河北省邯郸市六校联盟2023-2024学年度高二年级上册期中数学试题【解析版】

河北省邯郸市六校联盟2023-2024学年度高二上学期期中

数学试题【解析版】

注意事项:

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题

卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.双曲线片-片=1的虚轴长为()

84

A.2B.272C.4D.4拉

2.已知平面ABC,AB±BC,BD=l,AB=2,BC=3,则空间的一个单位正

交基底可以为()

A.\-BC,BD,—AD

B.

35

C.，BC,BD,与ADD.\BC,BD,^BA

3.若尸为抛物线V=4x上一点，且尸到焦点厂的距离为9,则尸到,轴的距离为()

A.7B.10C.8D.9

4.在四面体。4SC中，。为BC的中点，E为AD的中点，则OE=()

A.-OA+-AB+-ACB.OA+-AB+-AC

24444

C.-OA+-AB+-ACD.OA+-AB+-AC

22222

_22

5.“相＞#”是“方程^—+工=1表示的曲线是椭圆”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.已知圆M：Y+(y+l)2=1与圆N：(x-2)一+(y-3)2=1关于直线/对称，贝!J/的方

程为()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.x+2y-3=0D.2%+y-3=0

7.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭

圆，该椭圆的离心率为石.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为()

2

A.3.2米B.3.4米C.4米D.3.6米

8.设A是抛物线C：上的动点，3是圆(x+8)?+/=1上的动点.则|明

的最小值为()

A.730-1B.4A/2-1C.2近-1D.27

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分.

9.若直线依+2y=0与直线x+a(a+l)y+4=0垂直，则”的值可能是()

32

A.—B.—C.0D.1

23

22

10.已知椭圆C：一+2=1的两个焦点为耳，尸2，尸是C上任意一点，贝IJ()

425

A.耳|+|尸阊=4B.闺局=2衣"

C.|尸耳归5+eD.|尸耳卜|桃区25

11.在棱长为1的正方体ABC。-ABGA中，AP=tADl+(l~t)AB,Ze[0,1],则()

A.当BA_L平面ACP时，t^-

3

B.APCP的最小值为-g

2

C.当点O到平面AC尸的距离最大时，t=-

2

D.当三棱锥O-AGP外接球的半径最大时，t=-

22

12.已知双曲线C：二-2=l(a>0,b>0)的右焦点为歹，过点歹作C的一条渐近线

ab

的垂线，垂足为A,该垂线与另一条渐近线的交点为8,若仁川则C的

离心率可能为（）

A-VI7IB-VrTIc-kD-

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线＞也的倾斜角为.

33

14.在空间直角坐标系中，已知A（5,2,l）,8（4,2,-1）,C（0,-l,0）,£＞（1,0,1）,则直线

AB与CO所成角的余弦值为.

15.石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风

格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面L6m时，水面宽6.4m,

当水面下降0.9m时，水面的宽度为m；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距

离为m

16.若曲线［+石）（后-y-2）=o与圆*2+（打回2=苏恰有4个公共点，则，〃的取

值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

17.已知直线/经过直线4：x-y+l=。与直线4：2x+y-4=0的交点.

⑴若直线/经过点（3,3）,求直线/在x轴上的截距；

⑵若直线,与直线4：4尤+5＞-12=0平行，求直线/的一般式方程.

2

18.已知双曲线C的中心在原点，过点（2,0）,且与双曲线炉-三=1有相同的渐近线.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）已知A,3是双曲线C上的两点，且线段4B的中点为加（3,3）,求直线4B的方程.

19.如图，在正三棱柱A4G-A8C中，。，£,尸分别为AC,CG,8c的中点，^=273,

AB=2.

(D证明：。尸〃平面A4E.

(2)若耳/_1■平面a,求平面a与平面4B4夹角的余弦值.

20.已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，且截直线x-y=0所得弦长等于2.

(1)求圆C的标准方程；

⑵求圆C截直线3x-y=0所得弦长；

(3)若尸(x,y)是圆C上的一个动点，求z=x?+/+4尤+6y+18的最小值.

21.如图1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,将，ABC沿着AC翻折至如图2所示的VA^C

的位置，构成三棱锥瓦-ACD.

(1)证明：ACLB.D.

⑵若平面ACg,平面AC。，E为线段。上一点(不含端点)，且与£与平面4耳。所

成角的正弦值为姮，求名的值.

10CD

22.已知椭圆C：[+1=1(。＞人＞0)的右焦点为尸(3,0),离心率为题.

ab10

⑴求C的方程.

(2)若A,8为C上的两个动点，A,B两点的纵坐标的乘积大于0,M(TO),N(4,0),

且ZAFM=NBFN.证明：直线A3过定点.

1.c

【分析】根据双曲线的虚轴定义求解.

22

【详解】由土-匕=1可得。2=41=2,故虚轴长为给=4,

84

故选:C.

2.B

【分析】先得到A3,3C,3。两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底.

【详解】因为2平面ABC,平面ABC,

所以BDLBC.

因为AB13C,即AB,BC,或）两两垂直，

又BD=1,AB=2,BC=3,

所以空间的一个单位正交基底可以为［BC&Z；氏”.

故选：B.

3.C

【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.

【详解】根据抛物线的定义可得P到焦点F的距离等于P到准线X=-I的距离，所以P到y轴

的距离为9-1=8.

故选：C

4.B

【分析】利用向量的线性运算可得答案.

【详解】因为。为2C的中点，所以AD=g（A8+AC）.

因为E为A£＞的中点，所以AE=；AD=；（AB+AC）,

所以OE=OA+AE=OA+%B+LAC.

44

故选：B.

0

5.C

【分析】根据椭圆标准方程的特征，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.

22

【详解】若方程^—+上=1表示的曲线是椭圆，则病-6＞0,加＞0,且病一6片小

m-6m

_22

所以〃?＞#且，”*3.故“7”＞遥，，是“方程^―+工=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条

m-6m

件.

故选：C

6.C

【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率,根据对称轴与两对称点连接线段的关系，

可得答案.

【详解】由题意得M(OT),N(2,3),则MN的中点的坐标为(1,1),

直线的斜率右、=言=2.

,-11

由圆M与圆N关于/对称，得/的斜率勺=「=-3'

km2

因为肱V的中点在/上，所以=即x+2y—3=0.

故选：C.

7.D

【分析】利用椭圆的几何性质解题即可.

【详解】由题意可知，-=Ai-4=-＞则。=劝，

a\a22

由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知幼=1.8米,

所以6=0.9米，a=1.8米，该椭球的高为2a=3.6米.

故选：D

8.C

【分析】根据两点间距离公式、圆的几何性质，利用配方法进行求解即可.

【详解】由（尤+8）2+y2=in"（_8,0）,半径为1,

设A[_弥，m则++m2=^m4-3m2+64=^（m2-24）2+28,

当机2=24时，「取得最小值28,所以141fM=2近,所以1mto=2、-1.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质和配方法.

9.AC

【分析】根据互相垂直的两直线方程的性质进行求解即可.

【详解】依题意可得。+2。（。+1）=0,解得°=0或4=-3

故选：AC

10.BCD

【分析】根据椭圆的定义可判定A、B,根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C,根据基

本不等式可判定D.

【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,26,2c,

因为4<25,所以4=25,〃=4,°2=25-4=21,

所以|P耳|+|尸阊=2a=10,忸司=2c=20I,故A错误，B正确；

设户（x°,儿），耳（0,-c）,0<|y0|<5,

则青+兴=0%2*_攀=[%+。

即|尸团=?%+5V01+5,当为=5时取得最大值，故C正确；

由椭圆定义及基本不等式可知：归周忖国4=25,故D正确.

故选：BCD

11.AB

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可

得到结果.

【详解】

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3(1,0,0),2(0』」)，C(l,l,0),

则CP=C4+AP=(TJ_1J).

当平面ACP时，BDlCP=t+t-l+t=0,解得f=g,故A正确.

AP-CP=-t(l-t)+t(t-l)+t2=3t2-2t=3^t-^-1,当f时，APC尸取得最小值，且

最小值为-g,故B正确.

当尸是的中点，即/=：时，平面ACPJ_底面ABC。，此时，点。到平面ACP的距离最

大，故C错误.

因为ADLCZ),所以过斜边AC的中点作平面D4c的垂线，则ACP外接球的球心必在

该垂线上，所以球心0的坐标可设为］Oj(0Kl),半径为R,

因为|0尸卜|图=凡所以小域

所以《3-2)=2M.在三棱锥。—AGP中，20,所以&=+2.当且仅当

2

时，等号成立，故D错误.

故选：AB

12.AC

【分析】设出直线AF方程：y=-f(x-c),分别与两渐近线联立，求得AB两点横坐标,

b

代入仁川网(2>1),即可求解.

【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为y=2无，则直线"的斜率为-3,

ab

则心：y=-f(x-c).设3a),%),

b

联立直线AF的方程与y=-9x,

a

.abac,ac

贝m!Ju---)x=~，可得％=—；——7

bbab02-b2

y=——xa

a

y=_巴(尤_<7)

，则4+即=与，得点A的纵坐标为数,

由，j

。babc

y=­x

a

因为,8卜川以|,所以产^=士彳或.

।1b—ac

因为e=£c,

a

所以"或e=

VA+1

故选：AC

6

【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算即可.

【详解】因为直线y=也的斜率为赵，所以直线y=立的倾斜角为30.

33333

故答案为：30

14.J

5

【分析】利用空间向量求异面直线夹角即可.

【详解】由题意可知：BA=(l,0,2),CD=(1,1,1),

nABACD_3V15

所以馍,姑,8二网网=反耳=守'

所以直线AB与。所成角的余弦值为巫.

5

故答案为：姮

5

15.83.2

【分析】(1)建立平面直角坐标系，将点(32-1.6)代入解析式，求出p=3.2,得到焦点到

准线的距离，水面下降0.9m时，>=-2.5,进而求出*=±4,得到水面宽度.

【详解】如图，以拱顶为原点0,建立直角坐标系,

设抛物线方程为/=-2处(p>0),由题意可知抛物线过点(32-1.6),

得3.2?=—2p(-1.6),得2P=6.4,解得p=3.2,

所以抛物线方程为f=-6.4y,

所以该抛物线的焦点到准线的距离为P=3.2m.

当水面下降0.9m时，y=-1.6-0.9=-2.5,则d=-6.4*(-2.5),得了=±4,

所以水面的宽度为8m.

故答案为：8,3.2

16.(2,+<»)

【分析】根据直线和圆有两个公共点可列出不等式，从而求出加的取值范围.

【详解】因为曲线1+⑹（后-y-2）=0与圆元2+（y_m）2二/恰有4个公共点，

所以直线x+6=0,6x-y-2=0均与圆炉+（j一根）2=加2相交，且两直线的交点

14

(2,+oo).

y

(2)4.r+5y-14=0

【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程；

（2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可.

…fx-y+l=0,,fx=l,

【详解】（1）由c',:解得；

即4和4的交点坐标为（L2）,

因为直线/经过点（3,3）,所以直线/的斜率为U=

所以直线/的方程为y-2=1（.r-l）,

令y=0,得了=-3,所以直线/在x轴上的截距为一3.

（2）因为直线/与直线上4x+5y-12=0平行，

所以可设直线/的方程为4x+5y+机=0,

又直线/经过点（1,2）,所以4xl+5x2+zn=0,得加=—14,

所以直线/的一般式方程为4%+5〉-14=0.

Y22

18.（1）--^V=1

48

(2)2x—y—3=0

2

【分析】（1）根据题意设方程尤2-5="彳30）,求出X,即可求解.

（2）设AB两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线

的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线A8的方程，与双曲线联立方程，满足A>0,即可

得到直线A3的方程.

2

【详解】（1）因为双曲线C与双曲线/-乙=1有相同的渐近线，

2

2

所以可设其方程为V-]=2（2H0）,

将点（2,0）的坐标代入得2=4,则所求双曲线的标准方程为9-=1.

（2）设4（%,%）,3（三,%）,因为A3的中点为“（3,3）,则%+%=6,%+%=6,

4Q11

因为《22,所以$（%+%）（>「%）=彳（芯+%乂西一元2）,

84

,48

即：x6x（%-y2）=；x6x（不一元2），贝4（%-%）=；（网一无2），所以=2，

o4o4AiA2

所以直线A3的方程为y—3=2（x—3）,即2x-y—3=0.

r22

土上=1

当直线为2x—y—3=0时，联立方程彳48,得2炉—12x+l=0,A=122-4x2xl>0,

2x—y—3=0

符合题意，故直线A8的方程为2尤->-3=0.

19.（1）证明见解析

C、3屈

\^）—-—

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即

可;

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为。，/分别为AC,8C的中点，所以。尸AB.

在正三棱柱ABC-中，AB//A用

所以。尸〃A山.

又平面ABE,A81U平面A4E,所以£）尸〃平面4耳£.

（2）取的中点0,连接。C.以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(-1,0,2①4(1,0,2月,£(0,73,73),F

A£=(1,73,-A/3),44=(2,0,0).

设平面A与E的法向量为〃=(x,y,z),

n-AB,=2x=0,

则rr

n-A^E=x+-J3z=0,

取y=i,则“=(0,1,1)

易知与尸=「J，T，-26］是平面a的一个法向量,

I22J

373

所以|cosjBG|=±K=H=/.

।'勺成即V2652

故平面a与平面A与E夹角的余弦值为上便.

52

20.(l)(x-+(y-1)2=1

⑵孚

(3)21

【分析】（1）设圆心为C（7%〃），贝!p〃>0,">。，m=n,半径为加，且圆心在x-y=O,从

而求出m=1,得到圆的方程；

（2）设2=l+cos6,y=l+sinl,得到z=10sin（e+°）+31,得到最小值.

【详解】（1）因为圆C与两坐标轴的正半轴都相切，设圆心为C（%〃），

则根>0,〃>0,m-n,半径为m,

故圆C的方程为（1-租）2+（,一加）2="，

又加一m二0,圆心在％-丁=。上，故直径为2,

故半径m=l,所以圆C的方程为（x-l）2+（y-l）2=l；

（2）圆心。（1,1）到3x-y=。的距离为d=二比不，

贝U圆C截直线3x-y=0所得弦长为2a一/=2^1=半.

（3）P（x,y）是圆。上的一个动点，故设x=l+cose,y=l+sin。，

贝!Jz=Y+V+4%+6y+18=（x-1）。+（y_i）2+6%+8y+16

=l+6x+8y+16=6（l+cos夕）+8（1+sin，）+17=6cos9+8sin9+31

=10sin（9+e）+31,

3

其中tan（p=一,

4

当sin（，+夕）=-1时，z=x2+y2+4%+6y+18取得最小值，

最小值为21.

21.（1）证明见解析

⑵T

【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可;

（2）根据面面垂直的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】(1)取AC的中点0,连接。与，0D.

TT

因为ABCD是菱形，ZABlC=~,所以.、ACq,ACD为等边三角形，

所以。耳，AC,OD1AC.

又。瓦।i0D=Q04,0Du平面所以AC_L平面。耳。.

因为4Ou平面02Q,所以AC,耳。.

(2)因为平面AC4，平面ACD,且平面ACB|C平面ACD=AC,BtO1AC,

所以80，平面AC。

以。为坐标原点，0D,0A,。与所在直线分别为x,>,2轴建立如图所示的空间直角坐

设AC=2,则A（0,l,0）,C（0,-l,0）,。（6,0,0）,四（0,0,抬），B,C=（0,-1,-^）,

^^=（0,1,-73