2.3.1离散型随机变量的均值

2.3离散型随机变量的均值与方差引入要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察:对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是考察：这个班的平均分；这个班数学成绩的方差。2.3.1离散型随机变量的均值先介绍两种平均数：算术平均数如果你期中考试各门成绩分别为：91，85，80，80，75，59那你的平均成绩是多少？先介绍两种平均数：加权平均数如果你期中考试数学成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%，平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？加权平均权数

权是秤锤，权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数.问题:某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成随机变量X,得X的概率分布列：X1234P加权平均权数权数恰好是随机变量X取每个值的概率.一、离散型随机变量的均值：

X……

P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为它反映了离散型随机变量取值的平均水平。为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。

则称()你能给出求随机变量X的均值的步骤吗？归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、求出相应的概率值,并写出分布列。③、根据分布列套公式求出均值。练习1：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22试根据这个分布列估计该射手射击的平均环数.

解：

由该射手射击所得环数ξ的分布列可知E(ξ)=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22=8.32

所以，可以估计该射手射击的平均环数为8.32.

练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.x123456P1/61/61/61/61/61/6解：思考：············设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则（1）Y是随机变量吗？（2）Y的分布列是什么？（3）E(Y)=？若离散型随机变量X的分布列如下：()因为P(Y=axi+b)=P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，所以，Y的分布列为Yax1+bax2+b…axi+b…axn+bPp1p2…pi…pnE(Y)=E(aX+b)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b，E(aX+b)=aE(X)+b二、均值的重要性质：练习1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E(ξ)=.

练习2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E(η)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,则a=

b=

.0.40.1例1、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.7+0×0.3=0.7三、两个特殊分布的均值1.两点分布的均值三、两个特殊分布的均值1.两点分布的均值结论1：若X服从两点分布，则E(X)=p.那么Ｅ(X)=1×p+0×(1-p)=p.X01P1-pP一般地，如果随机变量Ｘ服从两点分布，即分布列为：2.二项分布的均值例2、在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次：（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。解：（1）X的可能取值为：0，1，2，3X~B（3，0.7）（2）E(X)=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1E(X)=2.1=3×0.72.二项分布的均值结论2：若X~B(n，p)，则E(X)=np.一般地，如果随机变量Ｘ～B(n,p)，即分布列为：

X0

1

…k

…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k

…Cnnpnq0∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)(∵kCnk

=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np练习：一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是

.3分析：设取到红球的次数为X，X~B（5，0.6）所以E(X)=5×0.6=3解：

设学生甲和学生乙在这次测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，

η～B(20，0.25)，E(ξ)＝20×0.9＝18，E(η)＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是:E(5ξ)＝5E(ξ)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25．例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次单元测验中的成绩的均值。思考:

(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?(2)他的成绩的均值为90分的含义是什么?不一定.他的成绩是一个随机变量,

可能取值为0,5,10,…95,100含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分.例3：根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:

方案1:运走设备,搬运费为3800元;

方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;

方案3:不采取任何措施.

试比较哪一种方案好?采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;

没有大洪水时,损失2000元,即采用第3种方案,有

解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,

即X1=3800于是,E(X2)=62000×P(X2=62000)+2000×P(X2=2000)=62000×0.01+2000×(1-0.01)=2600E(X1)=3800,E(X3)=60000×P(X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P(X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案20.030.97P1000－a1000解得a≤10000故保险公司应将最大赔偿金定为10000元。练习：被保对象缴纳保险费1000元时，保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，若被保对象出险的概率为0.03，为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？1、离散型随机变量均值的定义

X……

P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为

则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。

小结2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质

若ξ~B(n，p)，则E(ξ)=np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值

若ξ~B(1，p)，则E(ξ)=p一.填空（1）某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后尚剩余子弹数目ξ的数学期望是___________.2.376（2）有两台在两地独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则E(ξ)=___________.1.75

补充练习

（3）设离散性随机变量可能取的值为1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1，2，3，4)又ξ的数学期望E(ξ)=3，则a+b=_______．

（1）口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ=()A.4B.4.5C.4.75D.5

（2）一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是()A、0.4B、1C、1.2D、1.5√√二.选择

1、若一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障可获利5万元，发生两次故障没有利润，发生三次或三次以上故障就亏损2万元，求一周内平均获利多少元?(保留三位有效数字).三.解答解：设一周内机器发生故障的次数为ξ，则ξ的分布列为：ξ012≥3P(ξi)0.85C510.2×0.84C520.22×0.831-0.85-C510.2×0.84-C520.22×0.83那么，随机变量利润η的分布列为：η1050-2P(ηi)0.327680.40960.20480.05792Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792=5