求数列通项公式

关于求数列通项公式学习目标在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法理解求通项公式的原理体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系第2页,共33页，2024年2月25日，星期天例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。

已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法第3页,共33页，2024年2月25日，星期天1、写出下列数列的一个通项公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系练习：第4页,共33页，2024年2月25日，星期天注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）第5页,共33页，2024年2月25日，星期天练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1

(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第6页,共33页，2024年2月25日，星期天第7页,共33页，2024年2月25日，星期天3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第8页,共33页，2024年2月25日，星期天例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3•••an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+•••+2+1+1三、累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意讨论首项;(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式第9页,共33页，2024年2月25日，星期天求法：累加法练习：第10页,共33页，2024年2月25日，星期天四、累乘法

(形如an+1=f(n)•an型)例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第11页,共33页，2024年2月25日，星期天练习1：类型四、累乘法形如的递推式第12页,共33页，2024年2月25日，星期天四、累乘法适用于an+1=anf(n)型的递推公式

练习2第13页,共33页，2024年2月25日，星期天五、迭代法例5.已知{an}中,an=3n－1+an－1,(n≥2),a1=1,求通项an.解:∵an=3n－1+an－1(n≥2)∴an=3n－1+an－1=3n－1+3n－2+an－2

=3n－1+3n－2+3n－3+an－3=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+

a1=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+1=3n

－12

特点逐项代换(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)第14页,共33页，2024年2月25日，星期天六待定系数法（构造法）例6：解：由题意可知：an+1+1=2(an+1)所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.所以an+1=2n,即an=2n-1第15页,共33页，2024年2月25日，星期天反思：待定系数法如何确定x？待定系数法：令an+1+x=p(an+x)即an+1=pan+px-x根据已知x=所以数列{}是等比数列.第16页,共33页，2024年2月25日，星期天类型七、相除法形如的递推式例8：第17页,共33页，2024年2月25日，星期天【变式迁移】已知数列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式.

解：（1）方法1：（构造法）因为a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以当n≥2时，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第18页,共33页，2024年2月25日，星期天所以是以为首项，以1为公差的等差数列.方法2：（代入法）因为a1＝5,n≥2时，所以，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.第19页,共33页，2024年2月25日，星期天第20页,共33页，2024年2月25日，星期天第21页,共33页，2024年2月25日，星期天

练习.

已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+

求数列{an}的通项公式。反思第22页,共33页，2024年2月25日，星期天例9：八取倒法形如的递推式第23页,共33页，2024年2月25日，星期天练习第24页,共33页，2024年2月25日，星期天形如的递推式例10：八取倒法第25页,共33页，2024年2月25日，星期天第26页,共33页，2024年2月25日，星期天第27页,共33页，2024年2月25日，星期天第28页,共33页，2024年2月25日，星期天第29页,共33页，2024年2月25日，星期天第30页,共33页，2024年2月25日，星期天求数列的通项公式类型方法1、已知前几项观察法2、已知前n项和Sn前n项和法3、形如的递推式累加法4、形如