正弦定理、余弦定理的综合运用高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章

平面向量及其应用

正弦定理、余弦定理的综合运用人教2019A版必修第二册学习目标【教学目标】1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.4.面积公式1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S＝

＝

＝

.2.△ABC中的常用结论(1)A＋B＋C＝

，sin(A＋B)＝

，cos(A＋B)＝

；(2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.180°sinC－cosC新知讲授例1

(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为

.解析①求C的大小；②求△ABC的面积.解析（1）解析（2）复习回顾

正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即

余弦定理：三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦积的两倍.即问题

利用正、余弦定理可以解决哪几类问题？复习回顾①已知两边和夹角的问题②已知三边的问题③已知两边和其中一边对角的问题④已知两角和任一边的问题一、利用正弦、余弦定理解三角形

在△ABC中，已知b＝3，c＝

，B＝30°，解三角形.例2已知三角形的两边及其一边的对角：(1)处理一：直接应用正弦定理求出另一边的对角；(2)处理二：可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，求出c；注意：不管利用正弦定理还是余弦定理，都需要检验，利用大边对大角、小边对小角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边以及内角和为180°等进行检验.反思感悟

已知⊙O的半径为R，在它的内接△ABC中有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求角C的大小.练习2(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√二、利用正弦、余弦定理判断三角形的形状4.若acosA＝bcosB，则△ABC是

三角形.等腰或直角例3(2)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.判断三角形形状的方法及注意事项：(1)利用余弦定理、正弦定理把条件转化统一为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)关系，判断三角形形状.(2)统一成边(或角)关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.反思感悟(1)在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形√(2)在△ABC中，若acosC＋ccosA＝bsinB，则此三角形为A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√练习3

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝

acosB.(1)求B的大小；三、正弦、余弦定理的综合应用(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.例4反思感悟利用正弦、余弦定理解三角形的注意点：正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－

asinC＝bsinB.(1)求B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.练习4练习5：如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.由增加的长度确定的√