九师联盟2024届高三下学期3月质量检测文科数学试题（含答案）

高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知双曲线的离心率，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.对成对样本数据，，…，用最小二乘法求回归方程是为了使（）A. B.C.最小 D.最小6.执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（）A. B. C. D.7.已知正数a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（）A. B. C. D.9.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（）A.1 B. C. D.210.将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A. B. C. D.11.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（）A. B. C. D.12.已知定义域为的函数满足：为偶函数，，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在等差数列中，，，则其公差______.14.在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为______米.15.已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为1、2、3，则点D到平面的距离为______.16.若存在实数a，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：（1）从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；（2）从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率。18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，且，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求与平面所成角的大小.19.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）若，，求b；（2）若，求的面积S的最大值.20.（本小题满分12分）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P为C上一点，且的周长为6.（1）求C的方程；（2）过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值.21.（本小题满分12分）已知函数，.（1）当时，求曲线过原点的切线方程；（2）若的最小值与的最小值相等，求实数a.（二）选考题：共10分。请考生在第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）若l过C的圆心，求实数m的值；（2）当时，求C上的点到l距离的最小值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，m为的最小值.（1）求m的值；（2）已知实数n，p，q满足，，且，证明：.高三文科数学参考答案、提示及评分细则1.A方法1：由，得，所以，所以.故选A.方法2：由，得，所以，所以.故选A.2.D由，得，所以，由，得，故，所以.故选D.3.C由，得，又，所以，即（为，的夹角），所以，又，所以.故选C.4.C因为，解得，所以C的渐近线方程为，即.故选C.5.D最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配.利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小.故选D.6.B当时，，满足；当时，对于选项D，，不满足，此时输出i值为3，不满足题意，其他选项均满足；当时，，满足；当时，选项A、C中的S均满足，继续循环，选项B中，，不满足，退出循环，输出.故选B.7.B取，，满足，但不满足，故“”是“”的不充分条件；因为，，所以，若，则，故“”是“”的必要条件.故选B.8.D设球O的直径为，则圆柱的底面直径和高均为，又圆柱的体积为，则，即，解得，所以球的表面积为.故选D.9.A连接，则，而的最小值为点C到直线l的距离，所以.故选A.10.C当时，，所以，当时，，则，故数列的前2024项的和为.故选C.11.D由题意知，画出的图象以及的图象（如图所示），与的图象在上有5个交点，这5个交点的横坐标即为方程在上的5个实数根，，，，，易知，关于对称，，关于对称，，关于对称，，关于对称，所以，，，，所以，故D正确.故选D.12.B由为偶函数，得，所以，由，恒有，得，所以，即，所以，故8是的周期.由，得，由，得，所以.故选B.13.2由，得，故，所以.14.60以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意得，将其代入抛物线方程得，解得，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米.15.2如图，连接，相交于点E，则点E为和的中点，分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，，则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为A，C两点到平面的距离分别为1、3，则，点B到平面的距离也为2，直线在平面的同侧，所以上有两个点到平面的距离都为2，则直线平面，故点D到平面的距离为2.16.不等式等价于，即，原命题等价于存在实数a，对任意实数，不等式恒成立，等价于存在实数a，不等式成立.记，则.令，解得，故在区间上单调递增，在上单调递减，，，.（1）当，即时，，所以；（2）当，即时，，所以.综上所述，m的取值范围为.17.解：（1）根据统计数据可得2024年元旦及其前后7天中，共有3天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”，……2分若7天中任取1天，则这天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.……4分（2）根据统计数据得2024年元旦及其前后7天中，交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数共有3天，记作A，B，C，其余4天记作a，b，c，d，……5分从7天中任取2天含有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个；……8分其中都比2023年同日TPI低包含的基本事件有，，，，，，共6个，……10分故所求概率为.……12分18.（1）证明：在四棱锥中，，又，所以，……1分因为，，，平面，所以平面，……3分又平面，所以平面平面.……4分（2）解：取棱的中点O，连接，，由，得，……5分由（1）知，平面，因为平面，所以，……6分因为，平面，，所以平面，……7分所以是在平面内的射影，所以与平面所成的角为.……8分设，因为，则，……9分因为，所以，……10分所以在中，，所以与平面所成的角为30°.……12分19.解：（1）由及正弦定理，得，又，所以，所以，……2分又，所以，所以B为锐角，所以，，所以，故，……5分又，所以.……7分（2）因为，由正弦定理，得，即，……8分所以，又，所以.……10分因为，所以，即，当且仅当时等号成立，……11分所以，当且仅当时取等号，所以S的最大值是.……12分20.（1）解：设，由题意得，，所以，，……2分又，所以，所以C的方程为.……4分（2）证明：由题意知，则直线l的方程为，由题意知.设，，联立消去y并整理得，……5分显然判别式，所以，，所以.……7分由题意知直线的方程为，设，，联立消去y得，……8分所以，，所以，……10分所以为定值.……12分21.解：（1）当时，，，设切点为，则曲线在A处的切线斜率，……2分故所求的切线方程为，又切线过原点，所以，解得，所以，，故所求切线方程为.……4分（2）由题意得，，因为当时，，在上是增函数，无最小值，不合题意，所以，……5分令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值也是最小值.……6分令，得，令，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一的极小值也是最小值为.……7分由题意，即，……8分令，则，……9分令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，……10分所以，所以，所以在上单调递减，……11分又，故为的唯一零点，所以由，得.即当的最小值与的最小值相等时，实数a的值为1.……12分（另法：将化为：，然后设，求其零点即可得解.）