2023-2024学年福建省福州十九中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州十九中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各数—1，2,-3,0,一2中，负数的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在130000000斤以上，将130000000这个数用科学记数法

表示为（）

A.13x108B.1.3X108C.1.3x109D.0.13x1O10

3.下列计算正确的是（）

A.（2a4）3=6a12B.5a-4a=1

C.3a-a2=3a2D,（a+3）（a-3）=a2—9

4.《义务教育课程标准（2022年版"首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定.某班有7名学

生已经学会炒的菜品的种数依次为：2,4,3,2,5,2,3.则这组数据的众数和中位数分别是（）

A.2,2B.2,2.5C.2,3D.3.3

5.在下列一次函数中，其图象过点（-1,2）且y随x的增大而减小的是（）

A.y=2%+5B.y=x+2C.y=—2x+1D.y=—x+1

6.据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2023年1月至3月，新能源车月销量由33.2万

辆增加到54.6万辆，设2023年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为X,则可列方程为（）

A.33.2(1+2x)=54.6B.33.2x2•(1+x)=54.6

C.33.2[1+(1+x)+(1+%)2]=54.6D.33.2(1+x)2=54.6

7.关于x的一元二次方程/一8x+rn=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是()

A.15B.16C.17D.18

8.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章4BCDE上,若直尺的下沿MN1OE于

点。，且经过点B,上沿PQ经过点E,则的度数为（）

A.152°

B.126°

C.120°

D.108°

9.如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,E为4B的中点，连接OE,过

。点作DF1AB于点F,若OE=4,^DAB=60°,则4F的长为（）

AEB

A.3

B.2A/~3

C.4

D.4<3

10.已知抛物线y=ax2-bx(a>0)经过这两点(-3-n,-1)与(n+1,-1))若点P(l,h)在抛物线上,则%可

能的值是()

A.2B.2.4C.2.8D.3.2

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.若，7^5有意义，则x的取值范围是.

12.因式分解：2a2-8=.

13.已知3a-b=0(bH0),则分式注他的值为.

14.如图，直线I经过正方形4BC0的顶点4分别过正方形的顶点B、。作于点/

15.在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分.数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码,

现由小明、小亮两位同学轮流从1〜9中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数

最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6,要

使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是

16.如图，在等边△ABC中，点。，E分别在边4c和BC上，连接。E,点C关于。E的对

称点是点尸，连接DF和EF分别交48于点M和N,若DM=2,EN=口,若4CDE和

四边形4DEB面积相等，则MN的长为.

三、解答题(本大题共9小题，共72.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题8.0分）

解方程：

（l）x2+6%=0；

12

(2)—=1+—.

18.（本小题8.0分）

如图，已知力D〃BC,AD=CB,AF=CE,求证：乙D=4B.

19.（本小题8.0分）

先化简，再求值：（++力）+号,其中a=C-

20.（本小题8.0分）

如图，在菱形ZBCD中，G为边CB延长线上一点，连接。G分别交4c和于E和F两点.

(1)求证：Z.ADE=Z.ABE-,

(2)已知EF=1,EG=3,求BE的长.

21.（本小题8.0分）

国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢

总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的

竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示,共分成四组:不合格0<x<60,合格60<x<80,

良好80<x<100,优秀x=100）,下面给出部分信息：

七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80,82,85,90,95,98.

八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80,82,86,86,86,88,94,98.

七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量

年级平均数众数中位数满分率

七年级82100a25%

八年级82b8735%

根据以上信息，解答下列问题:

(1)直接写出a,b的值;

(2)根据上述数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生对“国安知识”学握较好？请说明理由(写出一条理

由即可);

(3)该校七、八年级各有1000人参加此活动，估计参加此活动成绩优秀的学生人数是多少？

七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图

22.(本小题8.0分)

三坊七巷作为“十大历史文化古街”之一，其悠久的历史吸引了许多游客，景点内的A、B两种纪念品深受

广大游客们的喜爱,若买1件4种纪念品和3件B种纪念品花费50元，买4件4种纪念品和2件B种纪念品花费70

元.

⑴求两种纪念品的单价：

(2)游客决定要购买人B两种纪念品共300件，设购进4种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元

,若要求购进4种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半,试问如何购进两种纪念品使得所需总费用最低,

最低的费用是多少元？

23.(本小题8.0分)

问题背景：

在平面直角坐标系中，任意直线”/y轴，直线1上的任意两点4的坐标为(皿,%),点B的坐标为(m,电)且满足

血＞“2，则可以构成函数八="1一电.

问题解决：

(1)已知点C(m,km+2),D(m,3m),点C在点。的上方，若点E(4,6)在函数九图象上，求九的函数解析式；

(2)已知点M(rn,?n2+2m+6),点N(m,t)且t＜5,当2WmW4时，函数八的最大值是3,求t的值.

24.(本小题8.0分)

如图1,AACB和△4MN均为等腰直角三角形，入4cB=NAMN=90。，点M在BC边上，延长4c和NM交于

点F,(?。148于点。，交4M于点E.

AK__AK__

(1)求证：①ACMEsANB4；

②若AM=20,CM=12,求EM的值；

(2)如图2,点P是CN的中点，AB=2CM,求证：CP垂直平分DM.

25.(本小题8.0分)

已知抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于点4(一2,0)和点B,与y轴交于点C(0,-6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点B和抛物线顶点所在的直线与AC的延长线交于点D,求乙4DB的度数；

(3)作直线〃/BC与抛物线交于E(Xi，yi),口＞2，，2)两点且0＜/＜冷，点C、E和点B、F所在的直线相交于

点M,证明：点M在定直线上运动.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：负数有一1,-3,一2共3个，

故选：C.

根据负数的定义进行判断即可.

本题考查负数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.【答案】B

【解析】解:130000000=1.3x108.

故选：B.

把一个大于10的数记成ax的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学

记数法，由此即可得到答案.

本题考查科学记数法一表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法.

3.【答案】D

【解析】解:4、(2a4)3=23®4)3=8a】2=6ai2,计算错误，不符合题意；

B、5a-4a=(5-4)a=ar1,计算错误，不符合题意；

C、3a-a2=3ai+2=3a3*3a2,计算错误，不符合题意；

D.(a+3)(a-3)=a2-9,根据平方差公式可知计算正确，符合题意；

故选：D.

根据积的乘方运算、幕的乘方运算、合并同类项、单项式乘以单项式及平方差公式分别验证即可得到答案.

本题考查了整式混合运算，掌握整式混合运算的法则及公式是解决问题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：这组数据2,2,2,3,3,4,5中2出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数为2,

中位数为3.

故选：C.

根据中位数和众数的概念求解即可.

本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.将一组数据按照从小到大(或从大

到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的

个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

5.【答案】D

【解析】解：随x的增大而减小，

•・•该一次函数的一次项系数小于0，由此排除4,B,

对于y=—2x+l,当x=-1时，y=3,

.•.y=-2x+l的图象不过点(-1,2),由此排除C,

对于y=—x+1,当x=-1时，y=2,

y=-x+1的图象过点(-1,2),

故选：D.

对于一次函数y=kx+b,k<0时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于。的选项，再把点(-1,3)代

入，符合的函数解析式即为答案.

本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判断一次函数

图象的增减性.

6.【答案】D

【解析】解：根据题意得：33.2(1+%)2=54.6.

故选：D.

利用2023年3月新能源车月销量=2023年1月新能源车月销量X(1+2023年1月至3月新能源车销量的月平

均增长率)2,即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意得4=(-8)2-4m>0,

解得TH<16.

所以m的可以取15.

故选：A.

先根据根的判别式的意义得到/=(-8)2-4m>0,再解不等式得到rn的取值范围，然后对各选项进行判断.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a00)的根与4=b2—4ac有如下关系：当/>0时,

方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程无实数根.

8.【答案】B

【解析1解：由题意可得乙4ED=乙4=（5-2）X180°+5=108°,

MN1DE,

乙BOE=90°,

•••四边形4B0E中，Z.ABO=360°-90°-108°-108°=54°,

•••乙4BM=180°-&ABO=180°-54°=126°,

故选:B.

利用多边形的内角和及正多边形的性质求得乙4ED,44的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得

的度数，从而求得乙4BM的度数.

本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得乙4ED,乙4的度数是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

ADO=OB,

E为48的中点，

AE=EB,

・・・OE是的中位线，

・•・AD=2OE=8,

・・・

DF1ABfADAB=60°,

AF=^AD=4,

故选：C.

根据平行四边形的性质得出。。=OB,进而利用三角形的中位线定理得H1AD,进而利用含30。角的直角三

角形的性质解答即可.

此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出。。=OB解答.

10.【答案】D

【解析】解：•.・抛物线¥=一b%（Q>0）经过这两点（_3一几一1）与（几+1,一1）,

••・抛物线的对称轴为直线X=-3-7+1=-1,

・•・b=—2a,

・•・y=ax2+2ax(a>0),

•・,点尸(l,h)在抛物线上，

■■h.=a+2a=3a,

,•,抛物线y=ax2-bx[a>0)经过这两点(-3-n,-1)与(n+1,-1),

・•・方程a--bx+1=0有两个不相等的实数解，

•••4=(2a)2—4a>0,即4a(a-1)>0,

va>0,

Aa>1,

二九=3a>3,

故％可能的值是3.2,

故选：D.

根据抛物线的对称性求得对称轴为直线x=-1,即可求得b=-2a,即y=ax2+2ax(a>0),把(1,%)代入

求得九=3a,由抛物线y=ax2—bx(a>0)经过两点(—3—n,—1)与(n+1,—1)可知方程a/—bx+1=0

有两个不相等的实数解，则4=(2a)2—4a>0,即4a(a-1)>0,求得a>l,从而求得九=3a>3.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

11.【答案】%>3

【解析】解：若CT忑有意义，

则x-3>0,

x>3,

即X的取值范围是K>3,

故答案为：x>3.

根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于。解答即可.

本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若产有意义，贝必20.

12.【答案】2(a+2)(a-2)

【解析】解:2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).

故答案为：2(a+2)(a—2).

首先提取公因式2,进而利用平方差公式分解因式即可.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键.

13.【答案】3

【解析】解：3a—b=0

■-3a=b,将3a=从弋入分式二丝，得到?=乎=3

bbb

故答案为：3.

将3a-b=0(b片0)进行变式即3a=b,再将3a=b代入分式即可求解.

本题考查分式的计算，将已知条件进行变式即可解决问题.

14.【答案】7

【解析】解：于点F,DELI于点E,

A/.DEA=Z.AFB=90°,

DE=3,AD=5,

：.AE=VAD2-DE2=752-32=4(cm)，

•••直线/经过正方形ABC。的顶点力，

Z.BAD=90°,DA=AB,

■■乙ADE=^BAF=90°-乙DAE,

在AAOE和△B4F中，

2ADE=4BAF

Z.DEA=Z.AFB,

.DA=AB

•••△4DE三力FQ44S),

AE=BF=4,DE=AF=3,

EF=AE+AF=3+4=7,

故答案为：7.

由于点F,DE11于点E,得NDE力=41FB=90。，由正方形的性质得NB4D=90。，DA=AB,则

Z.ADE=Z.BAF=90°-Z.DAE,即可证明△4OE三△B4F,得4E=BF,DE=AF,所以EF=4E+4F,

于是得到问题的答案.

此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△4CE三ABHF是解

题的关键.

15.【答案】69871

【解析】解：小亮选的数会使这5个数据中位数最大，小亮选的数为9,小明选的数会使这5个数据平均数最

小，则小明选的数为1,若五位数密码第一个数字是6,要使这个五位数最大，则产生的密码是69871,

故答案为：69871.

根据中位数、平均数的定义即可求解.

本题考查中位数、平均数，掌握中位数、平均数的定义是解题的关键.

16.【答案】＜7

【解析】解：•・・△ABC是等边三角形，

・•,Z-A=Z-B=乙C=60°,

由轴对称的性质可得，AFDEWACDE,

S&FDE=S&CDE，乙F—乙C—60°»

・・・乙FMN+乙FNM=120°,

・・・Z.AMD=乙FMN,乙BNE=乙FNM,

・・・乙AMD+乙BNE=120°,

在△AMD中，乙4=60°,

・・・Z,ADM+Z-AMD=120°,

・•.Z,ADM=乙BNE,

又•・•Z71=

・••△AMD^LBEN,

.SMMD=、2)2=1

SABEN—'NE'_5)~39

设SfMD=4a,则S^BEN=3Q,

・・,△CDE和四边形ADEB面积相等，

・・.△FDE和四边形ADEB面积相等，

•••S^FMN=SMMO+S2BEN=4a+3a=7a,

・・・=LF=60°,(FMN=Z4,

FMN~>AMD,

.S*MN_(MN、2

''S"MD-l而，

7a/MN、？

.F=k)，

解得MN=C，

故答案为：<7-

根据轴对称的性质得出小FDE三XCDE,即可得到这两个三角形面积相等，再结合等边三角形的性质证得小

AMDFBEN,根据相似三角形面积之比等于相似比的平方得出这两个三角形面积之间的关系，再证△

FMNSAAMD,根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出MN的长.

本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解

题的关键.

17.【答案】解：(1)•••/+6%=0,

•1•x(x+6)=0>

则x=0或x+6=0,

解得=0,x2=-6；

(2)两边都乘以(x—1)得：1=尤—1+2,

解得x=0,

检验：当x=0时，久一1=0-1=-1力0,

所以原分式方程的解为x=0.

【解析】(1)利用十字相乘法、提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，

再进一步求解即可.

(2)两边都乘以工-1得出关于x的整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案.

本题主要考查解一元二次方程和分式方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、

公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

18.【答案】证明：AD//BC,

••Z.A=Z.C.

在△4F0和ZiCEB中，

AD=CB

/.A=Z.C,

.AF=CE

•••△AFD^^CEB(S4S).

Z.D=Z-B.

【解析】由平行线的性质就可以得出乙4=ZC,由S4S就证出A4/。三ACEB,由全等三角形的性质就可以

得出结论.

本题考查了平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时得出三角形全等是关键.

(a+2)(a-2)

.【答案】解:原式=】

19[(a+2)(a-2)+(a+2)(a-2)6

2a(a+2)(a-2)

(a+2)(a—2)6

a

当a=，耳时，原式=?.

【解析1根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

20.【答案】（1）证明：•••四边形ABCD是菱形，

・•・AD=ABZ-DAE=乙BAE,

vAE—AE,

・•・Z.ADE=Z.ABE；

（2）解：•••四边形力BCD是菱形，

AD//BC,

•••Z.ADE=ZG,

Z.ADE=乙ABE,

Z.ABE=zG,

乙BEG-乙BEF,

BEF^AGEB,

_BE__EF_

“丽一丽’

BE2=EGEF=1x3=3,

:.BE=V-3-

【解析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（2）根据菱形的性质得到4D〃BC,根据平行线的性质得到NADE=NG,根据相似三角形的判定和性质定理

即可得到结论.

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是

得到

21.【答案】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（80+82）+2=

81（分），

因此中位数是81分，即a=81,

八年级学生竞赛成绩的中位数是87,因此在87分以上的应有10人，可得100分的有10-3=7（人），

因此竞赛成绩的众数为100,即b=100；

a=81,b=100；

(2)八年级学生对“国安知识”掌握的比较好，理由如下：

虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级；

(3)七年级抽取的学生成绩优秀的人数为1000x磊=250(人)，

八年级抽取的学生成绩优秀的人数为1000x需=350(人)，

则优秀人数为250+350=600(人)，

答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是600人.

【解析】(1)找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出a的值，找出八年级成绩

出现次数最多的数即为八年级成绩的众数b；

(2)根据中位数和满分率进行判断即可；

(3)分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解.

本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提.

22.【答案】解：(1)设4种纪念品单价为m元，B种纪念品的单价为n元，

根据题意得：｛冢咨言枭

解得｛:二3、

答：A种纪念品单价为11元，B种纪念品的单价为13元；

(2)•••购进4种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，

解得x<100,

根据题意得y=11%+13(300-x)=-2.x+3900,

■:-2V0,

y随尤的增大而减小，

.,.当x=100时，y取最小值,最小值为-2X100+3900=3700,

此时300-%=300-100=200,

答：购进4种纪念品100件，B种纪念品200件，所需总费用最低，最低的费用是3700元.

【解析】(1)设4种纪念品单价为m元，B种纪念品的单价为n元，根据买1件4种纪念品和3件B种纪念品花费

50元，买4件4种纪念品和2件B种纪念品花费70元列方程组可解得答案；

(2)由购进4种纪念品的数量不超过8种纪念品的一半，得x<型产,故x<100,而y=llx+13(300-x)=

-2%+3900,根据一次函数性质可得答案.

本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程组解决问题.

23.【答案】解：(1)根据题意，得h=/cm+2-3m=(Ze-3)m+2.

将E(4,6)代入h=(k-3)m+2,得6=4(左一3)+2,解得k=4.

，九=m+2.

(2)vm24-2m4-6=(m4-l)24-5>5,

・•・m2+2m+6>3

・•・h=m2+2m4-6—t=(m+l)2+5—3其开口向上，对称轴为zn=-1.

・••当2WTH工4时、m=4时力取最大值，

・•・3=(4+1)2+5-3解得t=27.

【解析】(1)根据点C和。的坐标，写出九关于小的函数表达式，将点E的坐标代入，求出k值，进而求出力的

函数解析式；

(2)证明?+2m+6>3得到九=m2+2m4-6-t.根据?n?+27n4-6-£的图象特征，求出当2<m<4时,

机取何值时九的函数值最大，进而求出£值.

本题考查函数的图象及函数关系式，根据题意求出函数关系式是本题的关键.

24.【答案】(1)①证明：如图：

•・・△AMN为等腰直角三角形，

・・・乙N=45°,乙AMN=90°,

・・・乙FMC+Z-AMC=90°,

•・・△4CB为等腰直角三角形，CDLAB,

/.Z.ACM=90°,乙DCB=45。,

・・・zF+乙FMC=90°,Z.DCB=z/V；

：•Z.AMC=ZF,4ECM=(N,

・••△CMEs〉NFA；

②解：以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图:

"AM=20,CM=12,

.1.AC=VAM2-CM2=7202-122=16=AB，

.♦.4(0,16),8(16,0),M(12,0),

由4(0,16),M(12,0)得直线AM解析式为y=-^x+16；

•・•△4CB为等腰直角三角形，CDVAB,

•••D为AB中点，

.1•0(8,8),

二直线。。解析式为y=x,

由卜=一扛+16得卜=京

Vy=x[y=y

・5育涔)，

vM(12,0),

...EM=J(12-1)2+(0-,)2=孕

(2)证明：以。为原点，CB所在直线为%轴，建立直角坐标系，过N作NH_Lx轴于"，如图:

AB=2CM,AB=6AC，

>/~2AC=2CM,

:•AC=—CM，

设CM=t,贝Uac=BC=V_2t>

.••4(0,Ct)，B(St,0),

•••△力CB为等腰直角三角形，CDLAB,

。为AB中点，

•:C(0,0),

CD=J(?)2+([£)2=t，

CD=CM,

•••C在。M的垂直平分线上；

•••△AMN为等腰直角三角形，

乙AMN=90°,AM=MN,

4NMH=900-Z.AMC=/.CAM,

■：/.ACM=90°=4MHN,

.,•△ACM三△MHN(44S),

AC=MH=Ct，CM=NH=t,

•••CH=CM+MH=t+V_7t>

N(t+

•••点P是CN的中点，

•••

・•・D净，等，

PD=J(字一年)2+(＞苧)2=J中t，PM=J(£±£a-t)2+(£_0)2=J手t，

PD=PM,

P在DM的垂直平分线上，

•••CP是DM的垂直平分线.

【解析】(1)①由AAMN为等腰直角三角形，得ZN=45。，乙4MN=90。，NFMC+乙4MC=90。，又△4CB

为等腰直角三角形，CDA.AB,有Z71CM=90°,乙DCB=45°,Z.F+Z.FMC=90°,Z.DCB=ZJV；故4AMe=

4F,4ECM=Z_N,ACMEfNFA；

②以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，由AM=20,CM=12,得AC=7AM?_CM2=

V202-122=16=4B，知4(0,16),B(16,0),M(12,0),直线AM解析式为y=-紧+16；而。为AB中点，

得D(8,8),直线OD解析式为丫=x,由+16得以竽涔),从而EM=J(12-卷+(0_卷=学

(2)以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，过N作NHlx轴于H,由4B=2CM,AB=pAC,

可得AC=CCM,设CM=t,则4c=BC=qt,A(0,V~2t),B(St,0),即得。(容,等)，CD=

J(?)2+(牛£)2=小故CD=CM,C在DM的垂直平分线上；根据AaMN为等腰直角三角形，证明△

ACM^^MHN(AAS),可得N(t+，2t,t);而点P是CN的中点，得p(巴可得p0=JUpt，PM=

J2寸t，P在DM的垂直平分线上，即可证CP是DM的垂直平分线.

本题考查相似三角形的判定与性质，设计等腰三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角坐标系等

知识，解题的关键是建立直角坐标系，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的