向心力和离心力

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B-2、向心力向心加速度※

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【学问点】理解．．

向心加速度⑴向心加速度的定义：

作匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向在不断变化，因此肯定存在加速度。这个加速度不转变速度的大小，只转变速度的方向，因此这个加速度始终与速度方向垂直，指向圆心，叫做向心加速度。其计算公式为：

a?v2

r

或a??2r⑵对向心加速度的理解：

①由公式a?

v2

r

和a??2r可知，当线速度v肯定时，a与r成反比；当角速度ω肯定时，a与r成正比。

②由公式可见，作匀速圆周运动物体的向心加速度大小恒定。但它的方向始终在变化（指向圆心），所以匀速圆周运动是变加速运动。

③在匀速圆周运动中，向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。【学问点】理解．．向心力⑴向心力

作匀速圆周运动的物体既然具有加速度，就肯定存在产生这个加速度的力，这个力叫向心力，它的方向始终与速度方向垂直，指向圆心。依据牛顿第二定律可得向心力的大小为

F?mv2

r

或F?m?2?r⑵对向心力的理解

①向心力是依据力的作用效果来命名的。在匀速圆周运动中，向心力是作用在物体上的一个力或几个力的合力。它可以是重力、弹力、摩擦力中的一种或几个的合力。

②物体作匀速圆周运动的条件是必需有初速度，且受到的合外力充当向心力。

[典型例题]

例1：如图4-B-5所示，甲、乙两轮固定在一起绕同轴转动，丙轮和乙轮用不打滑的皮带传动。三轮边缘分别有A、B、C三点，且r甲=r丙=2r乙，求：

⑴A、B、C三点线速度之比。？

⑵A、B、C三点角速度之比。

⑶A、B、C三点加速度之比。

例2：大路上拱形桥半径为R，一辆质量为m的汽车以速度v通过拱形桥，求：汽车过桥的最高点时甲

图4-B-5对桥面的压力。

例3：质量为100g的木块放在半径为0.5m的水平转台上，如图

4-B-7所示。已知木块与水平转台间的最大静摩擦力为0.4N，当转台以60r/min(转/分)的转速匀速转动时，欲使木块随转台一起作匀速圆周运动，求：

⑴木块距转轴的最大水平距离为多少。

⑵假如把木块放在转台边缘上，那么对转台的转速有什么要求？

[练习题]

1．一质点作匀速圆周运动，其轨迹如图4-B-9所示，O为圆心，请在图上标出物体在A、B、C三点处的速度方向和加速度方向。

图4-B-9

2．作匀速圆周运动的物体，在运动过程中保持不变的物理量是???????（）

（A）线速度；（B）角速度；（C）合外力；（D）向心力；（E）向心加速度。3．物体放在水平的匀速转动唱盘上，随唱盘一同匀速转动，它的受力状况是?（）（A）受重力和支持力；（B）受重力、支持力和摩擦力；

（C）受重力、支持力、摩擦力和向心力；（D）受重力、支持力、摩擦力和离心力。

4.做匀速圆周运动的物体，圆周半径为r，向心加速度为a，则下列关系中错误的是???????????????????????????????（）

（A）线速度υ=ar；（B）角速度ω=a/r；（C）周期T=2π

r/a；（D）转速n=2π

a/r。

5.对于作匀速圆周运动物体所受的向心力，下列说法中错误的是??????（）（A）向心力是依据力产生的效果而命名的；（B）向心力肯定与物体所受的合外力相平衡；（C）向心力肯定等于物体所受的合外力；

（D）向心力的方向时刻在变，但大小肯定不变。

6．一半径为0.5m的飞轮作匀速转动，每分钟转300转，则其边缘上一质量为0.1kg

2

的金属块的线速度为_____m/s，向心加速度大小为______m/s，所受合外力的大小为______N。

7．如图4-B-10所示，M球质量为3kg，N球质量为2kg，光滑水平杆穿过它们的直径，两球用细绳系着。当转台绕竖直轴

OO转动时，M、N跟着一起转动。当达到稳定后两球转动的半径之比rM:rN?，线速度之比vM:vN?________。

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8．如图4-B-11所示，一个半径为0.2m的圆环，绕通过直径的轴DD作匀速转动，周期为0.5s，则P点的线速度vP=_____m/s，角速度ωP=_____rad/s，Q点的向心

2

加速度aQ=______m/s。

图4-B-12

9．如图4-B-12所示，一个大轮通过皮带拉着一个小轮转动，皮带和两个轮子间没有滑动，大轮半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点A离轴的距离是大轮半径的1/3。

2

当大轮边缘上一点B的向心加速度是0.12m/s时，大轮上的A点和小轮边缘上的C点的向心加速度各是多少？

10．一列火车在半径为200m的圆形弯道上行驶，铁路轨道供应的最大向心力是火车重力的0.2倍，则火车在转弯时行驶的最大速度为多少？请你说明为什么在铁路弯道处火车要限速通行。

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3.应用举例

（1）水平面内的圆周运动：一般为匀速圆周运动。

例1.圆盘绕过中心的竖直轴线匀速转动，小木块与圆盘无相对滑动，距中心为r，动摩擦因数为?，求物块所能承受的最大角速度。

例2.圆锥摆：已知线长为l，与竖直方向夹角?，小球质量m，试求当小球转速增大（?增大）时，周期、角速度、线速度等的变化状况

例3．圆锥问题：小球在半径为R

?（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T

例4．半圆形碗：半圆形碗内有一小球做匀速圆周运动，质量为m，分析小球受力状况并求小球的角速度、线速度与周期。

例5.火车转弯：假如车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力供应

v2

mgtan??m?v?grtan?,v增加，外轨挤压，假如v减小，内轨挤压。

r

（2）竖直平面内的圆周运动：存在重力做功，一般为变速圆周运动1.轻绳模型:

例1.如图所示，长为R的轻绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，若小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，问小球在最高点的速度至少多大？轻绳模型与凹形槽类似。

2．轻杆模型:

例1.如图4，长度为R的轻杆一端与质量为m的小球相连，以另一端的端点O为固定转轴，绕O点在竖直平面内做圆周运动