专题四：不等式（组）的实际应用

PAGE1/9专题四：不等式（组）的实际应用【要点知识回顾】1.在列一元一次不等式（组）解应用题时，设法同列方程解应用题，其一般步骤是：（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：设未知数；（3）列：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系，并根据不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；（4）解：解这个不等式（组），求出解集；（5）答：检验不等式（组）的解集是否合理，是否符合实际情况，写出答案.2.在列不等式（组）解应用题时，有些复杂问题需要列由方程与不等式组成的混合式组.【经典考题解析】例1.洞庭实验学校准备在“五一”黄金周组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社的报价均为400元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠，而乙旅行社则是免去一位带队老师的费用，其余的八折优惠.（1）求人数为多少时，两家旅行社的收费相同？（2）请你通过计算说明：旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少？旅游人数在什么范围时选择乙旅行社费用较少？解析：对于优惠方式不同的旅行社，要达到花费少，又能达到一定程度的旅游效果，关键取决于旅游人数的多少.为此（1）设旅游教师为人时，两家旅行社收费相同，根据题意，得，解得.（2）设旅游教师为人时，甲旅行社收费较少，根据题意，得，解得.设旅游教师为人时，甲旅行社收费较少，根据题意，得，解得.故当人数大于16人时，选择甲旅行社收费较少；当人数小于16人时，选择乙旅行社收费较少.例2.某生产“科学计算器”的公司有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多方考察，发现公司的生产能力受到限制，决定引入一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作，分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20％，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半，试确定分派到新生产线的人数．解析：要想建立分工前后年总产值的关系，除了假设分派x人去新生产线外，显然还需知道分工前人均年产值，故再设分工前人均年产值为a，则由题意，得，解之，得12.5≤x≤16，故x只能是13，14，15，16．因此，分派到新生产线的人数可以是13人或14人或15人或16人．例3.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？解析：（1）设轿车要购买辆，那么面包车要购买辆，由题意得：解得：又∵，则∴购机方案有三种：方案一：轿车3辆，面包车7辆；方案二：轿车4辆，面包车6辆；方案三：轿车5辆，面包车5辆；（2）方案一的日租金为：（元），方案二的日租金为：（元），方案三的日租金为：（元），为保证日租金不低于1500元，应选择方案三.【复习方法指导】1.列不等式（组）解应用题时，要注意抓住关键字眼，如“不少于”、“不低于”、“不多于”、“不高于”、“至少”、“至多”、“不超过”、“不足”等，从题意出发，设好未知数后，要从分析问题的不等量之间的关系入手.2.有一些不等关系，比较隐蔽，我们必须把它挖掘出来.如长方形中长一定要大于宽，三角形中两边之和一定要大于第三边，实际工作中，原材料一定要大于或等于产品用料等.【重点难点专练】1.某火车站购进一种溶质质量分数为20%的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含0.15－0.2%的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20%消毒液稀释时，兑水的比例应该是（）（A）1：99--1:199（B）1:98—1:198（C）1:90—1:190（D）1:100—1:2002.小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸的那一端仍然着地.请你猜一猜小芳的体重应小于（）. （A）49千克 （B）50千克 （C）24千克 （D）25千克3.根据统计分析，个体服装商贩出售时装，只要按进价提高20%就能获利，但老板们常以高出进价的50%～100%标价，假设你准备购买一件标价为150元的时装，应在_____________元的范围内还价.4.在克糖水中含有克糖，现再加入克糖，则糖水变得更甜了．这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式，则这个不等关系式为．5.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有—个小朋友分不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．6.一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2．求x的取值范围．7.小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下．究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳什各得了多少分?8.我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房．如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？9.慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖4人，二等奖6人，三等奖20人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次的奖品相同．（1）若一等奖，二等奖、三等奖的奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费113元，其中购买喷壶的总钱数比购买口罩的总钱数多9元，而口罩的单价比温度计的单价多2元，求喷壶、口罩和温度计的单价各是多少元？（2）若三种奖品的单价都是整数，且要求一等奖的单价是二等奖单价的2倍，二等奖的单价是三等奖单价的2倍，在总费用不少于90元而不足150元的前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品的单价？10.甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同．甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收．顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？11.“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元．（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．12.某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产两种产品50件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350元．（1）请问工厂有哪几种生产方案？（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

参考答案：1.（A）；2.（D）；3.90～120；4.；5.解：设有x人,则苹果有()个.由题意,得.解得:.∵x为正整数∴x=5或6.当x=5时，当x=6时，答：略.6.解：矩形的周长是2(x+10)cm，面积是10xcm2根据题意，得解这个不等式组，得所以x的取值范围是10＜x＜30.7.解：设本场比赛特里得了x分，则纳什得分为x+12由题意,得解得22<x<24.因为x是整数，所以x=23答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分.8.解：设有x间住房，有y名学生住宿.=1\*GB3①=2\*GB3②根据题意，得，把=1\*GB3①代入=2\*GB3②，得08x-5x-128=1\*GB3①=2\*GB3②解得.因为x为整数，所以x可取5，6,把x的值代入=1\*GB3①，得y的值为37，42.答：该校可能有5间或6间住房，当有5间住房时，住宿学生有37人；当有6间住房时，住宿学生有42人.9.（1）设喷壶和口罩的单价分别是y元和z元，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\al(4y+6z+20(z-2)=113,4y-6z=9))解得eq\b\lc\{(\a\al(y=9,z=4.5))所以，z-2=2.5.因此，喷壶、口罩和温度计的单价分别是9元、4.5元和2.5元.（2）设三等奖奖品的单价为x元，则二等奖奖品的单价为2x元，一等奖奖品的单价为4x元.根据题意，得90≤4×4x+6×2x+20x<150解得1eq\f(7,8)≤x<3eq\f(1,8).因为三种奖品的单价都是整数，所以x=2，或者x=3.当x=2时，2x=4,4x=8；当x=3时，2x=6,4x=12.因此，购买一、二、三等奖奖品时它们的单价有两种情况：第一种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是8元、4元和2元；第二种情况中一、二、三等奖奖品的单价分别是12元、6元和3元.10.解：设顾客所购买电器的金额为x元，由题意得： 当0＜x≤500时，可任意选择甲、乙两商场； 当500＜x≤1000时，可选择乙商场； 当x＞1000时，甲商场实收金额为：y甲＝1000＋(x－1000)×0.9（元）乙商场实收金额为：y乙＝500＋(x－500)×0.95（元） ①若y甲＜y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＜500＋(x－500)×0.950.9x＋100＜0.95x＋25－0.05x＜－75 x＞1500所以，当x＞1500时，可选择甲商场． ②若y甲＝y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＝500＋(x－500)×0.950.9x＋100＝0.95x＋25－0.05x＝－75 x＝1500所以，当x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场． ③若y甲＞y乙时，即：1000＋(x－1000)×0.9＞500＋(x－500)×0.950.9x＋100＞0.95x＋25－0.05x＞－75 x＜1500所以，当x＜1500时，可选择乙商场． 综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下：（1）当0＜x≤500或x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；（2）当500＜x＜1500时，可选择乙商场；（3）当x＞1500时，可选择甲商场． 11.解：（1）385÷42≈9.2∴单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200元．385÷60≈6.4∴单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220元．（2）设租用42座客车x辆，则60座客车（8－x）辆，由题意得：解之得：≤x≤．∵x取整数，∴x＝4，5．当x＝4时，租金为320×4＋