河北省隆尧县北楼中学等2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析

河北省隆尧县北楼中学等2023-2024学年九年级数学第一学期期末统考模拟试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部,

对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（）

3.。0的半径为5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为(

A.1cmB.7cmC.3cm或4cmD.1cm或7cm

4.如图，已知在aABC中，P为AB上一点，连接CP,以下条件中不能判定△ACPs/kABC的是（)

ACCPACAB

NAPC=/ACBc.

ABBCAP-AC

5.抛物线,=0?+法+c如图所示，给出以下结论：①而<0,②c<0,®a-h+c=0,®a+b+c<0,

⑤6-4ac>0,其中正确的个数是（）

C,4个D.5个

1.

6.如图‘抛物线与'轴交于A、8两点'点P在一次函数、=一、+6的图像上‘。是线段出的中点'

连结OQ,则线段。。的最小值是（）

y

y/2.r-

A------B-1C.J2D.2

2

7.如图，AABC内接于。O,AB=BC,NABC=120。，AD为。。的直径，AD=6,那么AB的值为（)

A.3B.36C.2百D.2

8.下列说法中不正确的是（）

A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形

C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等

9.已知同=3,=5,且〃与a的方向相反，用。表示〃向量为（）

A.b=-aB.b=-ac.b=D.b=--a

533

10.下列事件中，属于必然事件的是（）

A.明天的最高气温将达35c

B.任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口

C.掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上

D.对顶角相等

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm,则该道路的实际长度是km.

12.在一个不透明的袋子中只装有”个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同.如果从袋子中随机摸出一个球,

摸到红球的概率是g,那么〃的值为

13.如图，AO是：。的直径，弦BC与弦CO长度相同，已知厶=60。，则NDOC=,

14.已知扇形的半径为3,圆心角为6（）。，则该扇形的弧长为.（结果保留））

15.如图，45是。。的直径,AC是。O的切线，连结OC交。。于点。，连结BD,NC=30。,则NA8O的度数是1

16.把两块同样大小的含6（）。角的三角板的直角重合并按图1方式放置，点P是两块三角板的边。E与AC的交点,

将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转45。到图2的位置，若BC=a,则点戶所走过的路程是.

ffilE£留2

17.为了解早高峰期间A,B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班

高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：

等待时的频数间

乘车等待时间5<t<1010<t<1515<t<2020<t<2525<t<30合计

地铁站

A5050152148100500

B452151674330500

据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为;夏老师家正好位于A,B两地铁

站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从地铁站上车.（填"A”或“B”）

18.一个不透明的布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1

个球是黄球的概率为0.4,则2=.

三、解答题（共66分）

19.(10分)关于x的方程x'-l(fc-1)x+P=()有两个实数根孙、xi.

(1)求々的取值范围；

(1)若X1+X1=1-X1X1,求《的值.

20.(6分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知：如图1,直线/及直线/

外一点A.

求作：直线AD,使得AO〃/.作法：如图2,

①在直线/上任取一点6,连接AH；

②以点〃为圆心，AB长为半径画弧，

交直线/于点C；

③分别以点4,C为圆心，A3长为半径

画弧，两弧交于点O(不与点〃重合)；

④作直线40.

所以直线AP就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，完成下面的证明.(说明：括号里填推理的依据)

证明：连接CD

,:AD=CD==,

，四边形ABCD是().

,AD//1().

图1图2

21.(6分)如图，在厶4BC中AC=12,A3=15,8。=18,0是BC边上一点，AC2=BC*CD,连接A。，点E,产

分别是的点(点/不与点A,6重合)，/。石=/邑。户与4。相交于点6.

⑴求AD,3。的长；

⑵求证：MEF〜MFG；

(3)当砂=EG时，请直接写出4G的长.

22.（8分）某厂生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出

厂总价比2件乙商品的出厂总价多1500元.

（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少？

（2）某销售商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍.恰逢该厂正在对甲商品进行降价促销活动，甲

商品的出厂单价降低了。%,该销售商购进甲的数量比原计划增加了2a%,乙的出厂单价没有改变，该销售商购进乙

的数量比原计划少了芸％.结果该销售商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求”的值.

80

23.（8分）如图，AB是。0的直径，点C、D在。0上，且AD平分NCAB,过点D作AC的垂线，与AC的延长

线相交于E,与AB的延长线相交于点F,G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H,连接DB、GB.

⑴证明EF是，0的切线；

（2）求证：NDGB=/BDF；

⑶已知圆的半径R=5,BH=3,求GH的长.

3

24.（8分）如图，。。是AABC的外接圆，AD是。。的直径，若。。的半径为不，AC=2,求sinb的值.

25.（10分）解方程：2X2+3X-1=1.

26,（10分）如图，AN是。。的直径，四边形48MN是矩形，与圆相交于点E,43=15,。是。。上的点，DC丄用

与交于点C,。。的半径为R=L

(1)求8E的长.

（2）若8c=15,求DE的长♦

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

【分析】根据相似多边形的性质逐一进行判断即可得答案.

【详解】由题意得，

A.菱形四条边均相等，所以对应边成比例，对应边平行，所以角也相等，所以两个菱形相似,

B.等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以两个等边三角形相似；

C.矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形

D.正方形四条边均相等，所以对应边成比例，四个角也相等，所以两个正方形相似；

故选C.

【点睛】

本题考查相似多边形的判定，其对应角相等，对应边成比例.两个条件缺一不可.

2、B

【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：由女《得，3a=2b,

A、由等式性质可得：3a=2b,正确；

B、由等式性质可得2a=3b,错误；

C、由等式性质可得：3a=2b,正确；

D、由等式性质可得：3a=2b,正确；

故选B.

【点睛】

本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积.

3、D

【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离.构造直角三角形利用勾股定理求出即可.

【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF丄CD,垂足为F,交AB于点E,连接OA,OC,

VAB/7CD,

；.OE丄AB，

■:AB=8cm，CD=6cm，

AE=4cm,CF=3cm，

,:OA=OC=5cm,

:.EO=3cm，OF=4cm，

，EF=OF-OEF1CHI;

图①

当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②,

过点O作OE丄AB于点E,反向延长OE交AD于点F,连接OA,OC

VAB/7CD,

；.OF丄CD,

,:AB=8cm，CD=6cm，

.*•AE=4cm，CF=3cm,

,:OA=OC=5cm,

EO=3cm9OF=4cm,

.**EF=OF+OE=7cm.

故选D.

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情

况.

4、C

【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论;

B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；

C、其夹角不相等，所以不能判定相似；

D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似.

【详解】A,VZA=ZA,NACP=/B,

/.△ACP^AABC,

所以此选项的条件可以判定AACPSAABC;

B、VZA=ZA,NAPC=NACB,

/.△ACP^AABC,

所以此选项的条件可以判定AACPSAABC;

,ACCP

C',AB-BC'

当NACP=NB时，AACPS△ABC,

所以此选项的条件不能判定AACPsaABC；

ACAB

D、*=

又NA=NA,

/.△ACP^AABC,

所以此选项的条件可以判定AACPS△ABC,

本题选择不能判定AACPsZiABC的条件，

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键.

5、D

【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，再根据与x

轴的交点坐标代入分析即可得到结果；

【详解】•.•抛物线开口向上，

；抛物线的对称轴在y轴的右侧，

/.b<0,

•••抛物线与y轴的交点在x轴的下方，

，cVO,

；.abVO,故①②正确；

当x=-l时，a-b+c^Q,故③正确；

当x=l时，根据图象可得a+/?+c<0,故④正确；

根据函数图像与x轴有两个交点可得〃-4ac>0,故⑤正确；

故答案选D.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键.

6、A

【分析】先求得A、B两点的坐标，设P(加,6-m)，根据之间的距离公式列出「庁关于阳的函数关系式，求得其最

小值，即可求得答案.

【详解】令y=0,贝！|[/_4=0,

4

解得：x=±4,

:.A、B两点的坐标分别为：4(4,0)、5(-4,0),

设点P的坐标为(加，6-m),

二2庁=(加一4)2+(6—加了=2nr-20m+52=2(m-5)2+2,

V2>0,

当m=5时，依2有最小值为：2,即PB有最小值为：及，

；A、B为抛物线的对称点，对称轴为y轴，

...O为线段AB中点，且Q为AP中点，

：.OQ=LpB=显.

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函

数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2庁的最小值是解题的关键.

7、A

【详解】解：VAB=BC,.,.ZBAC=ZC.

VZABC=120°,，ZC=ZBAC=10°.

；NC和ND是同圆中同弧所对的圆周角，ZD=ZC=10°.

；AD为直径，.,.ZABD=90°.

1

VAD=6,.\AB=-AD=1.

2

故选A.

8、C

【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.

【详解】解：A.四边相等的四边形是菱形；正确；

B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；

C.菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；

D.菱形的邻边相等；正确；

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键.

9、D

【分析】根据14=3,|可=5,且。与。的方向相反，即可用。表示厶向量.

【详解】同=3,网=5,

。与。的方向相反，

故选D.

【点睛】

考査了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.

10、D

【解析】A、明天最高气温是随机的，故A选项错误；

B、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B选项错误；

C、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C选项错误；

D、对顶角一定相等，所以是真命题，故D选项正确.

【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为1()0%,

故选：D.

【点睛】

本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、2.1

17

【解析】试题分析：设这条道路的实际长度为x,贝!J：解得x=210000cm=2.1km,.•.这条道路的实际长

40000x

度为2.1km.故答案为2.1.

考点：比例线段.

12、1.

【分析】根据概率公式得到二三=!,然后利用比例性质求出n即可.

n+23

【详解】根据题意得一之=:，

n+23

解得n=l,

经检验：〃=1是分式方程的解，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

13、60°

【分析】连接BD交OC与E,得出厶8。=90。，从而得出NA£>B=3O。；再根据弦BC与弦CO长度相同得出

BD1OC,即可得出NDOC的度数.

【详解】

连接BD交0C与E

AD是。。的直径

ZABD^90°

ZA=60°

ZADB=30°

弦8c与弦CO长度相同

•••BD1OC

ZZ)OC=90°-30°=60°

故答案为600.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，辅助线得出NA5£>=90°是解题的关键.

14、万

【分析】根据弧长公式是％长=要，代入就可以求出弧长.

180

【详解】•••扇形的半径是30cm,圆心角是60°,

该扇形的弧长是：

n兀R60xJix3

ZjBfiz.———7T.

瓠长180180

故答案为：).

【点睛】

本题考査的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键.

15、30°

【分析】根据切线的性质求出NOAC,结合NC=30。可求出NAOC,根据等腰三角形性质求出NB=NBDO,根据三角

形外角性质求出即可.

【详解】解：•••AC是。。的切线，

N"4c=90。，

；NC=30°,

NAOC=90。-30°=60°,

VOB=OD,

:.NABD=NBDO,

•：NABD+NBDO=NAOC,

1,

，NABD=—NAOC=30°,

2

故答案为：30°.

【点睛】

本题考査了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出NAOC

的度数.

16、(正在_0+1加

2

【分析】两块三角板的边OE与AC的交点户所走过的路程，需分类讨论，由图①的点P运动到图②的点尸，由图②

的点E运动到图③的点G,总路程为PF+戶G,分別求解即可.

【详解】如图，两块三角板的边。石与AC的交点P所走过的路程，分两步走：

(1)由图①的点P运动到图②的点F,

此时：ACLDE,点C到直线OE的距离最短，所以CF最短，则PF最长，

根据题意，CD=BC=a,/C0E=/CBA=6O°,

在R9CDF中，

/.CF=CDsinND=CDsin60°=—a；

2

(2)由图②的点F运动到图③的点G,

过G作GH丄OC于H,如下图，

D

'：NDCG=45°,且GH±DC,

:.*CHG是等腰直角三角形，

HG=HC,

设CG=x,则HG=HC-CGsin45°=——x，

2

72

,DH=CD—HC=a------X，

2

逝

田―丁_石

:.tan2。=tan60°=—

L)HV2

a------x

2

解得：*=36一戈，

2

即CG=3夜一痴,

2

点P所走过的路程：PF+FG=PC-CF+CG-CF^PC+CG-2CF,

3五-疾一S

=Q+-----------------2x——a

22

I2丿

故答案为：'V3+1a

\2丿

【点睛】

本题是一道需要把旋转角的概念和解直角三角形相结合求解的综合题,考查学生综合运用数学知识的能力.正确确定

点P所走过的路程是解答本题的关键.

1

17、-B

【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；

先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案.

【详解】•••在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50=100人,

/.在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为黑=1,

VA线路不超过20分钟的有50+50+152=252人,

B线路不超过20分钟的有45+215+167=427人,

••・选择B线路，

故答案为：—»B.

【点睛】

此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

18、1

【解析】根据黄球个数+总球的个数=黄球的概率，列出算式，求出a的值即可.

【详解】根据题意得：

a

.~=0.1,

2+4+。

解得：a=L

经检验，a=l是原分式方程的解，

则a=1；

故答案为1.

【点睛】

此题考査了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

三、解答题（共66分）

19、（1）^<|；（1）k=-3

【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得△=〃—4acN0,代入可解出k的取值范围；

（1）由韦达定理可知，%+毛=2（%—1）,%々=状列出等式，可得出k的值.

试题解析：（1）;"=4（A—Ip—44之0,—8A+4>0»

（l）Vxi+xi=1（A—1）,XjXi=kl,l（ft—1）=1—A1,

A]=1,ki=-3.

1

V*<-,：.k=~3.

20、BC=AB,菱形（四边相等的四边形是菱形），菱形的对边平行.

【解析】由菱形的判定及其性质求解可得.

【详解】证明：连接CD.

,/AD=CD=BC=AB,

四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.

；.AD〃1（菱形的对边平行）

【点睛】

此题考查菱形的判定，掌握判定定理是解题关键.

21、（1）AD=10,BD=10;（2）见解析；（3）AG="心疝豆.

2

【分析】（1）由AC?=8（>8可证明厶厶1^6厶1口厶（：，通过相似比即可求出AD,BD的长；

（2）由（1）可证明NB=/DAB,再根据已知条件证明NAFC=NBEF即可；

「HCDHD

（3）过点C作CH〃AB,交AD的延长线于点H,根据平行线的性质得到七二==工，计算出CH和AH的

ABBDAD

CHHG

值，由已知条件得到△跳户纟AAFG,设AG=x,则AF=15-x,HG=18-x>再由平行线的性质得到二不=二一二，表

AFAG

达出即可解出x,即AG的值.

【详解】解：（1）,:AC?=BC・CD,

.ACBC

，#CD-ACf

XVNACB=/DCA,

••.△ABC^ADAC>

•_A__C___B_C_____A_B_nn_1__2__1_8_____1_5_

CD~AC~AD'CD~AD'

解得：CD=8,AD=10,

:.BD=BC-CD=18-8=10,

，AD=10,BD=10;

(2)由(1)可知,AD=BD=1O»

...ZB=ZDAB,

VZAFE>ZB+ZBEF,

...ZAFC+ZCFE=ZB+ZBEF,

VNCFE=NB,

，NAFC=/BEF,

又•.,NB=NDAB,

，MEF〜AAFG；

（3）如图，过点C作CH〃AB,交AD的延长线于点H,

.CHCDHD

•・瓦―茄—茄’

CH8HD5四

即an=而=,解得:CH=12,HD=8,

，AH=AD+HD=18,

若EF=FG,

则MET纟AAFG；

/.BF=AG»

设AG=x,则AF=15-x,HG=18-x»

；CH〃AB,

CHHG1218-x

•••寿F即an胃=丁’

解得：呵寸竺±|叵（舍劫

.45-3V105

..AG=----------------

2

本题考査了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似三角形的判定，并灵活作出辅

助线.

22、（1）甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/（牛；（2）。的值为1.

【分析】（1）设甲商品的出厂单价是x元倂，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意列出方程组，解之即可得出结

论；

（2）根据总价=单价X数量结合改变采购计划后的总货款与原计划的总货款恰好相同，即可得出关于a的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：（1）设甲商品的出厂单价为X元/件，乙商品的出厂单价为y元/件，根据题意，可得,

2x=3y[x=900

，解得1

3x-2y=1500[y=600

答:甲商品的出厂单价为900元/件，乙商品的出厂单价为600元/件.

（2）根据题意，可得，

900(1-a%)x200(1+2a%)+600x4x200x200x900+4x200x600,

令a%=t,化简，得一20『+3r=0,

解得％=0.15,t2=0（舍去）.

a%=（）.15,即a=15.

答：。的值为1.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系，正确列出二元一次方程组

与一元二次方程.

23、（1）详见解析；（1）详见解析；（3）V29.

【解析】（1）由题意可证且EF丄AE,可得EF丄0£>,即EF是。。的切线；（1）由同弧所对的圆周角相

等，可得N"45=NOGB,由余角的性质可得/。68=/3。尸；（3）由题意可得NBOG=90°,根据勾股定理可求

G”的长.

【详解】解：（1）证明：连接。。，

"：OA=OD,

:.NOAD=NODA

又TAP平分NA4C,

：.ZOAD=ZCAD

，NODA=NCAD,