2023-2024学年陕西省高二年级下册综合评价数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年陕西省高二下册综合评价数学模拟试题

一、单选题

1.已知等差数列｛叫的前“项和为S,,,若&=9,S9=45,则数列｛叫的公差为（）.

A.2B.-2C.6D.4

【正确答案】D

【分析】由题可得Sg=9%=45,即得.

【详解】：Sg=9%=45,

♦二%=5,

.∙.数列｛q｝的公差为6-%=4.

故选：D.

2.在,ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知A=60。，⅛=2√3,为使此

三角形有两个，则。满足的条件是（）

A.y∣3<a<3B.ʌ/ɜ<a<2∙^3C.3<<z<2-s∕3D,ʌ/ɜ<a<4>∕3

【正确答案】C

【分析】为使此三角形有两个，只需满足AinA<α<6,即可求”范围.

【详解】为使此三角形有两个，即6sinA<a<6,

/7

.∖2√3×-<a<2√3,解得：3<a<2√3,

2

故选：C.

本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

3.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总

和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、

12、18、24、32、40、50,则此数列的第19项是（）

A.200B.182

C.180D.181

【正确答案】C

【分析】由已知数列可得〃为偶数时，¾=y,〃为奇数时，a”=?，然后逐个分析判

断即可.

【详解】观察此数列可知，当〃为偶数时，4=［，当"为奇数时，«„=—1

IQ2-I

所以，%,==180,所以C正确，

2

故选：C.

4.已知S〃为等差数列｛4｝的前〃项和，且满足/+^2+2%%=9,〃〃<。，则SK）等于（）

A.-9B.-11C.-13D.-15

【正确答案】D

【分析】根据等差数列的性质利用q+q。=%+%，代入等差数列的求和公式即可.

6

【详解】生2+0j+2。3〃8=（“3+⅛）2=9,an<0f

。3+%=-3,

,<_10（4+40）_10（四+为）_

•∙ɔlA———ɪɔ，

1022

故选：D

5.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别是α,b,c.已知A=45。，α=6,6=3夜，则8

的大小为（）

A.30oB.60°

C.30°或150°D.60°或120°

【正确答案】A

【分析］先由正弦定理求出SinB=可得8=30。或8=150。，再由得4>8,从而可求

出8=30°.

【详解】由正弦定理得上a

sinSinA

即Rl=6,

sinBsin45°

解得sinβ=y,

又3为三角形内角，所以8=30。或3=150。,

o

又因为a>bf所以A>5,即B=30.

故选：A.

6.在等比数列｛《,｝中，％=sinl5',则％外=（）

ʌ2-6r2+√3r√6n√3

4434

【正确答案】A

【分析】根据等比中项性质和二倍角的余弦公式即可求解.

1Br-

【详解】由等比数列的性质可得_2_∙2∣<:JCOS30"_1一彳_2-6.

故选：A.

7.已知等差数列｛%｝的公差4*0,前〃项和为S,,,若\=12,则下列结论中错误的是（）

A.q：d=-17:2B.518=0

C.当d>0时，a6+al4>0D.当4<0时，∣¾∣>∣0l4∣

【正确答案】D

【分析】因为｛%｝是等差数列，由$6=*2可得的+4。=0,利用通项转化为《和"即可判断

选项A；利用前〃项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质

必+44=a9+α∣0+d=d即可判断选项C;由d<0可得4+44=d<0且必>0,q4<0即可

判断选项D,进而得出正确选项.

【详解】因为｛%｝是等差数列，前"项和为S（I,由豆=兀得：

ssa+a+a+a

n-（,=ιs9w+«1,+«12=0,即3（t⅞+4o）=O,BP09+α10=0,

对于选项A：由%+4°=0得2q+17d=0,可得q:"=-17:2,故选项A正确；

对于选项B：SXl8（卬+48）=18（%+4。）=0,故选项B正确；

1822

对于选项C：ab+al4=a9+atl=av+at0+d=d,若d>0,则4+α∣4=d>0,故选项C正确；

β

对于选项D：当d<0时，a6+al4=d<0,则%<-αμι,因为d<0,所以%>>。，∣4<θ.

所以同<|%|,故选项D不正确，

故选：D

8.若（α+b+c）S+c-α）=36。，且SinA=2sinBcosC,那么/3C是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正确答案】B

【分析】化简(α+%+c)S+c-α)=3bc,结合余弦定理可得A=?,再利用正余弦定理对

SinA=2sinBcosC化简可得b=c,从而可判断出..ABC的形状

【详解】由(α+b+c)(b+c-α)=3fec,得S+c『一〃=3A,

化简得分=Oc,

所以由余弦定理得CoSA=生=J.,

IbcIbc2

因为Ae(OZ),所以A=q,

因为sinA=2sinBcosC,

所以由正余弦定理角化边得a=26空Q≤,化简得从=C?,

2ab

所以b=c,

所以ABC为等边三角形，

故选：B

9.已知数列｛4｝的通项公式是4=(-1)"(3”一2),则4+%+…+t⅛=()

A.-3028B.-3027C.3027D.3028

【正确答案】A

【分析】根据数列｛叫的通项公式，

4+a2^l-----1^%)19=(4+%)+(。3+4)++(02OI7+¾OI8)+β2OI9，利用并项求和法即可得出答

案.

【详解】解：由q,=(T)"(3〃—2),

得ciy+α,H----1*“刈9=—1+4+(—7)+1()++(—6055)

≈(-l+4)+(-7+10)++(-6055)

=3×1009-6055=-3028.

故选：A.

10.锐角三角形ABe中，a、b、C分别是三内角A、B、C的对边，如果B=2A,则的取

值范围是()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(∙^2>6)D.(√2,2)

【正确答案】C

【详解】解：因为B=2A,故SinB=Sin2A,

sinBbsin2AC,，π∙,_,乃

------=-=---------=2cosA,0<2A<-,0n<θz-3A<-

sinAasinA22

—<A<—――<cosA<——,,>∕2<2cosΛ<ʌ/ɜ

6422

故所求的范围是选C

11.已知数列｛““｝是公差不为零的等差数列，｛〃,｝是正项等比数列，若％=瓦,a1=b7,则

()

A.aA=b4B.as<b5C.⅞>⅛D.a9<bv

【正确答案】D

由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.

【详解】等差数列的通项公式是关于"的一次函数，n∈N∖图象中的孤立的点在一条直线

上，

而等比数列｛"｝的通项公式是关于"的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，

如图所示当d>0时，如下图所示，

如图可知当％=4,%=&时，a4>b4,a5>bs,¾<⅛li,a9<⅛.

故选：D

关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.

12.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长

求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的

数学水平，其求法是：“以小斜累并大斜累减中斜塞，余半之，自乘于上.以小斜募乘大斜

累减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积若把以上这段文字写成公式，即

S=βa2c2-(e,2+ζ~b2)2,其中以氏C分别为./WC内角A、B、C的对边.若6=2,

tanC=X⅜'-,则.ABC面积S的最大值为

I-GCOS8

B.√5C.√3D.√2

【正确答案】C

【分析】将已知等式进行化简并利用正弦定理可得c=g”,代入“三斜求积”公式即可计算

得解.

【详解】TtanC=—=SinC,则SinC=后(SinBCoSC+cosBSinC)=GSin(β+C)

1-CCOSBcosC

=√3sinA,由正弦定理得∙"=2,

∕∖ABC的面积S=3√-(2α2-2)

,.∙.当/=4即α=2时，Z∖ABC的面积S有最大值为G.

故选C.

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查二次函数求最值问题，考查转化思想，属于中

档题.

二、填空题

13.在一ABC中，A=60o,AB=2,且JIBC的面积S..=更，则边BC的长为______.

Λo(.-2

【正确答案】√3

【分析】利用面积公式SABC=5A8∙AC∙sinA,可求解AC,再由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosA,可得解.

【详解】由面积公式：S=-AB-AC-SinA=-

ΛaobCc22

.∙.AC=I

由余弦定理：

BC?=A82+AC2-2A8∙AC∙COS4=4+1-2X2X1XL3

2

.∙.8C=G

故G

本题考查了面积公式，余弦定理综合应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基

础题.

14.已知等比数列｛q｝的前〃和为S“，若的,%，%成等差数列，且Sk=22,SN=-63,则

∖+2的值为.

【正确答案】107

【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，根据题意列方程可得2α4=α4+qq4,从

而求出4=-2或q=l,再根据S*M=-63,确定“=-2,进而求出

¾+2=‰=-2X(-85)=170,代入记得.Sg=SZ+¾+2=-63+170=107

【详解】由题意可设等比数列｛《,｝的公比为4,首项为4,

由4,%,%成等差数列可得：

2a3=a4+as,代入可得：

2i4

2alq=alq+alq,解得：q=-2或q=l,

又因为Sjw=-63,易知＜7=-2,

又因为&=22,

%=S*+∣Y=-85,

所以%2=外+产-2χ(-85)=170,

S"2=5*M+%=-63+170=107,

故107.

本题考查了等差中项和等比数列的通项公式，考查了巴和S”的关系，同时考查了计算能力,

属于中档题.

15.如图，在离地面高20Om的热气球M上，观察到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯

角为45,已知NBAC=60,则山的高度BC为m.

【正确答案】300m

【分析】首先在.AMD中，求得AM=2000，然后再4M4C,利用正弦定理求得

AC=200√3,最后在_A3C中，利用直角三角形的性质，即可求解.

【详解】在直角一中，可得的NM40=45,MD=200,所以AM=上3=2000,

sin45

因为^M4C中，ZAMC=45+15=60,ZMAC=ISO-45-60=75,

所以NMe4=180-ZAMC-ZMAC=45，

Onn/ɔ,

—MASinNAMCxzV…G

由正弦定理，可得AC=.=——/-^-=200√3,

sinZMCA√2

T

在直角ASC中，因为NBAC=60，可得BC=ACSinNbAC=200Gx»=300m.

2

故30Om

16.已知如图的一个数阵，该阵第”行所有数的和记作％,

a1=l,02≈l+→l,α3=l+→→→l,,数列｛叫的前〃项和记作S,,,则下列说法正确的

是.

I1

T4

T

II—I1

_-I

24842

1

I1IJI

_

48-4~

1682

®an=4--

3

②H“二牙

③_ST227

λ3

ΦS,,=4H-6+-

【正确答案】①②③

【分析】根据等比数列的前〃项和公式可求得为=”*•,判断①；利用。“=4-向可求

出4+i-4r，判断②；由=4-]γ可得S”=4〃-3（，+摄++Jq^）,继而化简求得S“，

继而求得S5,判断③④.

【详解】由题意得

22

3

=4一产，①正确；

%-4=4-1一(4-Pr)=(，②正确；

3111

由。“=4-西可得。,=4〃-3(于+婷+西)，

1×[1-(⅛13ɔ力

2

即S,,=4"-3x-------j-=4/7-6+—,则s.=20-6+m=言，③正确，④错误,

1_12216

2

故①©③

三、解答题

17.己知^ABC中，角A8,C所对的边分别为。力,c,且S+2?CoSA_Sin(B+引=0,»8C

外接圆的半径为4√7.

⑴求A的值；

(2)若Sabc=24√3,求_ABC的周长.

【正确答案】⑴A=g

(2)12√3+4√21

【分析】(1)根据诱导公式和正弦定理边化角结合两角和的正弦公式即可求得CoSA=-g,

即得答案；

(2)根据三角形外接圆半径和角A可求得“，再利用余弦定理求得b+c=12√5,即可求得

答案.

【详解】(1)依题意由I''+2?C°SA_sin(B+^)=0,可得(b+2c)cos4+αcos8=0,

由正弦定理得(SinB+2SinC)CoSA+sinACOS8=O,则2sinCcosA+sin(A+β)=0,

故2sinCbosA+sinC=O,而C∈(0,π),.∙.si∏C≠0,

故2cosA+l=0，则CoSA=—,

2

而A∈(O,7Γ),故A=g∙

(2)因为.ΛBC外接圆的半径为4√7,即R=4√7,A=y,

故由正弦定理，得α=2RsinA=4√ΣI，

XS=ɪ⅛esin—=—fee=24>∣3,解得6c=96,

234

由余弦定理，a2=b2+C2-2bccosA,^h2+c2+hc=(h+c)2-hc=336,

又6c=96,故(6+C)2=432,则Z>+C=12G,

则.ABC的周长为12√5+4jΣT.

2

18.已知数列｛4｝的前,项和为S“，S,,=n,数列也｝是等比数列，bi=3,b=27”.

(1)求数列｛%｝和｛〃｝的通项公式；

(2)设q,=a,+bn,求数列｛%｝的前〃项和7；.

【正确答案】(1)a,,=2n-∖,々=3"；(2)7；,=n2+∣(3,'-1).

【分析】(1)由题意，利用4=S,,-S,τ,求得数列｛q｝的通项公式0z,=2"-l,设等比数列

低｝的公比为4,根据题意列出方程求得4=3,进而求得数列也｝的通项公式；

(2)由⑴知仇=3",根据%=0,,+2,结合等差、等比数列的求和公式，即

可求解.

【详解】(1)由数列｛为｝的前“项和为S,,SL),

当“≥2时，a“=S“_S“_|=a?_(〃_]『=2“_],

当〃=1时，4=S∣=1,适合上式，

所以数列｛%｝的通项公式4,=2"-l,

又由数列也｝是等比数歹IJ,设等比数列也｝的公比为4,

因为々=3,⅛7=27⅛4,可得3∕=27x3q3,即如=27,解得4=3,

所以数列也｝的通项公式为"=M"τ=3x3"τ=3".

(2)由(1)知4=2〃—1,bn=T,又由任三上+知,

a

数列匕｝的前“项和4=(4+α2++,,)+(^i+b2++hιl)

”(l+2"-l)I3(1-3”)=Y(3T)

21-3

19.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知SinA+6COSA=O,α=2√7,⅛=2.

(1)求角A和边长c；

(2)设。为5C边上一点，且4。，人(7,求4题的面积.

【正确答案】(1)与，4;(2)√3.

【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tanA=-g从而可得A的值，

再根据余弦定理列方程即可求出边长C的值；（2）先根据余弦定理求出CoSC,求出CD的长,

可得CO=；BC,从而得到SMj»=；SAABc，进而可得结果.

试题解析：（1）sinA+ʌ/ɜcosA=0,.∙.tanA=-ʌ/ɜ,0<A<π,:.A-^~,由余弦定理可得

a2=b2+c2-IbccosA,即28=4+c'-2χ2cx（-5），即<?+2<;-24=0,解得C=-6（舍去）

或c=4,故c=4.

（2）QC2=h2+a2-IabcosC,.∖16=28+4-2×2>∕7×2×cosC,

.∙.cosC=-⅛,∕.CD=-^^=-j-=√71

√7cosC2",:.CD=-BC9

万2

SmbcABAC-sinZBAC=^×4×2×=2y∕3,：.SMBD=；SMBC=6

20.已知等差数列｛4｝和等比数列也｝满足4=4,4=2,a2=2b2-l,a,=bi+2.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

（2）数列｛α,,｝和｛2｝中的所有项分别构成集合A,B,将AuB的所有元素按从小到大依

次排列构成一个新数列｛%｝,求数列｛g｝的前60项和S60.

【正确答案】（1）%=3"+l,b,,=2n-（2）5014.

【详解】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为4,

j4+d=2∙2q-1Jd=4q-5

由（4+2d=2∙d+2∣J=q2—I

：・q=2,d=3,

/.。〃=3〃+1,bll=2".

127

（2）当匕｝的前60项中含有也｝的前6项时,^3n+l<27=128^n<-,

此时至多有41+7=48项（不符）.

当｛g｝的前60项中含有｛仇｝的前7项时，令3∕I+1<28=256=>“<85,

且2。2326是｛可｝和也｝的公共项，则匕｝的前60项中含有也｝的前7项且含有血｝的

前56项，再减去公共的三项.

56×4+^∣^×3∣+2+23+25+27=4844+170=5014.

关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列｛c,,｝是由｛4｝和｛〃｝中的哪些选项构成的，还

要注意去掉公共项.

21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到

C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从

A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为5()m∕min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到8,

在8处停留Imin后，再从8匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130m∕min,山

123

路AC长为1260加，经测量CoSA=—,cosC=-.

135

(1)求索道A8的长；

(2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？