2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷07（新高考、新结构、新情境）（含答案）

届高考考前冲刺系列数学模拟试卷07（新高考、新结构、新情境）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在的展开式中，含项的系数是（）A.16 B.24 C.21 D.194.已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C.D. 5.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A B. C. D.6.早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（）A. B. C. D.7.如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（）A. B.1 C. D.8.在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，若，则的值可以为（）A B. C. D.10.已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（）A.点是的图象的一个对称中心B.为周期函数，且4是的一个周期C.为偶函数D.11.在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.三棱锥体积的最大值为 B.点都在同一球面上C.点在某一位置，可使 D.当时，第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为.13.已知圆锥轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________.14.已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正切值．16．（本小题满分15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求a的取值范围．17．（本小题满分15分）甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球次后，记事件“乙、丙、丁三人均被传到球”的概率为．（1）当时，求球又回到甲手中的概率；（2）当时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；（3）记，求证：数列从第3项起构成等比数列，并求．18．（本小题满分17分）已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上．（1）求抛物线和圆的标准方程；（2）若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标．19．（本小题满分17分）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．（1）若，，写出Y，并求；（2）若，，求所有的总和；（3）对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．2024届高考考前冲刺系列数学模拟试卷07（新高考、新结构、新情境）参考答案一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678CBDCDABA二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.91011BDACABD三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．15 13．114．6 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（本小题满分13分）【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.（2）由已知结合（1）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，由直角梯形求出，求出相关点的坐标，利用线面角的向量求法计算得解.小问1详解】平面平面，且平面平面平面，则平面，而平面，所以．【小问2详解】由（1）知，而，平面，则平面，以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，过作于点，则四边形是矩形，则，，由，得，又四棱台的底面为正方形，，则，则，，，设是平面的一个法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，有，则，，所以直线与平面所成角的正切值为2．16．（本小题满分15分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.【小问1详解】由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为，即．【小问2详解】当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意．综上所述，．17．（本小题满分15分）【答案】（1）；（2）分布列见解析，；证明见解析，.【解析】【分析】（1）考虑传球过程中，是否传给甲，分类讨论，根据古典概型的概率计算公式即可求得结果；（2）求得的取值，结合（1）中求解思路，求得对应取值下的概率，即可求得分布列，再求数学期望即可；（3）讨论次传球后，人接过球的人数情况，构造等比数列，结合等比数列通项公式的求解，即可证明并求得通项公式.【小问1详解】传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有种；传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有种，传球的过程中传给甲，有种；故传球次，球又回到甲手中的概率为.【小问2详解】根据题意可得，，，，故的分布列如下所示：则.【小问3详解】次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：第一种，时，次传球后，此人均接过他人传球，则其概率为；第二种，时，次传球后，此人中只有人接过他人传球，则第次传球时将球传给剩余的1人，其概率为：；所以当时，，故，因为，.所以数列从第3项起构成等比数列，，则.（本小题满分17分）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助准线方程可得抛物线方程，借助切线性质，结合待定系数法计算可得圆方程；（2）设、的斜率分别为、，则可用其表示出、两点坐标，即可表示出的周长，借助点到直线距离公式可得，则有，即可得、是关于的方程的两个不同根，结合韦达定理计算即可得.【小问1详解】由抛物线准线方程为，故，即，故，由圆心在直线上，设，圆的半径为，则有，，整理可得，，即，故，则，即圆；【小问2详解】由题意可得，直线、的斜率存在，设、的斜率分别为、，则，，对，令，则，即，同理可得，则，同理可得，，即，有，则有，即，,则，，由亦可得，同理可得，故、是关于的方程的两个不同根，，有，，则，则当取最大值时，的周长最小，即，即时，的周长最小，此时，即的坐标为.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助点到直线距离公式，得到，从而得到、是关于的方程的两个不同根，即可借助韦达定理表示出、与、的关系，以代入计算周长.19．（本小题满分17分）【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以．【小问2详解】对1，，5是否属于B进行讨论：①含1的B的个数为，此时在映射f下，；不含1的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；②含5的B的个数为，此时在映射f下，；不含5的B的个数为，此时在映射f下，；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；②含的B的个数为，此时在映射f下，，；不含的B的个数为，此时在映射f下，，；所以所有y中的总个数和的总个数均为20．综上，所有的总和为．【小问3详解】对于给定的，考虑在映射f