福建省厦门市重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)

2023-2024学年厦门市重点中学九（上）数学12月月考试卷

满分：150分时间：120分钟

班级__________姓名__________座号

一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1.二次函数y=6x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,-6,-1B.1,6,1C.0,-6,1D.0,6,-1

2.己知一。的半径是3,点P在圆外，则线段OP的长可能是（）

A.lB.2C.3D.4

3.下列说法错误的是（）

A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为工

3

B.不可能事件发生的概率为0

C.买一张彩票会中奖是随机事件

D.一个盒子装有3个红球和1个白球，除颜色外其它完全相同，同时摸出两个球，一定会摸到红球

4.如图，四边形A3CD内接于O,如果它的一个外角/DCE=63，那么4OD的度数为（）

AD1

5.如图，在ZkABC中，DE//BC,若一=—,AE=1,则EC等于()

AB3

A.lB.2C.3D.4

6.有了支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（

A.；x(x+1)=451

B.一X=45C.x(x-1)=45D.X(X+1)=45

2

i

7.已知点A（—1,㈤，C（2,加+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）

8.如图，点《是。的八等分点.若△《鸟鸟，四边形£舄1弓的周长分别为。，人，则下列正确的是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小无法比较

9.下表是二次函数y=a%2+6x+c的%,丁的部分对应值:

]_3_5

X・・・012・・・

~2222

_7_7_

y…-1m-1n・・・

444

则对于该函数的性质的判断:

①该二次函数有最大值；

②不等式丁>一1的解集是x<0或x>2；

③方程ax2+bx+c=O的两个实数根分别位于一!<%<0和2<x<*之间;

22

④当了>0时，函数值y随％的增大而增大.

其中正确的个数是（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.已知二次函数丁=由？+陵+。（。。0）,X],x2,x3,x4,%为实数，当x=%及1+£+%+匕时

（其中为W々+退+*4+匕），函数值均为5,当兀=玉+%2时，函数值为P，当》=退+%+匕时，函数值

为4,则〃—4=()

2

A.OB.5C.-lD.l

二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11.平面直角坐标系中，点尸（1,-3）关于原点对称的点的坐标是.

12.抛物线y=（尤—2『+3的顶点坐标是.

13.请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式.

14.我国数学家祖冲之是第一个将圆周率的计算精确到小数点后七位的人，他将圆周率精确到3.1415926.若从该

数据的8个数字中随机抽取一个数字，则所抽到的数字是1的概率是.

15.如图，等边三角形ABC内接于＜。，OB=2,则图中阴影部分的面积是.

k

16.已知直线y=—%+方。＞0）与X轴，y轴交于A,B两点,与双曲线y=一（左＞0）交于E,尸两点.若

AB=2EF，且b（左＜3b,则b的取值范围是.

三.解答题（共9小题，共86分）

17.（8分）解方程：X2+6X-1=0.

18.（8分）先化简，再求值：1----卜―5,其中X=A/2-1-

VxJx-x

19.（8分）如图，在平行四边形A5CD中，石为的中点，连接。石.延长。石交AA的延长线于点方.求

20.（8分）关于工的一元二次方程f+（2左一l）x+左2=。有两个实数根％],x2.

（1）求左的取值范围；

（2）是否存在实数左，使得占+超和x/2互为相反数?若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

3

21.（8分）如图，在RtZkABC中，ZACB=90，ZABC=3Q，AC=3.

(1)以5c边上一点。为圆心作圆，使一。分别与AC、AB都相切(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法)；

(2)求。的面积.

22.(10分)如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运

行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+〃.已知球网与。点的水平距离为9m,高

度为2.45m,球场的边界距。点的水平距离为18m.

(1)当/z=2.8时，求丁与x的关系式(不要求写出自变量》的取值范围)；

(2)当人=2.8时，球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求/z的取值范围.

23(11分).如图，在RtZkABC中，ZC=90，经过A，C两点的。与边AB交于点。，与边3c交于

点E,过点。作.。的切线，与BC交于点F，且“7/AC,连接DO并延长与AC交于点

(1)求证：DF=—AC；

2

(2)连接CD,AE,若AE平分NC43,求证：△ACD是等边三角形;

4

（3）在（2）的条件下，若。尸=3,求所的长.

24.（12分）新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形.

（备用图）

（1）下列四边形为对直四边形的是（写出所有正确的序号）；

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如图，在对直四边形A3CD中，已知NABC=90，。为AC的中点.

①求证：3D的垂直平分线经过点。；

②若A3=6,3C=8,请在备用图中补全四边形A3CD,使四边形A5CD的面积取得最大值，并求此时

的长度.

25.（13分）已知抛物线、=奴2+法+°经过点4（—1,0）,B（2,0）,C（0,-l）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）。为抛物线y=ax?+6x+c上不与抛物线的顶点和点A，8重合的动点.

①设抛物线的对称轴与直线AO交于点F，与直线BD交于点G,点厂关于％轴的对称点为F',求证：GF'

的长度为定值；

②当NBA。=45时，过线段AD上的点“（不含端点A，。）作AD的垂线，交抛物线于P，。两点，

求P/TQ"的最大值.

2023-2024九上数学12月月考参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

l.A.2D.3.A.4,B.5.B.6.B.7,C.8.A9.B10.A

二.填空题（共6小题）

3

11.（-1,3）12.（2,3）13.y=——,答案不唯一.

X

14%16,

14.-.15.-------16.—<b<16

433

5

三.解答题（共9小题）

17.【解答】解:(1)%2+6%一1=0,

+6%=1，

%2+6%+9=10，

(X+3)2=10,

x+3=±&3

所以％=—3+V10,x2=—3—A^LO；

x-(x+i)x(x-l

18.【解答］解：原式=-一%—3

x(x+l)(x

—-1I--X--

XX+1

__1_

X+1'

当x=0—1时，

1

原式二一万二！

=_正

—2'

19.【解答】证明：£是3C的中点，

CE=BE,

■四边形A3CD是平行四边形，

AB/ICD,AB=CD,

.-.ZDCB=ZFBE,

ZDCB=ZFBE

在ACED和ABEF中，＜CE=BE

ZCED=ZBEF

△CED^ABEF(ASA),

:.CD=BF,

：.AB=BF.

6

c

/A

ABF

20.1?：(1)根据题意得A=(2左一炉一4严20,

解得左J;

4

(2)不存在.

+%=一(2左一1),=k,

而玉+々和XxX2互为相反数，

.'.—(2k—lj+k2=0,解得左］=左2=1,

,1

k<—,

4

二不存在实数左，使得石+々和七4互为相反数•

21.【解答】解：(1)如图，。为所作；

⑵ZACB=90，ZABC=30，

■.ZBAC=60，

O分别与AC、■都相切，

•.OA平分/BAC,。点为切点，

ZOAC=-ZBAC=30,

2

7

在RtZ\OAC中，OC=—AC=—x3^y/3,

33

；万.

O的面积==3

22.解：(1)h=2.8,球从。点正上方2m的4处发出,

抛物线y=a(%—6『+//过点(0,2),

.-.2=a(0-6)2+2.8,

解得:。=--

45

19

故y与x的关系式为：y=--(%-6)-+2.8,

19

(2)当x=9时，y=-—(x-6)+2.8=2.6>2.45,

所以球能过球网;

19

当y=0时，一行(x—6)+2.8=0,

解得：玉=6+3\/y<18,x2=6—3-\/7(舍去),

故不会出界;

2=36a+h

(3)当球正好过点(18,0)时，抛物线y=a(x—6)2+五还过点(0,2),代入解析式得：＜

0=144。+h'

1

a=---

54

解得：＜

,8

n=—

3

1,8

此时二次函数解析式为：y=——(%-6)+-,

54、73

8

Q

此时球若不出边界/l»—,

3

当球刚能过网，此时函数解析式过（9,2.45）,抛物线y=a（x-6了+/1还过点（0,2）,代入解析式得:

2.45=a（9-6）2+/z

2=a（O-6）2+/z

一1

a------

解得：<60，

h=2.6

此时球要过网/iN2.6,

O

故若球能过球网，会出界，〃的取值范围是：h>-.

3

解法二：y=a（x—6y+〃过点（0,2）点，代入解析式得：

2=36a+h,

若球越过球网，则当x=9时，J>2.45,即9。+->2.45,

解得%>2.6,

2.6>2.45,能过网，

Q

球若不出边界，则当x=18时，y<0,解得

Q

故若球一定能越过球网，会出界，//的取值范围是：h>-.

3

23.解（1）证明：。/为。。的切线，

:.OD±DF,

DF//AC,

DHLAC,

ZC=90，

..•四边形〃CED为矩形，

:.HC=DF.

OHLAC,

:.HC=-AC,

2

9

:.DF=-FC；

2

(2)证明：连接。E,如图,

ZC=90，

为10的直径，

.-.ZADE=9Q.

在RtAACE和RtAADE中，

ZACE=ZADE=90

<ZCAE=ZDAE,

AE=AE

RtAACE冬RtAADE（A45）,

:.AC=AD.

由（1）知：OH_LAC,AH=HC=—AC,

2

.•.OH垂直平分AC,

:.DA=CD,

DA=DC=AC.

.•.AACD是等边三角形；

（3）解:由（2）知：AACD是等边三角形，

ACAD=60，

・四边形ACED为.。的内接四边形，

.-.ZACD+ZCDE=180，

ZCED=120，

ZDEF=60，

由(1)知：四边形HCED为矩形,

10

.-.ZDFE=9Q，

:.ZEDF=30，

：.DE=2EF,

:.DF=^DE2-EF2=V3EF=3>

:.EF=2=+.

24.解(1)一矩形和正方形的四个角都是直角,

•••矩形和正方形是对直四边形，

故答案为：②④；

(2)①证明：如图，连接50,DO,

在对直四边形A3CD中，ZABC=90，

,-.ZABC=ZADC=90，

。为AC的中点.

BO=DO,

BD的垂直平分线经过点。；

②四边形ABCZ)的面积=S4ABC+，S&BC是定值，

•••SAACD有最大值时，四边形A3CD的面积有最大值，

〔AC是定长，

•••当OD，AC时，S^ACD有最大值.

如图，过点。作。石，3Z),交5A的延长线于点E，

AO=OC=OD,ODA.AC,

:.AD=CD,

DEYBD,

ZEDB=ZADC=90，

11

:.NEDA=/BDC,

ZABC=ZADC=90，

：.ZDAB+ZDCB=180，

ZDAB+ZDAE=1SQ，

：.ZDCB=ZDAE,

ADAE^ADCB(ASA),

DE=DB，AE=BC=8,

.•.ADES是等腰直角三角形，BE=14,

:.DB=7叵.

BC

a—b+c=0

25.【解答】（1）解：由题意得：M^+2Z7+C=0,解得：\b=--9

2

c=-l

c=-l

11

则抛物线的表达式为：J=-X92——%—1①；

22

（2）①证明：设直线AD的表达式为：y=k[x+\）=kx+k@,

1,1

联立①②得：一/一一-i=kx+k,

22x

解得：x=2k+2（不合题意的值已舍去）,

12

贝U点。（2左+2,2左2+3左）,

设直线AD的表达式为：y=k（x+V）=kx+k@,

当左＞0时，如图,

由抛物线的表达式知，其对称轴为x

2

i3〃j_3k

当％=5■时，y=k^x+i)=kx+k=—,即点尸

2'T

3k

则点尸的坐标为:

2~2

直线的表达式为：y=g（2左+3）x—（2左+3）,

由点8、。的坐标得,

I14kq

当%=一时，y=—(2k+3^x—(2k+3)=-----