曲线与方程讲义(一)学生讲义

曲线和方程(一)教学目标教学知识点：曲线的方程、方程的曲线.能力训练要求:会用曲线与方程的概念直接比拟简单的曲线和方程的关系.德育渗透目的:渗透数形结合思想、辨证思想.教学重点：理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.教学难点：对“曲线的方程”和“方程的曲线”的对应关系的理解.教学方法：启发引导法.教学过程情境设置：1、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系X-Y=0结论：〔1〕L上点的坐标都是方程x-y=0的解〔2〕以方程x-y=0的解为坐标的点都在L上这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.这种一一对应关系完全能推广到平面直角坐标系中的曲线和方程.讲授新课：实例分析:〔1〕方程表示如图的圆，图像上的点M与此方程有什么关系？··0xyM·满足关系：1〕如果是圆上的点，那么一定是这个方程的解2〕如果是的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。〔2〕函数的图象是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线是所有以方程的解为坐标的点组成的.由此可知1)、如果点M(x0,y0)在抛物线上，那么一定有y0=ax02，即(x0,y0)一定是方程的解.2)、如果(x0,y0)是方程的解，即，那么点(x0,y0)一定在这条抛物线上.〔3〕、说明过A〔2，0〕平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系1)、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=22)、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A〔2，0〕平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=22.曲线的方程和方程的曲线的关系：综上可知，一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C〔包括直线〕〔看作适合某种条件的点的集合或轨迹〕上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.由曲线的方程的定义可知：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.理解：〔1〕“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”说明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上的所有点都符合这个条件而毫无例外〔纯粹性〕.〔2〕“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏〔完备性〕.同时具备上述两个性质，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，说明了曲线与方程的一一对应关系.思考：1、判断以下结论的正误并说明理由〔1〕过点A〔3，0〕且垂直于x轴的直线为x=3〔2〕到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2〔3〕到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=12、以下各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y=110xy-110xy-11-2210xy-11-221典型例题分析：【例1】如果曲线C上的点满足方程F(x,y)=0，那么以下说法正确的选项是〔〕A曲线C的方程是F(x,y)=0B方程F(x,y)=0的曲线是CC坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在C上【例2】证明圆心为坐标原点半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3,-4)、M2是否在这个圆上.练习：证明与两坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是归纳:证明曲线的方程的方法和步骤第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上〔三〕课时小结：在轨迹的根底上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的根底。〔四〕课后作业：1．以下各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()A．y＝eq\r(x)与y2＝xB．y＝x与eq\f(x,y)＝1C．y2－x2＝0与|y|＝|x|D．y＝lgx2与y＝2lgx2．如图中方程表示图中曲线的是()ABCD3．假设P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，那么a的值为________．4．方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(eq\r(2)，3)是否在此