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向量数量积的坐标运算第1课时新知探究问题1

平面向量除了几何表示外，还可以用坐标表示，向量的坐标表示在解决向量的加、减、数乘和向量共线等问题上为我们带来了很大的便利．那么如何用向量的坐标来表示向量数量积的运算呢？新知探究向量的坐标表示与向量的数量积在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则（x，y）就是向量的坐标，记作

＝（x，y）．而且，是单位正交基底，这就是说，ya·e2xa·e1e1e2O因此，类似的，有，即也就是说，在单位正交基底下的坐标为新知探究问题2设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐标表示出？由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底使得因此，从而，新知探究在平面直角坐标系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），则问题2设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐标表示出？特别的从而因此新知探究1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则（x，y）就是向量的坐标，记作2．设则3．在平面直角坐标系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），则新知探究问题3设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐标表示出？解答：因为的充要条件是，因此新知探究问题3设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），能否用的坐标表示出？这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件．设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），则⇔x1x2＋y1y2＝0．初步应用例1

已知

＝（3，－1），＝（1，－2），求解答：由题意可知：又因为，所以初步应用利用向量的数量积求两个非零向量夹角的步骤：利用两个向量数量积的坐标公式求出两个向量的数量积；求出两个向量的模；由求出两个向量夹角的余弦值；在[0，π]范围内根据的值确定两个非零向量的夹角初步应用例2

已知a＝（2，－1），b＝（1，－1），求（a＋2b）·（a－3b）．解答：a＋2b＝（4，－3），a－3b＝（－1，2），所以（a＋2b）·（a－3b）＝4×（－1）＋（－3）×2＝－10．初步应用进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2；（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．初步应用例3

已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的余弦值．解答：因为＝（3－1，4－2）＝（2，2），＝（5，－1，0－2）＝（4，－2），所以，

＝2×4＋2×（－2）＝4因此：初步应用例4

已知点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求证：证明：因为

＝（2，3）－（1，2）＝（1，1），＝（－2，5）－（1，2）＝（－3，3）所以：

＝（1，1）·（－3，3）＝1×（－3）＋1×3＝0因此初步应用通过计算两非零向量的数量积为0达到证明垂直的目的，即⇔x1x2＋y1y2＝0．练习练习：第85页练习A1

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