，分两种情况讨论，当M点在D点的右侧时，当M点在D点的左侧时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：设，交于点O，∵将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴，，又，∴，∴，①当M点在D点的右侧时，如图所示，

∵，，∴，中，根据勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∴；当M点在D点的左侧时，如图所示，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，综上所述，的长为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，解题关键是数形结合，并注意分类讨论．10．（2023·河北张家口·统考一模）如图，矩形纸片中，，，P为边上一点，将沿折叠，得到．（1）当时，点E落在上；（2）点E，F关于对称，若，则=．【答案】或【分析】（1）由矩形的性质得到，，根据正切值求出，再利用正切求出；（2）根据，得到是等边三角形，求出，再分当点在上方时，当点在下方时，分别求出答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴．当点落在上时，，．（2）若，则，∴是等边三角形，∴，当点在上方时，，则；当点在下方时，，．故答案为：或．【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角函数，分类讨论，正确掌握各知识点是解题的关键．11．（2023上·山东潍坊·九年级校考阶段练