2023-2024学年上海市高一年级上册期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市高一上学期期中数学质量检测模拟试题

一.填空题（本题共10道小题，每小题4分，满分40分）

1.集合{°』的子集有个.

【正确答案】4

【详解】集合{0,1}的子集为：0,{0},{1},{0,1},共4个

故4

2.已知集合2={1,2,3,4},B^{lk-\\keA},则3=

【正确答案】{1,3,5,7}

【分析】根据集合的定义集体即可。

【详解】因为/={1,2,3,4},B=\2k-\\keA\,所以3={1,3,5,7}.

故{1,3,5,7}

3.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设—.

【正确答案】该梯形是等腰梯形

【分析】根据反证法的原理可得答案.

【详解】若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设该梯形是等腰梯形

故该梯形是等腰梯形

4.己知aeR,则“a>1”是“工<1”的条件.

a

【正确答案】充分非必要

【分析】首先求解,<1,根据两个集合的包含关系，即可判断.

a

【详解】若！<1=1一，>0=">0,即。（。-1）>0,

aaa

解得：a>1或a<0,

集合{44>1或4<0},

所以“。>1”是“工<1”的充分非必要条件.

a

故充分非必要

5.己知e"=3，In2=〃，则e2m+in=

【正确答案】72

【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果.

【详解】因为ln2=〃，所以e"=2，

所以e2""3"=（e"）（e"丫=9x8=72,

故72

6.己知事函数、=（用2+加-1）一时3过原点，则实数〃?的值为

【正确答案】-2

【分析】由幕函数的定义及性质即可得解.

【详解】因为函数y=（加2+加-l）X,"T为幕函数，

所以加2+加—1=1，解得机=-2或w=l,

当〃|=-2时，函数y=的图象过原点，符合题意:

当初=1时，函数y=X-8的图象不经过原点，不符合题意：

故"7=-2.

故-2.

7.设xeR,则不等式|x+3|+|x—4|27的等号成立时x的取值范围为

【正确答案】[-3,4]

【分析】根据x的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可.

2x-l,x>4

【详解】|x+3|+|x-4|=<7,-3<x<4,

—lx+l,x<—3

所以|x+3|+|x-4|N7的等号成立时,

2x-l=7-2x+1=7

即<或一3«》《4或〈

x>4x<-3

解得：-3<x<4.

故答案为：[-3,4]

8.函数/（x）=a*（。>0,且。片1）在区间［1,2］上的最大值比最小值大则〃的值为

【正确答案】。或;

【分析】讨论。>1或根据指数函数的单调性求出最值即可求解.

【详解】当a>1时，则函数/（x）在区间［1,2］上单调递增，

由题意可得：/（2）-/（l）=a2-a=p解得a=5或。=0（舍去）；

当o<a<i时，则函数/（x）在区间［1,2］上单调递减，

由题意可得：/（l）-/（2）=a-a2=p解得a=；或a=0（舍去）；

31

综上所述：—或a=—.

22

3।

故+A一或彳.

22

9.设a,b为实数,现有下列命题：

①若Q<b,则孤<孤；

②若a<h<0f则

ab

Qb

③若a>b>0，c>d>0,则一>—；

cd

④不等式a>b与不等式2“>2b等价；

其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

【正确答案】①②④

【分析】利用不等式的性质可判断①②；举反例可判断③；利用指数函数的单调性可判断④.

【详解】对于①，若a<b,则也〈孤，正确；

对于②，若a<b<0,则色<2<0,所以正确；

ahahah

对于③，若q=3,b=2,c=0.5,d=0.2,则q=6<e=10,故错误;

对于④，y=2'为xeR上的单调递增函数，若a>b,则2。>2”，若2〃〉2"，则。>方，故正确;

故①@④.

10.研究问题：“已知关于X的不等式k2_8+°>0的解集为(1,2),解关于X的不等式“2一6

+a>0,,»有如下解法：由ax?—6x+c>0=a一方(一)+c(1)2>0.令y=1，则所以

(］、kx+b

不等式32-反+〃>0的解集为彳』.类比上述解法，己知关于x的不等式——+--<0的

12)%X+C

IryAy—1

解集为(-2,-1)U(2,3),则关于x的不等式一-+——V0的解集为________.

ax-1cx-1

【正确答案】

【分析】根据题意，将-工替换.X可得所求的方程，并且可知-4£(—2,-l)u(2,3),从而求

XX

出X的解集.

【详解】关于X的不等式上-%+6

卜----<0的解集为(一2,-1)U(2,3),

x+ax+c

k

用一,替换X,不等式可以化为rn+^_=上+曰<o,

Cx)+a卜£|+C6Td

所以gVxVl或一。VxV一，，

因为一一£(—2,—1)U(2,3),

X“43

即不等式上-+如二1<0的解集为十扪刖

ax-\cx-\

故答案为：卜;，—g

本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属

于中档题.

二、解答题(本题共6道题，满分60分)

11.设x<”0,试比较，+j?)(x-y)与(x2-严(工+y)的大小.

［正确答案］(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)

【分析】利用作差法，即可比较两式的大小.

【详解】，+歹2）（8一歹）一卜2-/）（x+y）=（x-y）+/）_（x+y）2=-2xy（x-y）,

因为x<y<0,所以呼>0/-y<0,

所以_2个（％一/）〉0,所以（丫2+y2）（x_y）〉（x2__/）（丫+/）.

12.已知集合4={V°+1,-3},5={-3+a,2a-l,a2+l）,若■c3={-3},求实数a的值及

AuB.

【正确答案】“=一1；={-4,-3,0,1,2}.

【分析】根据给定条件可得-3再分类求解并验证作答.

2

【详解】因4c8={-3},则—3e8,在集合5={-3+a,2a-1,1+1}中,a+\>Q,

于是得-3+a=-3或2a-l=-3,解得a=0或。=-1,

当。=0时-，/={0,1,-3},5={-3,-1,1）,而Zc3={-3,1}与已知矛盾,即a=0不成立，

当a=-l时，/={1,0,-3},8={-4,-3,2},有/八8={-3},则4=-1,/118={-4,-3,0,1,2},

所以a=-l,JU5={-4,-3,0,l,2}.

13.已知全集0=1<,集合/=kU<l,xeR]，集合8={x|k-441,xeR}.

（1）当a=2时，求集合

（2）若，求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴{x|—l<x43}

（2）（-00,-2]U[3,+oo）-

【分析】（1）解分式不等式以及绝对值不等式，求出集合4、B,再利用集合的并运算即可求解.

（2）由题意可得，，再由集合的包含关系得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

当a=2时，卜-2]<1,故一1WX-2K1,解得l=x<3.

故3={司1W3},

—―-<1=>――--~~-<0=>—~~-<0=>(x+l)(x—2)<0,解得一1<x<2,

X+lX+lX+1\八7

故/={x|-l<x<2},/u8={x|-l<x<3}・

【小问2详解】

由(1)可得，Z={x[x<-l或x22},5=1x|a-l<x<a+l,xeR|,

若6=4，可得或。一122,解得。(一2或QN3.

所以实数a的取值范围为(一8,-2]U[3,y)•

14.(1)已知正实数。，6满足a+b=l,求工+_1的最小值，并求出此时a,b的值.

ab

(2)已知lg2=a,lg3=l,试用a,b表示log23,log^5

1\-a

【正确答案】(1)4；a=b=——，(2)-------.

22a+b

【分析】(1)应用基本不等式求和的“乘1法”，求和的最小值.

(2)通过换底公式和对数的运算性质求解即可.

【详解】(1)因为正实数。，6满足a+b=l,

所以l+l=(i+l)(a+^)=-+-+2>2J---+2=4.

ababab\ab

所以工+工的最小值为4,此时2=/,又a+b=l,即a=b='.

ab«b2

(2)因为lg2=a,lg3=b,

..lg3_

••lo§23=-=-,

lg2a

lo5=lg5=lgl0—lg2一l—lg2=l—a

g121gl2―Ig3+lg4-lg3+21g2-2a+&

15.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速

1x

度“单位：km/min）和候鸟每分钟耗氧量的单位数x,满足关系式y=^logs而-lgx°，其中常

数%表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.

（1）若/=5,候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位?（答案四舍五入到整数）

（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min,雄鸟的飞行速度为1km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧

量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

1g2«0.30,3140a4.66

【正确答案】（1）466（2）3

【分析】（1）将X。=5代入解析式，令歹=0求出x=466,得到答案；

（2）设出未知数，得到方程组，两式相减得到±=3,得到答案

【小问1详解】

IX1Y

由题意得函数y=,log3亿^一坨5,令＞=0得，-log,--lg5=0,

即1083上=2吆5=2（1-檐2）21.40，所以上*3闻34.66，所以x=466,

3100'）100

所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位；

【小问2详解】

设雄鸟每分钟的耗氧量为为，雌鸟每分钟耗氧量为々，

L5=fog盘—

由题意可得J，

l=-log3^--IgXo

I23100°

两式相减可得0.5=（log32，所以log,土=1,解得主=3,

2x2x2x2

所以此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.

16.已知函数歹=/（X）的表达式为/"）=优（。〉0,4。1）,且/（-2）=1,

（1）求函数v=/（x）的解析式；

(2)若方程(/(X))2-4/(X)=M-1有两个不同的实数解，求实数机的取值范围；

(3)已知;V左<1,若方程—1卜Z=0的解分别为为，%2(x,<x2),

方程|/(力一1|一一J=0的解分别为当，x4(x3<x4),求的最大值.

【正确答案】(1)〃x)=2x

(2)(-3,1)；

【分析】(1)将点-2,-代入解析式中求出。的值，即可求得函数解析式

4J

(2)结合已知条件得到方程(2')2—4•2'=掰-1,然后令，=2、6(0,+00),将方程转化为一元

二次方程并求根，然后根据自变量/的取值范围即可求出参数机的取值范围；

(3)首先通过求解含绝对值的方程-左=0,得至1」24书=坐，同理解方程

\-k

/,(x)-l---------=0，得到2$_=,然后根据指数运算可得

1V'।2%+14+1

34+]4

2--.V,+X4-X3==_3