2023-2024学年福建省福州部分学校教学联盟九年级上学期开学考试数学试卷含详解

2023-2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟九年级暑假开学考试数学

（数学试卷共4页，25小题；完卷时间：120分钟；满分：150分）

友情提示：请将所有答案填涂在答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1

1.代数式KR有意义时，x应满足的条件为（）

A.xW-1B.x>—1C.x<-1D.xW-l

2.下列图形是我国国产品牌汽车标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

3.下列对于一次函数），=—3x+2的描述僧氓的是（）

A.），随x的增大而减小B.图像经过点（2,4）

C.图像与直线y=3x相交D.图像可由直线y=-3x向上平移2个单位得到

4.初二年级12位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小东已知自己的

成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这12位同学成绩的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

5.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.x+6=9B.x+y=lC.x+-=3D.-2x2+3x-l=0

x

6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯5S次，则参加酒会的人数为（）

A.q人B.ro人C.人D.人

7.对于抛物线y=—2（x—l）2+3,下列判断正确的是（）

A.抛物线的开口向上B.抛物线的顶点坐标是（-1,3）

C.对称轴为直线X=1D.当X=3时，y>o

8.如图，在AABC中，ZB=40°,将AABC绕点A逆时针旋转，得到AADE,点D恰好落在直线BC上，则旋转

角的度数为（）

A

E

A.70°B.80°C.90°D.100°

9.下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

10.将二次函数y=x2-5x-6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图

象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）

73f73ft69一

A.----或-12B.----或2C.-12或2D.----或-12

444

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.写出一个比1大且比2小的无理数.

12.已知函数），=（hl）x-l,若）'随x的增大而减小，则Z的取值范围为.

13.《九章算术》是我国最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵

地，去本三尺，问折者高几何”.译文大意是：“有一根竹子高一丈（十尺），竹梢部分折断，尖端落在地上，竹

尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高”，若设未折断的竹干长为x尺，根据题意可列方程为.

14.已知抛物线yuf+Ax+c的对称轴为直线x=4,点41,乂）、B（3,%）都在该抛物线上，那么必丫2•（填

“>”或“〈”或“=”）.

15.如图，已知菱形ABC。，NA5C=60°,AB=2，点E，点户分别是边45，AO上的动点，AE=DF,

则四边形AECE的面积为.

16.如图，已知RtZSABC中，/ABC=90。，NACB=30。，斜边AC=4,点P是三角形内一动点，则

B4+PB+PC的最小值是

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（2）解方程/_4%-5=0

18.如图，在矩形ABCO中，点E为AD的中点，连接3E和CE,求证：△ABE^ZXDCE.

19.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△A2C,

(1)△4BC与△A1BG关于原点0对称，写出△ALBIG各顶点的坐标，画出△AIBCI；

(2)以。为旋转中心将4A8C顺时针旋转90。得4A2B2C2,画出△4282c2并写出△A2&C2各顶点的坐标.

20.已知关于x一元二次方程X2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根

(1)求k取值范围；

(2)若此方程的两实数根x「X2满足(x「1)c2-1)=5,求k的值

21.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示

X0123

y0-3-4-3m

(1)"?=:并在如图所给的平面直角坐标系中画出该抛物线；

(2)若直线/与两坐标轴分别交于点(3,0)和(0,-3),请直接写出抛物线在直线上方时对应的x的取值范围.

22.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合

实践活动课程中独立出来.某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳

动时间，将数据进行整理并制成如下统计图.

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)求图1中m=,本次调查数据的中位数是h,本次调查数据的众数是

____________h；

(2)该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？

(3)若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.

23.攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优

质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/

每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表

（1）求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出》的取值范围.

（2）设某天销售这种芒果获利〃7元，写出机与售价X之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元，那么这天

芒果的售价为多少元？

24.将抛物线C:y=（x-2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线G向左平移2个单位长度得到抛

物线G.

（2）

（1）直接写出抛物线G，C2的解析式；

（2）如图（1）,点A在抛物线对称轴/右侧上，点8在对称轴/上，043是以。8为斜边的等腰直角三角形,

求点A的坐标；

（3）如图（2）,直线丁=依k为常数）与抛物线。2交于E，尸两点，M为线段所的中点；直线

4

）=一一x与抛物线C,交于G,H两点，N为线段G4的中点.求证：直线MN

K

经过一个定点.

25.如图I,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形A8C。中，AB=AD，CB=CD问四边形A8CD是垂美四边形吗？请说明

理由;

(2)性质探究：如图1,四边形ABC。的对角线AC、BD交于点0,AC1BD.试证明:

AB2+CD2=AD2+BC2^

(3)解决问题：如图3,分别以的直角边AC和斜边A3为边向外作正方形ACEG和正方形ABDE，连

结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5>求GE的长.

2023-2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟九年级暑假开学考试数学

（数学试卷共4页，25小题；完卷时间：120分钟；满分：150分）

友情提示：请将所有答案填涂在答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1

1.代数式百斤有意义时，x应满足的条件为（）

A.-1B.x>—1C.x<-1D.*W-1

【答案】B

【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解.

【详解】解：由题意可知：X+l>0,

X>-1,

故选：B.

【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题.

2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

启）B

【答案】B

【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180。后，能够与自身完全重合，这样的图形叫

做中心对称图形”

根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选：B.

3.下列对于一次函数），=—3x+2的描述带侯的是（）

A.y随x的增大而减小B.图像经过点（2,4）

C.图像与直线y=3x相交D.图像可由直线y=-3x向上平移2个单位得到

【答案】B

【分析】根据一次函数的性质，一次函数上的点以及交点，一次函数的平移分别判断即可.

【详解】解：A、...），随x的增大而减小，故选项正确，不合题意；

B、当x=2时，），=-3x2+2=4,则图像经过点（2,-4）,故选项错误，符合题意；

C、令-3x+2=3x,则4,，则图像与直线y=3x相交，故选项正确，不合题意；

3

D、y=-3x+2图像可由直线y=-3x向上平移2个单位得到，故选项正确，不合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数上的点以及交点，一次函数的平移，属于一次函数基本知识.

4.初二年级12位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小东已知自己的

成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这12位同学成绩的（）

A.平均数B.众数C.中位数D.方差

【答案】C

【分析】根据中位数的定义判定即可.

【详解】参加歌唱比赛的12位同学成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛，小东要知道自己是否进入决赛，只

要把自己的成绩与中位数进行大小比较，所以需知道12位同学成绩的中位数是多少.

故选：C.

【点睛】此题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用，解题的关键

是中位数在生活中的应用.

5.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A.x+6-9B.x+y=1C.x+—=3D.-2A：2+3X-1=0

x

【答案】D

【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.

【详解】解：A.x+6=9中未知数的指数不是2,故不是一元二次方程，不符合题意；

B.x+y=l中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意;

c.x+-=3,该方程是分式方程，故本选项不合题意；

x

D、一2f+3x—1=0,该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5

个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方

程”.

6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为()

A.q人B.1。人C.11人D.12人

【答案】C

【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为3次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即

2

可得出答案.

【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：

1、

—X(x-1)=55,

2

化简得：x2-x-l10=0,

解得：XI=1LX2=-10(舍去)，

故答案为C.

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

7.对于抛物线y=—2(x—l)2+3,下列判断正确的是()

A.抛物线的开口向上B,抛物线的顶点坐标是(-1,3)

C.对称轴为直线x=lD.当x=3时，y>()

【答案】C

【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论.

【详解】解：A、•••—2V0,.•.抛物线的开口向下，本选项错误，

B、抛物线的顶点为(1,3),本选项错误，

C、抛物线的对称轴为：x=l,本选项正确，

D、把％=3代入y=-2(x-l)2+3,解得：y=-5<0,本选项错误，

故选：c.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论.

8.如图，在AABC中，ZB=40°,将AABC绕点A逆时针旋转，得到aADE,点D恰好落在直线BC上，则旋转

角的度数为（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【分析】利用旋转的性质得到△ABCgaADE,根据全等三角形的性质可知AB=AD,进而得到NADB=NB=40°,

再利用三角形内角和定理即可解答.

【详解】：将^ABC绕点A逆时针旋转，得到4ADE

.,.△ABC^AADE

AAB=AD

...NADB=NB=40°

VZADB+ZB+ZBAD=180°

/.ZBAD=180°-40°-40°=100°

故选D

【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相

关性质定理是解题关键.

9.下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

【答案】D

【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.

【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；

对角线相等的菱形是正方形，正确；

对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形；

可知选项D是错误的.

故选：D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是

要熟悉课本中的性质定理.

10.将二次函数y=x2-5x-6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图

象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）

A.-卫或-12B.-m或2C.-12或2D.-竺或-12

444

【答案】A

【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b,将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置

时，两个图象有3个交点，即可求解.

【详解】如图所示，过点B的直线y=2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与

新抛物线也有三个公共点，

令y=x2-5x-6=0,解得：x=-l或6,即点B坐标（6,0）,

将一次函数与二次函数表达式联立得：x2-5x-6=2x+b,整理得：x2-7x-6-b=0,

73

△=49+4（-6-b）=0,解得：b=------,

4

当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y=2x+b得：0=12+b,解得：b=-12,

73

综上，直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为-12或-亍；

4

故选A.

【点睛】

本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过

画图，确定临界点图象的位置关系.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.

11.写出一个比1大且比2小的无理数.

【答案】答案不唯一，如、历、G等

【分析】根据无理数的大小比较和无理数的定义写出范围内的一个数即可.

【详解】解：一个比1大且比2小的无理数有白等，

故答案为：答案不唯一，如四、6等.

【点睛】本题考查了对估算无理数和无理数的定义的应用，注意：答案不唯一.

12.已知函数y=(hl)x-l,若y随x的增大而减小，则”的取值范围为.

【答案】k<\

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得结论.

【详解】解：•••一次函数产(hl)x-l,y随x的增大而减小，

：.k<\.

故答案为：k<\.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握一次函数的性质.

13.《九章算术》是我国最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵

地，去本三尺，问折者高几何”.译文大意是：“有一根竹子高一丈(十尺)，竹梢部分折断，尖端落在地上，竹

尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高”，若设未折断的竹干长为x尺，根据题意可列方程为.

【答案】x2+32=(10-x)2

【分析】根据勾股定理即可得出结论.

【详解】设未折断的竹干长为x尺，

根据题意可列方程为：x2+32=(10-x)2.

故答案为X?+32=(10—X)2.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题

常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

14.已知抛物线、=/+笈+，的对称轴为直线；(;=4,点41,%)、8(3,%)都在该抛物线上，那么Xy2.(填

“>”或“〈”或“=”).

【答案】>

【分析】因为抛物线的对称轴为直线x=4,根据二次函数的性质即可判断M>为・

【详解】解：抛物线了=/+法+，的图象的对称轴为直线x=4,

...当x<4时，y随x的增大而减小，

V1<3<4,

二M〉必•

故答案为：>.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

15.如图，已知菱形ABC。，NA3C=60°,AB=2，点£，点尸分别是边AB，AD上的动点，AE=DF,

则四边形AECE的面积为.

【答案】G

【分析】连接AC，证明,ACE且二。CE(SAS),得出SACE=S℃F，再利用四边形AECE的面积=S即

可得出答案.

【详解】解：连接AC,如图,

四边形A8CD为菱形，ZABC=^°

."ABC和.ACD都是等边三角形，

/B4C=/£)=60。，AC=CD=2,

在AACE和_ZXT中

AE=DF

<ZEAC=NFDC

AC=DC

:._ACEWDCF(SAS),

•・•°qACE~_°qDCF'

二•四边形AEC77的面积=SAEC+SACF=SDCF+SACF=SACD=6,

故答案为：y/3-

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，将四边形A£b的面积转化为S,A。是解题的关

键.

16.如图，已知RQABC中，ZABC=90°,NACB=30。，斜边AC=4,点P是三角形内的一动点，则%+PB+PC

的最小值是.

【答案】277

【分析】将△2CP绕点8顺时针旋转60。得到△8”G,连接尸H,AG,过点G作A8的垂线，交A8的延长线于

N.证明△~阳是等边三角形，得PH=BP，所以Q4+P8+PC=Q4+P〃+HG,推出当A,P,G,ff共

线时，以+P8+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可.

【详解】解：将aBCP绕点8顺时针旋转60。得到△B"G,连接PH,AG,过点G作48的垂线，交A8的延长线

于N,如图，

人

N---------'G

•：ZABC=90°,ZACB=30°,AC=4

AB=2,

由勾股定理得：BC=4AC2-AB2=273

：将ABCP绕点B顺时针旋转60。得到AB/ZG,

：./\BPC=^BHG

:.BP=BH,NPBH=60,HG=PC,BC=BG=26,NPBC=/GBH

...△PB"是等边三角形，

:.PH=BP

：.PA+PB+PC=PA+PH+HG

当点A,点P,点G,点”共线时，B4+PH+HG有最小值，最小值为4G,

■:ZABP+ZPBH+ZGBH=ZABP+ZPBC+NCBH=150"

，NABG=150°

•••ZGBN=30"

•:GN±AB

：.GN=LBG=LX26=6,

22

由勾股定理得，BN=YBG?-NG?=J(26)2_(6)2=3

，AN=AB+BN^2+3=5

•<-AG=yjAN2+NG2=J25+3=2/

Z.PA+PB+PC最小值为2J7

故答案为：2j7

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅

助线，用转化的思想思考问题.

三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)计算：V12

⑵解方程f一4x—5=0

【答案】(1)12；(2)西=5,x2=-l.

【分析】(1)先把二次根式化简，再合并同类二次根式，最后作乘法;

(2)利用因式分解法求解.

=2导26

=12；

(2)X2-4X-5=0«

因式分解得(x-5)(x+l)=0,

Ax-5=0,无+1=0,

♦♦%=5,x2=—1.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握运算法则和因式分解法.

18.如图，在矩形ABC。中，点E为A。的中点，连接BE和CE,求证：AAB^ADCE.

【答案】见解析

【分析】根据矩形的性质得出A8=OCNA=NO,根据点后为AD的中点，得出AE=OE，进而根据SAS,

即可证明AABE^ADCE.

【详解】证明：..•在矩形ABC。中，点£为A£＞的中点，

/.AB=DC,ZA=ZD,AE=DE，

：.AABE名△OCE(SAS).

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关

键.

19.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC,

(1)△ABC与关于原点。对称，写出△4BiG各顶点的坐标，画出△AIBICI；

(2)以0为旋转中心将△ABC顺时针旋转90。得4A282c2,画出△A2&C2并写出△A2B2c2各顶点的坐标.

【答案】(1)4(2,-3),Bi(4,-1),Ci(1,-2),作图见解析：(2)作图见解析，

A2(3,2),&(1,4),C2(2,1).

【分析】(1)根据关于原点对称的点的特点，求出A、8、C的坐标，然后连线即可;

（2）根据旋转的性质，先确定各已知点的坐标与原点的位置关系，然后找到旋转90。位置即可求解.

-2),△ABiG如图;

(2)ZVUB2c2如图，A2(3,2),&(1,4),C2(2,1).

【点睛】此题主要考查了中心对称的性质和旋转变换的性质，明确关于原点对称的点的特点和旋转变换的点的特

点是解题关键.

20.已知关于x的一元二次方程X?-（2k—l）x+k2=O有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根A%满足（x「l）（x2-l）=5,求k的值

【答案】（1）k<—；（2）k=-1

4

【分析】（1）利用判别式的意义得到4=（2k-l）2-4k2>0,然后解不等式即可：

（2）根据根与系数的关系得到Xi+X2=2k-1,XlX2=k2,再根据（X1T）（X2-1）=5得到k2-（2k-l）+1=5,然

后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值.

【详解】解：（1）根据题意得△=（2k-l）2-4k2>0,

解得k<,；

4

(2)根据题意得xi+x2=2kT,xiX2=k2,

V(xi-1)(X2-1)=5,

/•X1X2-(X1+X2)+1=5,

即k2-(2k-l)+1=5,

整理得k2-2k-3=0,解得ki=-l,k2=3,

k-1.

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的两根时;xi+x2=--,

a

X1X2=-.也考查了根的判别式.

a

21.已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示

X-i0123

y0-3-4-3in

(1)；并在如图所给的平面直角坐标系中画出该抛物线；

(2)若直线/与两坐标轴分别交于点(3,0)和(0,—3),请直接写出抛物线在直线上方时对应的x的取值范围.

【答案】(1)m=07画图见解析

(2)xvO或x>3

【分析】(1)根据表格得到顶点坐标，设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4,将表格中的数据代入，求出〃值，得

到表达式，再令x=3,求出y值，可得血，再画出函数图像；

(2)根据图像直接可得结果.

【小问1详解】

解：由表可知：抛物线的顶点坐标为(1,T),

二设抛物线表达式为y=a(x-1)2—4,

将(0,-3)代入，得:-3=00—1)2-4,

解得：4=1,

，抛物线表达式为y=(%-if-4,

令x=3,则y=0,即加=0；

画图如下：

由图可知：抛物线在直线上方时对应的x的取值范围是x<()或x>3.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给

定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数与不等式的关系.

22.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合

实践活动课程中独立出来.某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳

动时间，将数据进行整理并制成如下统计图.

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

(1)求图1中的根=,本次调查数据的中位数是h,本次调查数据的众数是

____________h；

(2)该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？

(3)若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.

【答案】(1)25,15,15

(2)此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时

(3)估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人

【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出加的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解;

（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解：

（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解.

【小问1详解】

10

解:m0/ox100%=25%

4+8+15+10+3

m-25>

中位数为第20与21个数的平均数，即誓.

由条形统计图可知，众数为15,

故答案为：25,15,15；

【小问2详解】

解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是」-x

(4x1+8x2+15x3+10x4+3x5)=3小时,

40

答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时;

【小问3详解】

解：2000X15+10+3=1400（人）

40

答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得

到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小.

23.攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优

质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在

一天内的销售量》（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系.

销售量y（千克）32.53535.538

售价x（元/千克）27.52524.522

(1)求芒果一天的销售量y与该天售价x之间的一次函数关系式，写出x的取值范围.

(2)设某天销售这种芒果获利加元，写出加与售价X之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元，那么这天

芒果的售价为多少元？

【答案】(1)y--x+60(15<x<40)

(2)w=-x2+70x-600,20元

【分析】(1)设一次函数关系式为丁="+。伏工0),由待定系数法求得答案即可.

(2)先根据利润等于销售量乘以每千克的利润得出加关于x的二次函数，再根据水果店该天获利400元，可得关

于x的一元二次方程，解得x的值，然后结合x的取值范围即可得出答案.

小问1详解】

解：设一次函数关系式为了=区+仅％。0),将表中数据代入得：

’25左+。=35

'22左+8=38’

k=—]

解得：i

[b=6Q

y——x+60(15<x<40).

【小问2详解】

解：由题知m=y(x-10)

=(-x+60)(x-10)

=*+7(k-6()()，

•••当加=400时，一/+7()x-600=400，

整理得：JC2-7()x+1000=0，

解得：为=20,%2=50.

15<x<40,

x=20.

这天芒果的售价为20元.

【点睛】本题考查r待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用及一元二次方程的应用，熟练

掌握待定系数法、二次函数的性质及一元二次方程的解法是解题的关键.

24.将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线G，再将抛物线G向左平移2个单位长度得到抛

物线

(1)直接写出抛物线G，C2的解析式；

(2)如图(1),点A在抛物线对称轴/右侧上，点3在对称轴/上，。46是以0B为斜边的等腰直角三角形，

求点A的坐标；

(3)如图(2),直线丁=履k为常数)与抛物线G交于E，尸两点，M为线段所的中点；直线

4

)=一,》与抛物线。2交于6,〃两点，N为线段GH的中点.求证：直线MN经过一个定点.

K

【答案】(1)抛物线G解析式为：y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；(2)点A的坐标为(5,3)或(4,

-2)；(3)直线MN经过定点(0,2)

【分析】(1)根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即

可；

(2)先判断出点A、B、0、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到NBDA=/BOA=45。，从而证出

△D4C是等腰直角三角形.设点A的坐标为(x,x2-4x-2),把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用

DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；

(3)根据直线丁=乙(左HO，Z为常数)与抛物线。2交于E，尸两点，联立两个解析式，得到关于X的一元

二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求

出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可.

【详解】解：(1)•抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线G，再将抛物线向左平移2个单

位长度得到抛物线。2，

.•.抛物线的解析式为：y=(x-2p6,即y=x2-4x-2,

抛物线。2解析式为：y=(x-2+2)2-6,即y=x?-6.

(2)如下图，过点A作ACJ_x轴于点C,连接AD,

：是等腰直角三角形，

AZBOA=45",

XVZBDO=ZBAO=90°,

点A、B、0、D四点共圆，

.,,ZBDA=ZBOA=45°,

AZADC=900-ZBDA=45°,

•••△ZMC是等腰直角三角形，

，DC=AC.

•.•点A在抛物线C,对称轴I右侧上，点B在对称轴I上,

•••抛物线的对称轴为x=2,

设点A的坐标为(x,x2-4x-2),

DC=x-2,AC=x2-4x-2,

x-2=x2-4x-2,

解得:x=5或x=0（舍去）,

，点A的坐标为（5,3）；

同理，当点B、点A在x轴的下方时，

x-2=-（x2-4x-2）,

x=4或x=-l（舍去），

，点A的坐标为（4,-2）,

综上，点A的坐标为（5,3）或（4,-2）.

（3）,・,直线y=丘（%。0,%为常数）与抛物线G交于E，F两点，

y=kx

=i-6

:.x2-kx-6=0,

设点E的横坐标为XE,点F的横坐标为XF,

XE+XF=k,

工中点M