天津市河西区环湖中学2024届数学九年级上册期末达标检测试题含解析

天津市河西区环湖中学2024届数学九上期末达标检测试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，在RtAABC中，NC=90°,BC=4,AC=3,则sinB=（）

2.如图，。。是A43C的外接圆，连接。4、OB,ZC=40°,则NQ4B的度数为（）

3.下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）

A.2X2-6X+1=0B.3X2-X-5=0C.X2+X=0D.X2-4X+4=0

4.已知锐角NAOB如图，（1）在射线OA上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连

接CD；

（2）分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M,N；

（3）连接OM,MN.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A.ZCOM=ZCODB.若OMnMN,贝！jNAOB=20。

C.MN/7CDD.MN=3CD

5.二次函数y=-d+2机x（机为常数）,当叱烂1时，函数值y的最大值为4,则机的值是（）

A.±2B.2C.±2.5D.2.5

6.如图，在中，ZC=90BC=4,AC=3,则sinA的值是（）

7.下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（）

A.y=（x+l）（x-3）B・y=x3+1C.y=x2+—D.y=x.3

x

4

8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点B（-1,-1）,C在x轴正半轴上，A在第二象限双曲线y=--

x

上，过D作DE〃x轴交双曲线于E,连接CE,则4CDE的面积为（）

79

A.3B.-C.4D.-

22

9.已知抛物线）二公^+区+^^经过点㈠1,〃。，（—3,〃），若X，々是关于》的一元二次方程以？+法+c=。的两个

根，且一4＜玉＜-3,x2＞0,则下列结论一定正确的是（）

A.m+n>0B.m-n<0C.mn<Q

10.一个凸多边形共有20条对角线，它是（）边形

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，矩形ABCO中，边长4）=8,两条对角线相交所成的锐角为60°,M是边的中点，P是对角线AC

上的一个动点，则PM+PB的最小值是.

BWC

12.二次函数y=（x-1）,2的顶点坐标为.

13.已知两个数的差等于2,积等于15,则这两个数中较大的是.

14.一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中任取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可

能性分别记为a、b,则。与〃的大小关系为.

15.方程2x2-5x=0的解为.

16.某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人.设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为

17.二次函数7=。*1+取:+。（<#2）的部分图象如图，图象过点（-1,2）,对称轴为直线x=l.下列结论：®4a+b=2；

②9a+c>3①③当了>-1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值yV2时，自变量x的取值范围是-1或x

>5；⑤8a+7"lc>2.其中正确的结论是.

18.我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5,“边长正度

值”为3,那么这个等腰三角形底角的余弦值等于.

三、解答题（共66分）

19.（10分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）

之间满足如图所示的关系.

⑴求出y与x之间的函数关系式；

⑵写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多

20.(6分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,

再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：

(1)两次取出的小球标号相同；

(2)两次取出的小球标号的和等于4.

21.(6分)解方程：

(1)X2+2X-3=0；

(2)x(x+1)=2(x+1).

22.(8分)如图，AB是。。的直径，半径OD与弦AC垂直，若NA=ND,求N1的度数.

23.(8分)快乐的寒假即将来临小明、小丽和小芳三名同学打算各自随机选择到A,3两个书店做志愿者服务活动.

(1)求小明、小丽2名同学选择不同书店服务的概率；(请用列表法或树状图求解)

(2)求三名同学在同一书店参加志愿服务活动的概率.(请用列表法或树状图求解)

Y~4-0Y2尤+2

24.(8分)先化简，再求值：J"+(l+x+-----),其中x=tan60。-tan45°.

X2-4X-2

25.(10分)互联网“微商”经营已经成为大众创业的一种新途径，某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂

家以每个5()元的价格进货.

m巴件库存2000件

山回

立即购买加入购物车

销售期间发现：销售单价是100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5个，为了增

加销售量，尽量让利顾客，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？

26.(10分)如图，在△A8C中，ZBAC=90°,是3c边上的高，E是边上的一个动点(不与8,C重合),

EFLAB,EG±AC,垂足分别为尸，G.

EGCG

求证:

(1)AD-CD

(2)尸。与OG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由;

AB

(3)当下的值为多少时，△尸。G为等腰直角三角形?

AC

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【解析】先利用勾股定理求出斜边AB,再求出sinB即可.

【详解】•••在RtAABC中，/C=90°,BC=4,AC=3,

•*-AB=y/BC2+AC2=6+42=5，

..AC_3

・・sinB-=一.

AB5

故答案为A.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.

2、C

【分析】直接利用圆周角定理得出NAOB的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案.

【详解】解：•.•NAC3=40°,

：.ZAOB=80°,

"；AO=BO,

；.ZOAB=ZOBA=-(180°-80°)=50°.

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理.正确得出NAOB的度数是解题关键.

3、D

【解析】试题分析：选项A,A=b2-4ac=(-6)2-4x2xl=28>0,即可得该方程有两个不相等的实数根；选项BA=b2

-4ac=(-1)2-4x3x(-5)=61>0,即可得该方程有两个不相等的实数根；选项C,△=b2-4ac=l2-4xlx0=l>0,

即可得该方程有两个不相等的实数根；选项D,△=b2-4ac=(-4)2-4xlx4=0,即可得该方程有两个相等的实数根.故

选D.

考点：根的判别式.

4、D

【分析】由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【详解】解：由作图知CM=CD=DN,

AZCOM=ZCOD,故A选项正确；

VOM=ON=MN,

/.△OMN是等边三角形,

...NMON=60°,

VCM=CD=DN,

:.ZMOA=ZAOB=ZBON=-ZMON=20°,故B选项正确

3

,:NMOA=NAOB=NBON,

180°-ZCQD

.,.ZOCD=ZOCM=

2

二ZMCD=180°-ZCOD,

又NCMN」ZAON=ZCOD,

2

:.ZMCD+ZCMN=180°,

AMN/7CD,故C选项正确；

VMC+CD+DN>MN,且CM=CD=DN,

A3CD>MN,故D选项错误；

故选D.

【点睛】

本题主要考查作图•复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.

5、D

【解析】分mWO、胆21和OWMWI三种情况，根据y的最大值为4,结合二次函数的性质求解可得.

【详解】y=-x2+2mx=-(x-m)2+m2(m为常数)，

①若当x=O时，y=-(0-m)2+m2=4,

m不存在，

②若，论1,当x=l时，y=-(1-m)2+m2=4,

解得：机=2.5；

2

③若09EL当x=/n时，y=m=49

即：­=4,

解得：/n=2或相=-2,

VO<m<l,

・•・%=-2或2都舍去，

故选：D.

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意分三种情况讨论.

6、C

【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解.

【详解】解：在直角AABC中，AB=VAC2+BC2=Vs2+42=5>

BC4

则nlsinA=-----=—.

AB5

故选C.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边

比邻边.

7、A

【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如产+打+。（«,b、c是常数，咛0）的函数，叫做二次函数）进行判断.

【详解】A.y=（x+D（x-3）可化为y=f—2》一3,符合二次函数的定义，故本选项正确；

B.y=V+l,该函数等式右边最高次数为3,故不符合二次函数的定义，故本选项错误；

c.y=Y+一,该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；

x

D.y=x-3,属于一次函数，故本选项错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要

先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.

8^B

【分析】作辅助线，构建全等三角形：过A作GH，x轴，过B作BG_LGH,过C作CMJ_ED于M,证明

4

△AHD^ADMC^ABGA,设A（X,--）,结合点B的坐标表示：BG=AH=DM=-1-x,由HQ=CM,列方

x

程，可得X的值，进而根据三角形面积公式可得结论.

【详解】过A作GHJLx轴，过B作BG_LGH,过C作CMJLED于M,

”，4

设A（x,-----）,

X

•.•四边形ABCD是正方形，

.,.AD=CD=AB,ZBAD=ZADC=90",

：.ZBAG=ZADH=ZDCM,

/.AAHD^ADMC^ABGA（AAS）,

.♦.BG=AH=DM=-1-x,

4

.,.AG=CM=DH=1-

X

VAH+AQ=CM,

,44

/.1--=---1-x,

XX

解得：x=-2,

/、4

.,.A（-2,2）,CM=AG=DH=1------=3,

VBG=AH=DM=-1-x=l,

.•.点E的纵坐标为3,

,44

把y=3代入y=----得：x=--,

x3

/4、

.,.E(--,3),

3

42

.,.EH=2--=

33

27

.,.DE=DH-HE=3--=

33

I177

••SACDE=—DE・CM=­x—x3=一.

2232

故选：B.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象和性质与几何图形的综合，掌握“一线三垂直”模型是解题的关键.

9,C

【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，然后通过图象判断m和n的符号，找到这两种情况下都正确

的结论即可.

【详解】解：当a>0时，如下图所示，

由图可知：当*<*<尤2时，y<o；当XV*或x>x2时，y>0

■:-4<X]<-3<0<x2

，m>0,n<0,

此时：机+〃不能确定其符号，故A不一定成立;

m-n>0,故B错误；

加•〃<(),故C正确；

m

-<0,故D错误.

n

当aVO时，如下图所示,

由图可知：当XiVxV/时，y>0；当XV』或I〉/时，y<0

■:-4<玉<—3VOV/

，mV0,n>0>

此时：不能确定其符号，故A不一定成立；

m-n<0f故B正确；

m-n<09故C正确；

m

-<0,故D错误.

n

综上所述：结论一定正确的是C.

故选C.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与二次项系数的关系、分类讨论的数学思想和数形

结合的数学思想是解决此题的关键.

10、C

【分析】根据多边形的对角线的条数公式妁P列式进行计算即可求解.

2

【详解】解：设该多边形的边数为n,由题意得：

"("jo,

2

解得：〃1=8,々=一5（舍去）

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、4百

【分析】根据对称性，作点B关于AC的对称点B，,连接B，M与AC的交点即为所求作的点P,再求直角三角形

中30。的临边即可.

【详解】如图，作点B关于AC的对称点B，,连接B，M,交AC于点P,

.♦.PB'=PB,此时PB+PM最小，

•.•矩形ABCD中，两条对角线相交所成的锐角为60。，

/.△ABP是等边三角形，

.*.ZABP=60o,

.♦.NB'=NB'BP=30°,

VZDBC=30°,

=90°,

在RtZkBB'M中，BM=4,ZBZ=30°,

.*.BB,=2BM=8

•*-BZM=182-42=46，

.♦.PM+PB'=PM+PB=B,M=473.

故答案为4省.

【点睛】

本题主要考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点B关于AC的对称点B，.

12、(1,2).

【解析】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案.•.、=（X-1）2+2,.•.抛物线顶点坐标为（1,2）.

故答案为（1,2）.

考点：二次函数的性质.

13、5

【分析】设这两个数中的大数为x,则小数为x-2,由题意建立方程求其解即可.

【详解】解：设这两个数中的大数为x,则小数为x-2,由题意，得

x（x-2）=15,

解得：xi=5,X2=-3,

.•.这两个数中较大的数是5,

故答案为5；

考点：一元二次方程的应用.

14、a<b

【分析】分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，然后比较大小即可.

【详解】根据盒子中有2个白球，2个黑球

可得从中取出2个球，一共有6种可能：2白、2黑、1白1黑（4种）

21

“两球同色”的可能性为"=一=一

63

42

“两球异色”的可能性为/>=-=—

63

.12

・一<一

33

:・a<b

故答案为：a<b.

【点睛】

本题考查了概率的问题，掌握“两球同色”与“两球异色”的可能性是解题的关键.

5

15、%=n0,x,=—

■2

【分析】因式分解法即可求解.

【详解】解：2/一5%=0

x（2x-5）=0,

【点睛】

本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解，属于简单题，熟悉解题方法是解题关键.

16、(1+x)2=121

【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染

x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=1.

【详解】l+x+x(l+x)=121,整理得，(1+X)2=121.

故答案为：(1+X)2=121.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解.

17、

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断

即可.

【详解】解：抛物线过点(-1,2),对称轴为直线x=l.

b

Ax=--=1,与x轴的另一个交点为(5,2),

2a

即，4a+b=2,故①正确；

当x=-3时，y=9a-3b+c<2,即，9a+c<3b,因此②不正确；

当x<l时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；

抛物线与x轴的两个交点为(-1,2),(5,2),又aV2,因此当函数值yV2时，自变量x的取值范围是xV-1或x

>5,故④正确；

当x=3时，y=9a+3b+c>2,

当x=4时，y=16a+4b+c>2,

：.l5a+7b+lc>2,

又,：a<2,

：.8a+7b+c>2,故⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①④⑤，

故答案为：①④⑤.

【点睛】

本题主要考查二次函数图像性质，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.

1-4

18、一或一

55

【解析】将情况分为腰比底边长和腰比底边短两种情况来讨论，根据题意求出底边的长进而求出余弦值即可.

【详解】当腰比底边长长时，若等腰三角形的腰长为5,“边长正度值”为3,那么底边长为2,所以这个等边三角形

底角的余弦值为:；当腰比底边长短时，若等腰三角形的腰长为5,“边长正度值”为3,那么底边长为8,所以这个

4

等边三角形底角的余弦值为y.

【点睛】

本题主要考查对新定义的理解能力、角的余弦的意义，熟练掌握角的余弦的意义是解答本题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(l)j=-x+170；(2)W=-x2+260x-1530,售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元.

【解析】(D先利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W,即W=(x-90)(-x+170),然后根据二次函数的性质解决问题.

。20k+8=50f%=—1

【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为产h+b,根据题意得：,”，解得：匕/八，•力与》之间

140%+/?=30[6=170

的函数关系式为j=-x+170；

(2)W=(x-90)(-x+170)=-x2+260x-1.

VW=-好+260丫-1=-(x-130)2+2,而a=-l<0,:.当x=130时，W有最大值2.

答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，

然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围.

、13

20、(1)—(2)—

416

【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率.

试题解析：

1234

11,12,13,14,1

21,22,23,24,2

31,32,33,34,3

41.42,43,44,4

41

⑴P(两次取得小球的标号相同)=正*

3

(2)P(两次取得小球的标号的和等于4)=—.

16

考点：概率的计算.

21、(1)xi=-3,xz=l;(2)xi=-1,X2=2

【分析】(D利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；

(2)利用因式分解法解方程.

【详解】(1)解一：(x+3)(x-1)=0

解得：X1=-3,X2=l

解二：a=l,b=2,c=-3

-b±>jb2-4ac

x=----------------------

2a

解得：x=N土巫

2

即Xl=-3,X2=l.

(2)x(x+1)-2(x+1)=0

(x+1)(x-2)=0

Xl=-1,X2=2

点睛：本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及

熟记求根公式.

22、30°

【分析】利用垂径定理和圆周角定理证得NA=N1=NABD,然后根据直角三角形两锐角互余即可求得N1的度数.

【详解】解：•・•半径OD与弦AC垂直，

・•・AD=CD，

AZ1=ZABD,

•・•半径OD与弦AC垂直，

AZACB=90°,

/.OD/7BC,

/.Z1=ZD,

VZA=ZD,

AZA=Z1=ZABD,

VZA+ZABC=90°,

.\3Z1=9O°,

AZ1=3O°.

D

【点睛】

本题考查了垂径定理和和圆周角定理的推论，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握垂径定理，能够理清各线段

和角的关系.

23、(1)—；(2)一

24

【分析】(1)用树状图列出所有可能的情况，然后即可得出其概率；

(2)用树状图列出所有可能的情况，然后即可得出其概率.

21

【详解】(1)P(2人选择不同的书店)=一=—

42

开始

/X

小明AB

八八

小丽ABAB

图(1)

21

(2)P(3人选择同一书店)=一=一

84

开始

小明AB

八八

小丽ABAB

AARA

小芳ABABABAB

图(2)

【点睛】

此题主要考查利用树状图求概率，熟练掌握，即可解题.

24、2.

x+13

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可.

x(x+2)(1--2)+2x+2

【详解】原式=

(x+2)(x-2)x—2

Xx(x+l)

x—2%—2

_x.x-2

-x-2x(x+l)

1

-7+T'

当x=tan60°-tan45°=道—1时，

原式=丁1—=、=立.

V3-1+1V33

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

25、当销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元.

【分析】假设销售单价为x元，根据题意可知销售量与销售单价之间的关系，销售量是关于x的一元一次函数，利润

=（售价-成本）x销售量，根据这一计算方式，