2023届河北省石家庄市高三年级下册4月教学质量检测二数学试题

石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（二）

数学

（时间120分钟，满分150分）

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题

区或的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设全集。={2,4,6,8},若集合M满足A?M={2,8},则（）

A.4三例B.6cMC.4GMD.6cM

2.己知复数z=l-i，则归+z|=（）

A.亚B.VioC.2V5D.2VTO

3.为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民

参与环保调研，己知甲村和乙村人数之比是3：1,被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8

人，则参加调研的总人数是（）

5.已知非零向量区〃满足卜+4=b一4,则a—6在匕方向上的投影向量为（）

A.—aB.—C.aD.b

6.中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展

现了聪明才智.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等

差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列.现有一个“堆垛”，共50

层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小

球的个数为（）

7.已知圆台的上、下底面圆的半径之比为侧面积为9万，在圆台的内部有一球O,该球与圆台的上、下底面

2

及母线均相切，则球。的表面积为（）

A.3万B.5万C.8%D.9万

8.已知=0在XG（0,+“）上有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系中，角a的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点p（理,1］,

12

2

且sina=^x,则X的值可以是（）

A.±72B.±1C.OD.+2

10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A="两次掷出的点数之和是6"，事件B=”第一次掷出的点数是奇

数”，事件C="两次掷出的点数相同”，则（）

A.4与3互斥B.3与。相互独立

CP（A）.D.P（AC）总

11.已知抛物线c：V=4x的焦点为尸，过点M（0,旬（加，0）分别向抛物线C与圆尸;（X—1）2+寸=1作切

线，切点为分别为只Q（尸,。不同于坐标原点），则下列判断正确的是（）

A.MP//OQB.MP1.MF

C.RQ,厂三点共线D.\MF\=\OQ\

12.定义：对于定义在区间/上的函数/（%）和正数a（0<c41）,若存在正数M，使得不等式

|/（不）一/（々）归拉国一々「对任意不，出€/恒成立，则称函数/（%）在区间/上满足a阶李普希兹条件,

则下列说法正确的有（）

A.函数/（X）=«在［1,+纥）上满足;阶李普希兹条件.

B.若函数=x\nx在［l,e］上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2.

c.若函数在［。回上满足M=叙0＜么＜D的一阶李普希兹条件，且方程/（%）=%在区间［a,句上有解

X。,则X。是方程/（X）=%在区间［a,可上的唯一解.

D.若函数/（X）在［0,1］上满足M=1的一阶李普希兹条件，且/（o）=/（l）,则存在满足条件的函数f（x）,

存在鼻超4°，1］，使得|〃不）一/仁）|=*

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N（4,"）,且P（2WX«4）=0.4,若从这批电子

原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为.

，万），（万）］

14.已知aw0,二,sina---=-,则cos2a=________.

I2；（4）3

22

15.已知椭圆c：「+与=1（。＞力＞0）的左、右焦点分别为过©的直线与。交于P,Q两点，若

a~b~

PP5

PF、工P%,且肃=不，则椭圆。的离心率为.

16.长方体43。。一4469中，AB=BC=1,AAI=2,平面A5Q与直线RG的交点为M，现将-河。4绕

旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面内任一直线所成最小角记为a，则sina的最大

值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,（"eN）a5—4=3°，S4=3O.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）设数列但｝满足2=log2/…求数列，扪卜,的前八项和。.

18.（本小题满分12分）己知.A3C内角A,8,C所对的边长分别为

a,b,c,2我/cosB+b2=2abcosC+a2+c2-

⑴求3；

（2）若..ABC为锐角三角形，且a=4,求..ABC面积的取值范围.

19.（本小题满分12分）为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制,

每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不

影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的

每名队员的胜率均3为甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为：1.（注：比赛结果没有平局）

42

（1）求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.

20.（本小题满分12分）如图（1）,在A5CD中，AD=2BD=4,AD±BD,将...ABD沿30折起，使

得点A到达点P处，如图（2）.

（1）若PC=6,求证：PDLBC-,

（2）若PC=2#,求平面PQC与平面夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）已知函数/（xXadx+JZeX+i+'e'—二

（1）当。=1时，求/（X）的极小值.

（2）若/（X）有两个零点，求实数。的取值范围.

2

22.（本小题满分12分）已知双曲线「：尤2一2_=1,尸为双曲线r的右焦点，过/作直线/交双曲线「于A8

3

两点，过尸点且与直线4垂直的直线4交直线x=g于P点，直线OP交双曲线F于M，N两点.

（1）若直线OP的斜率为方，求|加|的值；

（2）设直线AB,ARAM,AN的斜率分别为匕，七,七，自，且％七七e工0,匕+抬去。，记

k,+k2=u,kxk2=v,ki+k4=w,试探究V与",w满足的方程关系，并将V用M”表示出来.

2023届石家庄市高中质量检测(二)

数学答案

一、单选题

1-4CBAA5-8BDCD

二、多选题

三、填空题

4嬷611V5

13.U.114.—---------15.-------1o.---------

9325

四、解答题

17.解：(1)设｛4“｝的公比为q,由题知qxl,

则63-1)=30,"'，-4)=30，

解得4=2,0=2

an=2"

(2)由(1)知么=log2«2"+l=2"+1

.111______M

bnbn+](2〃+1)(2〃+3)，2〃+12n+3)

lfl111111

2(35572〃+12n+3)

2(32n+3J

n

-3(2〃+3)

18.(1)根据余弦定理得，2jL/cos5+〃=a2+〃—c2+a2+c2,

即2及〃2cos3=2a2,/.cosB=——

2

Be(0,4).=B=.

(2)方法一:

TT

为锐角三角形，A+8+=,

兀

0C<AA<—

271471

A+C=——vAv—.

4C3冗A7142

0<-----A<—

42

.0=4,根据正弦定理ac

------=----------c=-----

sinAsinC

由面积公式可得1./T/T

SABC=—acsmB=72c=Z2

4

即SABC+4,

tan/1

4.7Cc

—vAv—，.二tarbA>1,/.S-e（4,8）,

42ABRCr

故八ABC面积的取值范围为（4,8）.

方法二：

由3=9TT,々=4,画出如图所示三角形,

4

Bz,d

.ABC为锐角三角形，二点A落在线段（端点A、Az除外）上

当CAJ.A3时，sABC=gx2夜x2夜=4

当C4_L3C时，SABC=；x4x4=8

.-.5€（4,8）

19.（1）事件3=”甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，

事件4=，，甲队第J局获胜，，，其中j=1,2,3,4,4相互独立.

又甲队明星队员M前四局不出场，故：P（Aj）=g,J=l,2,3,4,

B=4444+A4A4+AAAA

所以P（5）=C；0）4

（2）设。为甲3局获得最终胜利，。为前3局甲队明星队员M上场比赛，则由全概率公式可知:

P（C）=P（C|D）P（D）+P（C|D）P（D）

.足3

因为每名队员上场顺序随机，故P（O）=，?=£

一、32

p⑷z》父

5

…八/八331213

所以P（C）=—X-+-X—=——.

V71658580

33

X

⑴P{D\。一尸（8）.P（&D）P（D）_165_9

（3）P（DI—一十一万

80

20.解：（1）平行四边形438中，AD1BD，可得BDLBC

AD=2BD=4

BC=4,DC=2后

又1PC=6

PD2+DC2=PC2,.'.PDJ_DC

又PD工BD,BDcDC=D

平面BDC

：.PD1BC

（2）方法一：

如图，过点。做。尸〃BC,且。F=BC,连接QEC尸，

由题意可知，BD±PD,BD±DF,PDr>DF=D

BD±平面PDF,:.BD^LPF所以CF^LPF

:.PF=ylPC2-CF2=4

又BDu平面BCFD,平面BCFD1平面PDF

取Z）尸中点O,连接PO,由PF=PD，得PO上DF

平面BCFD,且尸。=2百

过O点作OM垂直于。尸，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得2（0,0,26）,

P

y

B（2,-2,0）,C（2,2,0）,D（0,-2,0）

PC=（2,2,—20）,DC=（2,4,0）,BC=（0,4,0）

设平面PBC的法向量为m=（x,y,z）,平面PDC的法向量为〃=（/,/,z'）

.•./+）一百z=o取

y=0

同理［%+y—/z=0取〃=（2#_g,l）

|/+2y=o

/\m-n7

7

所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为-.

O

方法二：由8DJ_BC,建立如图所示的空间直角坐标系

AD=2BD=4

.-.B（0,0,0）,C（4,0,0）,D（0,2,0）

设P（x,y,z）（其中z>0）

,:PB=2底PC=2底PD=4

x2+y2+z2=20

A<（x-4）2+y2+z2=20

x2+（y-2）2+z2=16

x=2

解得,y=2

Z=2yj3

.-.P(2,2,273)

CP=(-2,2,2百),8=(-4,2,0),3P=(2,2,20),3C=(4,(),0)

设平面POC的法向量为加=(无,y,z),平面的法向量为“=(x',y',z')

-x+y+>/3z=0{..6

：A)取加=1,2,--

-2x+y=013)

同理/+>+底=°取〃"i)

x'=0、)

/m-n7

7

所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为-

8

方法三：

过点B作BELPC交PC于E，过点。作

DFLPC交PC于F

PDC中,由PD=4,PC=£)C=26

可得cosZDPF=1OF=延，尸F=述

555

同理，在APBC中，BE=^-,CE=—>可得EF=26

555

而BE+EF+FD=BD

：.(BE+EF+FD)2=BD"

.-.|BE|2+|EF|2+|FD|2+2BE-EF+2BE-FD+2EF-FD=\BD^

nn64464c8占875-八4

即——+—+——+2x---x---xcos(BE,FD)=4

55555'/

解得cos(小驱叫二网BE网FDF7

7

所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为-

O

21.解:(1)/(X)的定义域为(一+8),

当a=］时，/⑺=2e2'+l-2er+,+v1(e'-1)(4e'+l+1),

令/'(X)=O,解得x=0.

当x变化时，,/*'(x)j(x)的变化情况如表：

XS。)0(0,+。)

/'(X)-0+

1

x单调递减---e单调递增

f()2

因此，当x=0时，/(X)有极小值，极小值为/(O)=；-e.

(2)尸(x)=2ae2x+'-2ex+l=!(aev-l)(4eA+l+1),

(i)若aWO,则r(x)<。，所以/(x)在(一。,+8)单调递减，

/(X)至多有一个零点.

(ii)若a>0,令/'(x)=0,解得x=-lna.

当xw(re,-Ina)时，当(-1必+8)时，

所以/(x)在(-^,-lna)单调递减，在(-Ina,+8)单调递增.

所以当x=-lna时，/(x)取得最小值，最小值为了(—ln“)=g—£+；ln“.

①当。=e时，由于〃-lna)=0,故/(x)只有一个零点；

②当ae(e,+a))时，由于［-■|+glna>0,即/(-lna)>0,故/(x)没有零点;

③当ae(O,e)时，Int/<0,即f(-Ina)<0.

当0<a<e时，lna(l,-lna)T>-2,且0(-2)=£+/+1-j〉。,故f1)在(一8,一Ina)有一个零点.

/2e}4e3-4e21,2e,2e,

•.•/in-------------+e——In——,ln—•>-Ina

Va)a2aa

先证明当x>0时，kuWx—l,设=则加(x)=?,

一.•当0cx<1时，加(x)〉0,当x>I时，加(尤)<0,

：.m(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+。)上单调递减.

当x=I时加(%)取到最大值阳(1)=0.

所以当x>0时，InxWx-l.

/2e\4e3-4e21,2e4e^-4e21(2e-4e3-4e2-e1八

fIn-=----------+e——In—>----------+e——------1=--------------+e+->0

a)a2aaa)a2

因此f(x)在(-Ina,+8)有一个零点.

综上，。的取值范围为(0,e).

22.解：⑴设A(Xo，%),B(Xo，%)

(13、1

由题意可知，P点坐标为,则直线4的斜率为与=-；,所以直线4的斜率为与=2

故直线4的方程为：y=2（x-2）；

0=2卜-2）

2

联立直线4和曲线「的方程：\29=>X-16X+19=0,此方程的两根即为工,马

x~----二1

3

由韦达定理可得：%o+x（）二馆,%々）=19①

所以：|AB\=J1+/+%。）■■一4x0x0=3（）

%

(2)设A(%,%),M(%,y),N(f,,-y),则%=，因为直线4垂直直线4,故4

为0-2

的直线方程为），=一;（X—2）,代入X=4,13

可得点尸的坐标P-,—

rCjZ、2