《线性代数（经管类）》复习资料

PAGE1《线性代数（经管类）》复习资料（课程代码：04184）知识点汇总：

1、设都是可逆矩阵，则下列等式不成立的是2、设矩阵，则的特征值为-1，-33、设均是n阶方阵，则必有4、设为阶方阵，且，则的特征值只有0和15、线性方程组只有零解（有唯一解）的充要条件是6、设是可逆矩阵，则7、设为可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵为8、向量空间的维数等于2。9、向量空间的一组基就是向量组的一个极大线性无关组10、二次型是正定二次型11、设，，…，为阶矩阵的行（列）向量组，则向量组，，…，线性相关的充分必要条件是12、若行列式中有两行（列）元素对应相等，则的值为013、已知A相似与，则=-214、=6。15、设为正交阵，则116、17、设3阶矩阵A的行列式|A|=2，则|2A|=1618、设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=0。19、设，则20、，，则AB=。21、求下列线性方程组的通解：解：设和分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵．对施以初等行变换：．于是，方程组有无穷多组解，且原方程组与同解．取，为自由未知量．令，，则得原方程组的一个解．如果自由未知量分别取向量和，那么，得到原方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系：，，从而原方程组的通解为，其中，为任意常数．22、设，，计算和.解：显然，，，所以，从而，23、求矩阵的秩?解：当时，，则；当时，通过初等行变换将化为阶梯形故当时，.24、已知矩阵与相似，求常数和之值，并计算．解：因为与相似，所以与有相同的特征值．根据特征值的性质，得，即．因为，所以，即．因为，和是的所有特征值，所以，和也是的所有特征值．根据特征值的性质，，和是的所有特征值，从而．25、算一下行列式的值设，，求。习题汇总：

（一）一、单项选择题1．若A为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=()。A.15B.60C.405

D.452．设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）。A.|A|=0B.|E+B|=0C.|A|=0或|E+B|=0D.|A|=0且|E+B|=03．若C=AB，则（）。A.A与B的阶数相同;B.A与B的行数相同;C.A与B的列数相同;D.C与A的行数相同。二、计算题4．计算行列式D=。5．计算4阶行列式。6．计算行列式。7．计算行列式D=。三、填空题8．9．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列。10．若，则x=______。11．行列式D=的转置行列式DT=______。12．8级排列36215784的逆序数为τ(36215784)=______。13．若行列式，则x=______。（二）一、单项选择题14．下列命题中正确的是（）。A.任意n个n+1维向量线性相关；B.任意n个n+1维向量线性无关；C.任意n+1个n维向量线性相关；D.任意n+1个n维向量线性无关.15．方阵A满足A3=0，则(E+A+A2)(E-A)=（

）。A.EB.E-AC.E+A

D.A

16．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果ACTB有意义，则C应是（

）矩阵。A.s×nB.s×mC.m×tD.t×m17．设A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（）正确。A.B.C.D.18．设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（

）。A.2B.-2C.D.19．设A是m×k矩阵,B是m×n矩阵,C是s×k矩阵,D是s×n矩阵,且k≠n,则下列结论错误的是（）。A.BTA是n×k矩阵B.CTD是n×k矩阵C.BDT是m×s矩阵D.DTC是n×k矩阵20．设A、B为n阶方阵，则（）。A.B.C.D.AB=O时，A=O或B=O21．设A,B均为n阶方阵,下面结论正确的是（）。A.若A,B均可逆,则A+B可逆B.若A,B均可逆,则AB可逆C.若A+B可逆,则A-B可逆D.若A+B可逆,则A,B均可逆22．当（）时，A=是正交阵。A.a=1,b=2,c=3B.a=b=c=1C.D.23．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（）。A.A=0B.A3=0C.R(A)=0D.R(A)=324．在下列命题中，正确的是（）。A.B.若AB，则；C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；D.25．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1=（

）。A.AA*B.|A|A*C.；D.A'A*26．矩阵A的秩为r，则知（）。A.A中所有r阶子式不为0；B.A中所有r+1阶子式都为0；C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；D.r-1阶子式都为0。27．A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（

）。A.|A|；B.1；C.|A|n-1D.|A|n+128．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（）。A.|A|≠0B.A＝OC.|A|＝0D.A≠0二、计算题29．设,解矩阵方程AX=B。30．31．解矩阵方程XA=B，其中.求X。32．判断矩阵是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。三、填空题33．，当t=______时，R(A)=2。34．设A=，则A-1=______。35．若A=，则R(A)=______。36．设A=，则A-1=______。37．若A=，则R(A)=______。38．39．设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝______。40．A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=______。四、证明题41．若A是可逆的对称矩阵，则A-1也是对称矩阵；若A是可逆的反对称矩阵，则A-1也是反对称矩阵。42．设A,B为r阶矩阵，且，证明：A2=A成立的充要条件是B2=E。（三）一、单项选择题43．A.解向量B.基础解系

C.通解

D.A的行向量44．设α1,α2,α3是AX=B的三个线性无关的解,其中A是秩为1的4×3矩阵,B是4维列向量，则下列（）是AX=O的基础解系。A.α1+α2+α3B.α1+α2－2α3C.α1，α2，α3D.α2－α1，α3－α245．如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（）。A.相等；B.所含向量的个数相等；C.不相等；D.秩相等。46．t满足（）时，线性无关。A.t≠1；B.t=1；C.t≠0；D.t＝0.47．设

α1,α2,…,αs为n维向量组,且秩R(α1,α2,…,αs)=r，则（）。A.该向量组中任意r个向量线性无关；B.该向量组中任意r+1个向量线性相关；C.该向量组存在唯一极大无关组；D.该向量组有若干个极大无关组.48．如果两个同维的向量组可以相互线性表示,则这两个向量组（）。A.相等B.所含向量的个数相等C.不相等D.秩相等49．n维向量组α1,α2,…αs（3≤

s≤

n）

线性无关的充要条件是α1,α2,…αs

中（

）。A.任意两个向量都线性无关B.存在一个向量不能用其余向量线性表示C.任一个向量都不能用其余向量线性表示D.不含零向量二、计算题50．求非齐次线性方程组的解，若有无穷多解时，用基础解系表示其一般解。51．求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。52．求齐次线性方程组的通解。53．求解线性方程组。三、填空题54．线性方程组的系数满足______时，方程组有唯一解.55．设向量组，，，，则向量组α1,α2,α3,α4线性_______（填线性相关或线性无关）。56．k满足______时，线性方程组只有零解。57．单独一个零向量必线性_______，单独一个非零向量必线性_______。58．设α=(1

10),β=(0

30),γ=(120),则3α+2β-4γ=_______。59．设γ1,γ2是非齐次线性方程组AX=B的两个解，η是齐次线性方程组AX=O的解，则γ1-η是______的解，γ1-γ2是______的解.四、证明题60．设向量组α1,α2,α3线性无关，证明：向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。61．如α1,α2,α3,…αt向量组线性无关，试证明：向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3,…,α1+α2+…+αt线性无关。（四）一、单项选择题62．对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是（）。A.两矩阵的特征值相同；B.两矩阵的秩相等；C.两矩阵的特征向量相同；D.两矩阵都是方阵。63．设λ=-3是方阵A的一个特征值，则A可逆时，A-1的一个特征值是（）。A.-3B.3C.D.64．两个n阶矩阵A与B相似的，是指（）。A.PAP-1=BB.QTAQ=BC.Q-1AQ=BD.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）65．A.1

B.-1

C.2

D.-2

66．当A是正交阵时，下列结论错误的是（）。A.A-1=ATB.A-1也是正交阵C.AT也是正交阵D.A的行列式值一定为167．设λ=－4是方阵A的一个特征值,则矩阵A－5E的一个特征值是（）。A.1B.－9C.－1D.9二、计算题68．设，求A的特征值及对应的特征向量。69．设，求A的特征值及对应的特征向量。70．71．求矩阵的特征值和特征向量。一、单项选择题72．一个四元正定二次型的规范形为（）。A.（五）B.C.D.二、计算题73．化二次型

f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+8x2x3为标准型。74．将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。75．将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。三、填空题76．二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3的二次型矩阵为_______。77．二次型

f(x,y)=x2-4xy+y2

的系数矩阵是

。78．当

t满足条件______，使二次型f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。79．二次型f(x,y)=2x2-xy-y2的系数矩阵是______。参考答案（一）一、单项选择题1.C2.C3.D二、计算题4.5.6.7.解：三、填空题8.49.7，210.511.DT=12.1013.-5（二）一、单项选择题14.C15.A16.C17.D18.C19.B20.A21.B22.C23.B24.D25.C26.B27.C28.A二、计算题29.30.解：所以。31.32.解：因为，所以可逆。所以。三、填空题33.-434.35.236.37.338.39.12840.四、证明题41.证明：因为AT=A，那么(A-1)T=(AT)-1=(A)-1,所以A-1也是对称矩阵。因为AT=-A,那么(A1)T=(AT)1=(-A)1=-A1,所以A-1也是反对称矩阵。42.证明：由又故B2=E,从而A2=A等价于B2=E。（三）一、单项选择题43.A44.D45.D46.A47.B48.D49.C二、计算题50.增广矩阵为：，所以对应的齐次方程的通解为：；非齐次方程的特解为：。所以原方程的通解为：。51.所以一个极大无关组为，且。52.解:，53.三、填空题54.ad≠bc55.线性相关56.k≠－2且k≠157.相关，无关58.(-1

1

0)59.AX=B，AX=O四、证明题60.61.证明：假设向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+

…+αt线性相关，那么存在不全为0的数k1，k2，…kt，使得：k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+

…+αt)=0，所以：k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+

…+ktαt=0；即：（k1+k2+…+kt）α1+(k2+…+kt)α2+……+ktαt=0。因为向量组α1,α2,α3,…αt

线性无关，所以：k1+k2+…+kt=0，k2+…+kt=0，……，kt=0，所以k1=k2=…=kt=0矛盾。故向量组α1,α1+α2,…,α1+α2+

…+αt线性无关。（四）一、单项选择题62.C63.C64.C65.C66.D67.B二、计算题68.特征值λ1＝λ2＝λ3＝1.对于λ1＝1，，特征向量为69.解：特征值λ1＝5，λ2＝λ3＝－1.对于λ1＝5，，特征向量为对于λ2＝-1，，特征向量为.70.解：由，得A的特征值为：。当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。当时，齐次方程组为,由，解得基础解系为

所以A的属于特征值的全部特征向量为。71.解：由，得A的特征值为：。当时，齐次方程组为,解得基础解系为，所以A的属于特征值的全部特征向量为。当时，齐次方程组为,解得基础解系为

所以A的属于特征值的全部特征向量为。（五）一、单项选择题72.D二、计算题73.解作变换即则变为为其标准形.74.解：75.解：由于中无平方项，故令，代入二次型，得三、填空题76.77.78.79.（六）第一大题：单项选择题1、设行列式=1,=2,则=(

D

)A.—3B.—1C.1D.32、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（

B）

A.—1B.C.D.13、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=__B__A.B.C.D.4、设A为2阶可逆矩阵，且已知

=

，则A=（D）A.B.C.D.5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（A）A.A的列向量组线性无关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的行向量组线性相关6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（A）A.B.C.D.7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3则||=

(

A

)A.B.C.7D.128、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（A）A.B.C.D.9、二次型

的矩阵为（C）A.B.C.D.10、设A为三阶方阵且|A|=-2,则（D）A.—108B.—12C.12D.10811、如果方程组有非零解,则k=（B

）A.—2B.—1C.1D.212、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）A.AB=BAB.C.D.13、设A为四阶矩阵，且|A|=2

则（C）A.2B.4C.8D.1214、设可由向量=（1，0，0）=（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是(

B

)A.（2，1，1）B.（—3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,—1,0）15、向量组的秩不为S（）的充分必要条件是（

C

）A.全是非零向量B.全是零向量C.中至少有一个向量可以由其它向量线性表出D.中至少有一个零向量16、设A为矩阵，方程=0仅有零解的充分必要条件是（C）A.的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关17、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）A.|A|=|B|B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P—1AP=BD.E-A=E-B18、与矩阵A=相似的是（

A

）A.B.C.D.19、设有二次型则（

C）A.正定B.负定C.不定D.半正定20、设行列式D==3，D1=，则D1的值为（C）A.—15B.—6C.6D.1521、设矩阵=，则（C）A.a=3,b=-1,c=1,d=3B.a=-1,b=3,c=1,d=3C.a=3,b=-1,c=0,d=3D.a=-1,b=3,c=0,d=322、设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（B）A.B.C.D.23、设A为n阶方阵，n≥2，则|-5A|=（D）A.B.-5|A|C.5|A|D.24、设A=,则=(

B

)A.-4B.-2C.2D.425、向量组,(S>2)线性无关的充分必要条件是(

D

)A.均不为零向量B.中任意两个向量不成比例C.中任意s-1个向量线性无关D.中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示26、设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，n1,n2,n3为方程组的解，n1+n2=(2,0,4)T,n1+n3=(1,-2,1)T,则对任意常数K，方程组Ax=b的通解为（D）A.B.C.D.27、设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（D）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A28、设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（A）A.B.C.2D.429、二次型

的秩为（C）A.1B.2C.3D.430、设3阶方阵A=[,,]，其中（=1,2,3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[+,,]|=（

C

）A.-2B.0C.2D.631、若方程组有非零解，则k=（A）A.-1B.0C.1D.232、设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（C）A.|AB|=|A||B|B.(AB)-1=B-1A-1C.(A+B)-1=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT33、设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（D）A.B.1C.2D.434、已知向量组A：中线性相关，那么（B）A.线性无关B.线性相关C.可由线性表示D.线性无关35、向量组的秩为r，且r<s，则（C

）A.线性无关B.中任意r个向量线性无关C.中任意r+1个向量线性相关D.中任意r-1个向量线性无关36、若A与B相似，则（D）A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|37、设，是=b的解，η是对应齐次方程=0的解，则（B）A.B.C.D.38、下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（

D

）A.B.C.D.39、设A=，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（

B

）A.正定B.负定C.半正定D.不定40、3阶行列式=中元素的代数余了式=（

C

）A.-2B.-1C.1D.241、答案：AA.B.C.D.42、答案：DA.B.C.D.43、设3阶矩阵A=，则的

秩为（

B

）A.0B.1C.2D.344、设,,,

是一个4维向量组，若已知可以表为,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组,,,

的秩为（

C

）A.1B.2C.3D.445、设向量组线性相关，则向量组中（

A

）A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合46、设是齐次线性方程组=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（

B

）A.B.C.D.47、若2阶矩阵A相似于矩阵B=，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是答案：CA.B.C.D.48、答案：DA.B.C.D.49、若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（

D

）A.0B.1C.2D.350、设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是(

C

)A.B.C.D.51、已知=3，那么=(

B

)A.-24B.-12C.-6D.1252、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是(

C

)A.B.C.D.53、答案：DA.B.C.D.答案：AA.B.C.D.55、若四阶方阵的秩为3，则(

B

)A.A为可逆阵B.齐次方程组Ax=0有非零解C.齐次方程组Ax=0只有零解D.非齐次方程组Ax=b必有解56、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程=0存在非零解的充要条件是(

B

)A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关57、下列矩阵是正交矩阵的是(

A

)A.B.C.D.58、二次型

DA.A可逆B.|A|>0C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于059、设矩阵A=正定，则(

C

)A.k>0B.K0C.k>1D.K1第二大题：填空题1、设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为_____r____.2、设向量,,,则由线性表出的表示为__α1-α3____3、已知3元齐次线性方程组有非零解,则=___2__4、设A为n阶可逆矩阵,已知A有一全特征为2,则必有一个特征值为___1/4___

5、二次型

的秩为____2_____6、若则K=____1/2_____7、设A为

矩阵,且方程组