2025届新高考数学精准冲刺复习正、余弦定理与平面向量基本问题

2025届新高考数学精准冲刺复习正、余弦定理与平面向量基本问题

考点梳理考情回顾高考预测平面向量的数

量积运算、线

性运算、位置

关系等2023新高考Ⅰ卷第3题2022新高考Ⅰ卷第3题2021新高考Ⅰ卷第10题1.小题考查平面向量，

正、余弦定理的应用.2.解答题考查利用正、余

弦定理求解三角形边、

角、面积问题，常涉及三

角恒等变换，最值、范围

问题.3.注意在平面四边形中考

查三角形的应用.正弦定理与余

弦定理2023全国乙卷第4题2023新高考Ⅰ卷第17题2022新高考Ⅰ卷第18题2021新高考Ⅰ卷第19题

2.（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量

a

＝（1，1），

b

＝（1，－1）.若（

a

＋

λ

b

）⊥（

a

＋μ

b

），则下列结论正确的是（

D

）A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1D.λμ＝－1CD3.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷）已知

O

为坐标原点，点

P

1（cosα，sin

α），

P

2（cosβ，－sinβ），

P

3（cos（α＋β），sin（α＋β）），

A

（1，0），则下列结论一定正确的是（

AC

）AC

2

（3）

已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解，有时已知

两边和其中一边对角可用余弦定理求第三边，这种方法可避免对解

个数的讨论；（4）

灵活利用式子的特点转化：如出现

a

2＋

b

2－

c

2＝λ

ab

的形式用余

弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.

总结提炼

用正、余弦定理求解三角形中基本量的方法

B.若b＝4，则△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是（2，4）D.若D为边BC的中点，则AD长的最大值为3CD123456789101112131415161718192021222324

BCD

热点2

平面向量[典例设计]例3（1）

（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量

a

＝（3，4），

b

＝（1，

0），

c

＝

a

＋

tb

.若＜

a

，

c

＞＝＜

b

，

c

＞，则

t

的值为（

C

）A.－6B.－5C.5D.6

A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3nCB

D.bA

A.1C

A.－11B.－13C.－15D.15

A

A.1C.2D.3A

总结提炼

（1）

数量积的表示一般有三种方法：①

当已知向量的模和夹角时，

可利用定义法求解；②

当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解；③

运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.（2）

计算模的范围或最值常见方法：①

通过｜

a

｜2＝

a

2转化为实数

问题；②

数形结合；③

坐标法.

C.2D.1A

热点3

三角测量与数学文化问题[典例设计]例5

（2023·南通二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的

一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》

测量一个球体建筑物的高度（如图），

A

是球体建筑物与水平地面的接

触点（切点），地面上

B

，

C

两点与点

A

在同一条直线上，且在点

A

的

同侧.若在点

B

，

C

处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且

BC

＝100m，则该球体建筑物的高度约为（参考数据：cos10°≈0.985）

（

B

）A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60mB

A.346B.373C.446D.473B

总结提炼

解三角形在实际生活中的应用非常广泛，如测量中的距离、高

度、角度及加工零件中的面积、体积等问题，均需根据实际问题抽象

出解决该问题的几何