条件极值问题与乘数法

关于条件极值问题与乘数法光的折射问题空气水··ABabc问：光线沿何路径由A到B？物理：光线依时间最短路线行进！C求t的最小值！第2页,共42页，2024年2月25日，星期天条件极值以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，有时，除受自变量定义域限制外,还受到其他的限制.例如，要设计一个容量为V

的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长、宽、高分别为x,y,z

,则表面积为依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求：

x>0,y>0,z>0,而且还须满足条件第3页,共42页，2024年2月25日，星期天这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：的限制下，求目标函数的极值.第4页,共42页，2024年2月25日，星期天条件极值的一种求解方法是代入法.

例如，在上述例子中，由条件解出代入目标函数中，然后求这个函数的无条件极值.得到思路：将条件极值化为无条件极值！第5页,共42页，2024年2月25日，星期天条件极值的几何解释第6页,共42页，2024年2月25日，星期天第7页,共42页，2024年2月25日，星期天然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因为要从条件组

下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有效方法.解出m

个变元常常是不可能的.第8页,共42页，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘数法则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,由极值的必要条件，知极值点x0

必满足设

记故有因即第9页,共42页，2024年2月25日，星期天引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格

极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题构造一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点第10页,共42页，2024年2月25日，星期天1.作拉格朗日函数利用拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值步骤如下：2.求拉格朗日函数的极值先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：再考察驻点是否是极值点第11页,共42页，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组例如,求函数下的极值.在条件可得到条件极值的可疑点.第12页,共42页，2024年2月25日，星期天例.要设计一个容量为V

的长方体开口水箱,问

求x,y,z令解方程组解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,

下水箱表面积最小.使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？⑴⑵⑶⑷第13页,共42页，2024年2月25日，星期天⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合题意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得第14页,共42页，2024年2月25日，星期天得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为第15页,共42页，2024年2月25日，星期天思考:当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:

利用对称性可知,第16页,共42页，2024年2月25日，星期天例.抛物面这个问题实质上就是求函数解

被平面求这个椭圆到原点的最长与最短距离.截成一个椭圆.在条件下的最大值、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数第17页,共42页，2024年2月25日，星期天令L

的一阶偏导数都等于零，则有⑴⑵⑶⑷⑸⑴－⑵得不合题意，舍去；第18页,共42页，2024年2月25日，星期天则代入⑷式后，再将⑷代入⑸得解得这就是拉格朗日函数的驻点，由于f

在有界闭集上连续，故所求问题存在最大值与最小值.第19页,共42页，2024年2月25日，星期天计算得所以该椭圆到原点的最长距离为最短距离得：计算第20页,共42页，2024年2月25日，星期天例

试求函数在条件下的最小值,并由此导出相应的不等式.解

设并使第21页,共42页，2024年2月25日，星期天由此方程组易得下面给出是条件最小值的理由.都使得故存在又设由于为一有界闭集,为连续函数,因此在第22页,共42页，2024年2月25日，星期天上存在最大值和最小值.而在及上,f的值已大于故f

在S

上的最小值必在的内部取得.又因内部只有惟一可疑点所以必定有最后,在不等式中,用代入,就得到一个新的不等式:第23页,共42页，2024年2月25日，星期天经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”

这个著名的不等式:第24页,共42页，2024年2月25日，星期天第25页,共42页，2024年2月25日，星期天第26页,共42页，2024年2月25日，星期天第27页,共42页，2024年2月25日，星期天第28页,共42页，2024年2月25日，星期天第29页,共42页，2024年2月25日，星期天第30页,共42页，2024年2月25日，星期天第31页,共42页，2024年2月25日，星期天第32页,共42页，2024年2月25日，星期天第33页,共42页，2024年2月25日，星期天第34页,共42页，2024年2月25日，星期天注意应用Lagrange乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大，似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就是问题给出的条件），找到解方程组的简便的方法，而不要用死板的方法去解方程组。第35页,共42页，2024年2月25日，星期天问题以上条件极值问题并未给出极大（小）值点的判别法，能借助无条件极值的极大（小）值点的判别法来给出响应结论吗？第36页,共42页，2024年2月25日，星期天第37页,共42页，2024年2月25日，星期天