2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省湛江市雷州二中高二(上)开学数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共56.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列命题正确的个数是()

(1)向量就是有向线段；

(2)零向量是没有方向的向量；

(3)零向量的方向是任意的；

(4)零向量的长度为0.

A.1B.2C.3D.4

2.如图所示，已知4D,BE分别为AABC的边BC,4c上的中线，AD=a，诋=&

则就=()/

A4fl2H

A.—ct-b

B.1a+^b

C.|a-|b

D.-ja+^b

3.在△ABC中，已知边长BC=10,A=30°,B=45。，则边长4c等于（）

A.20nC.10。D*

4.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为()/^丁~7

A.三棱锥/[\

B.四棱锥--一

C.四棱柱

D.平行六面体

5.如图，在三棱锥P-ABC中，P4_L平面ABC,BCLAC,则图中直角三角形的个

数为()

A.4A……ZB

D.1

6.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据，则所得

新数据的平均数和方差分别是（）

A.57.23.6B.57.256.4C.62.863.6D.62.83.6

7.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在［60,70）的汽车大约有（）

8.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为之，p则此密码能译出的概率是（）

A.白B.|C.|D.

605560

二、多选题（本大题共4小题，共28.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列四个命题中正确的是（）

A.若事件4,B是互斥事件，则4B是对立事件

B.若事件A,B是对立事件，则A,B是互斥事件

C.若事件4是必然事件，则PQ4）=1

D.若事件4B是互斥事件，则PQ4UB）=1

10.若a,beR,且（a+i）i=b+i,则（）

A.a=1B.a=-1C.b=1D.b=-1

11.如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气

质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是（）

A.该市14天空气质量指数的平均值大于100

B.该市14天空气质量指数的中位数为78.5

C.该市14天空气质量指数的30百分位数为55

D.计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

12.如图，正方体ABCD-AiBiGDi的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A.两条异面直线。传和BCi所成的角为*

B.直线BC与平面ABC15所成的角等于称

C.点。到面北劣的距离为?

D.三棱柱44D1-BBiCi外接球半径为?

三、填空题（本大题共4小题，共28.0分）

13.某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72,120,160,为了解该医院医生的出诊情况，

按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20,则抽取老年医生的人

数为.

14.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）78,70,72,85,88,79,80,81,94,81,56,

98,83,90,91.则这15人成绩的第80百分位数是.

15.若平面anS=1,直线aua,直线anb=M,则点M与1的位置关系为.

16.如图，某登山队在山脚4处测得山顶B的仰角为45。，沿倾斜角为30。的斜坡前进2千B

米后到达。处，又测得山顶B的仰角为75。，则山的高度8c为千米.

四、解答题(本大题共3小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

己知平面向d=(1,-2),(-1,-1).

⑴求12a—山的值：

(2)若向量占+4坂与2益-3夹角为也求实数4的值.

18.(本小题12.0分)

某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生4、人2、人3,2名女生当、B2,现从中随机抽取2名学生参加

比赛.

(1)问共有多少个基本事件(列举说明)？

(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？

19.(本小题14.0分)

如图，该几何体是由圆柱和三棱锥E-4BC组合而成的，四边形4。。送1为轴截面，BC是圆。的直径，EAi.

平面ABC,AD=2,AB=AC,AE=2,BC=4.

(1)求证：4C垂直B,D,E所确定的平面.

(2)求该几何体的表面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故(1)错误；

因为零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故(2)错误，(3)正确；

长度为0的向量叫做零向量，故(4)正确，所以正确的有2个.

故选：B.

由零向量的概念直接判断即可.

本题考查零向量的概念，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：根据图形得舐=菸+配=布+:前=3+:(初+配)=9+:苍+：豆？，所以元=|五+

22,,243

声

故选：D.

BC=BE+EC=BE+|^C=b+^(AD+DC')=b+^a+；后乙以此可求得近.

本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：直接利用正弦定理：%=黑，解得：4C=H?W=10，N.

smAsinB1

2

故选：c.

直接利用三角函数的值和正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥.

故选：B.

根据棱锥的定义判断即可.

本题主要考查几何体的展开图，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由PAJ■平面ABC,AB,AC,BCu平面ABC,

可得P4J.AB,PAIAC,PA1BC,

又BC_LAC,PACtAC=A,

可得8c1平面PAC,

而PCu平面H4C,可得BC1PC,

所以AABP,t^ACP,^ABC,A8CP均为直角三角形.

故选：A.

由线面垂直的判定和性质可得结论.

本题考查线面垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：设这组数据分别为力，％&，则亍=；（与+外+•♦•+%）=2.8,

22

方差为$2=^［（X1-%）+-­­+（Xn-X）］,

每一组数据都加60后，

-1_

fx

x=~（i+%2---hxn+60n）=%+60

=2.8+60=62.8,

2

方差s'2=1［（X1+60-62.8产+（孙+60-62.8）2+…+（孙+60-62.8）］

1

=-K-—.2+…+（Xn-元）2］

=3.6.

故选：D.

首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方

差的表示式，两部分进行比较，得到结果.

本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘

以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变.应作为性质记忆.

7.【答案】D

【解析】解：由图得：时速在［60,70）的频率为0.04x10=0.4.

所以时速在［60,70）的汽车大约有：0.4x200=80辆.

故选：D.

先求出时速在［60,70）的频率值，再乘以中数；即可得到时速在［60,70）的汽车大约有多少辆.

本题考查频率分布直方图的相关知识.直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1

8.【答案】C

【解析】解：•••甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为3P

534

•••此密码不能译出的概率(1一》(1一3(1一》=|,

故此密码能译出的概率P=1—3|,

故选：C

此密码能译出是此密码不能译出的对立事件，求出此密码不能译出的概率，利用对立事件的概率减法公式

可得答案.

本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率减法公式，

难度不大，属于基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4互斥事件不一定是对立事件，A错误；

对于8,对立事件一定互斥，B正确;

对于C,若事件4是必然事件，则P(4)=l,C正确；

对于D,当事件4,B是对立事件时，P(4UB)=1,力错误；

故选：BC.

根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.

本题考查互斥事件和对立事件，注意两者的联系与区别，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：因为(a+=—1+Qi=b+i,

所以《工

故选：AD.

根据复数的乘法运算和复数相等的定义计算即可.

本题主要考查复数相等，属于基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：由表中数据可得，1=(122+102+…+55+52)"87,

则该市14天空气质量指数的平均值小于100,故A错误，

将14天的空气质量指数由小到大排列为：

33,38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163,

则该市14天空气质量指数的中位数为：誓=78.5,故8正确,

14x30%=4.2,

则该市14天空气质量指数的30百分位数为55,故C正确，

对于D,由图象可知，连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的波动最大，即方差最大，故。正确.

故选：BCD.

根据已知条件，平均值，中位数，30百分位数，方差的定义，即可求解.

本题主要考查频率分布折线图的应用，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】解:连接47、也,

•••且ZB=C/i，则四边形力BCWi为平行四边形，

••・异面直线D】C和BG所成的角为N4D1C,

AC=ADX=DrC,则△力CD1为正三角形，即乙4O1C=*A不正确：

连接&C,在正方形BBiQC中，BC11BC

ABJ•平面BBiGC,BiCu平面BBiGC,

：.AB1BXC,又ABnBG=B,则B1C1平面ABGD1，

•••直线BC与平面ABGDi所成的角为NCBCi=1，B正确;

根据等体积转换可知力TCD1=VD1-ACD>

即gX/lX；xXX?=；X1X；X1X1，则/l=?,C正确;

三棱柱441D1-BB1G的外接球即为正方体力BCD—481GD1的外接球,

则外接球的半径即为正方体力BCD-&B1C1D1体对角线的一半，

即/?=号，。正确.

故选：BCD.

对于4根据条件，可得异面直线DiC和BG所成的角为乙45C,然后求出乙即可；对于B：可证/C1平

面4BG5，则直线BC与平面ABGD1所成的角为NCBG；对于C：根据等体积转换力-女名=，求点

。到面AC。1的距离；对于。：三棱柱441劣-BBiG的外接球即为正方体4BCD的外接球，直接

求正方体外接球的半径即可.

本题主要考查了空间角、空间距离的计算，几何体的外接球问题，属于中档题.

13.【答案】9

【解析】【分析】

本题考查分层抽样，属于基础题.

根据抽样比相等列方程求解.

【解答】

解：设抽取老年医生的人数为x人，则舄=瞪，解得x=9.

ILlOU

故答案为：9.

14.【答案】90.5

【解析】解：把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,81,83,85,88,90,91,94,

98,

因为15x80%=12,所以这15人成绩的第80百分位是史罗=90.5.

故答案为：90.5.

由样本数据第80百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案.

本题考查百分位数的定义，是基础题.

15.【答案】MeI

【解析】解：因为aflb=M,

所以Me直线a,M6直线b,

因为直线aua,直线bu0,

所以Me平面a,MW平面0,

又平面afl/?=I,

所以"eI.

故答案为：Me/.

根据基本事实3(公理2)求解即可.

本题考查平面的基本性质，属于基础题.

16.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查利用正弦定理解决高度问题，属于较易题.

由题意可得4AD8、NAB。、AD,利用正弦定理求出4B,解三角形求出山的高度8C.

【解答】

解：由题意得，^DAC=30°,ABAC=45°,Z.ADE=150°,乙BDE=75°,

所以=ABAC-ADAC=15°,4ADB=360°-乙ADE-乙BDE=135°,

所以NAB。=180°-4BAD-4ADB=30°,

在△480中，4。=2千米，Z.ABD=30°,Z.ADB=135°,

由正弦定理得一条=—冬，

smZJlDfismz.ABD

所以AB=处叱詈=窣=2小千米，

sm^.ABD1

2

所以BC=ABsin45°=2。x?=2千米.

故答案为：2.

17.【答案】解:(l)v3=(l,-2),h=(-1,-1).

*,•2o,—b=2(1,—2)—(—1,—1)=(3,-3)•

|2a-b|=V32+(-3)2=3<7.

(2)由题意知:a+Xb=(l-A,-2-X)>2a-K=(3,-3).

a+高与2五-3夹角为3.

(a+Ab)(2a-b)=|a+Ab112a-K|cos=(1-A)x3+(-2-A)x(-3)=

J(]_4)2+(-2—4)2x3A/-2x

解得：A=1或;I=-2.

【解析】(1)直接根据向量的模长公式求解即可.

(2)根据向量的夹角公式构造方程，求解即可.

本题主要考查向量的模长公式和数量积公式，属于基础题.

18.【答案】解:（1）（公,42）、（五人）、（4]&）、（4,%）、（阳人）、（&，/）、（出12）、（①㈤、⑸应）、

（瓦殳）共10个;

（2）记事件”抽取的学生恰有一男生一女生”为A,则4包含基本事件（4,&）、（4,B2）、缶2，%