广东省佛山市南海九江中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

广东省佛山市南海九江中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

参考答案：D略2.点的内部，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D.参考答案：A3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，若8a2+a5=0，则等于（）A． B．5 C．﹣8 D．﹣11参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式求出公比为﹣2，由此利用等比数列的前n项和公式能求出结果．【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，∴=0，解得q=﹣2，∴===﹣11．故选：D．4.直线与圆的位置关系是A．相交

B．相切

C．相离

D．与值有关参考答案：D略5.同时掷两颗骰子，向上点数之和小于5的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】列举出所有情况，找出向上点数之和小于5的情况，然后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共有36种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有6种，分别为（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（3，1），（2，2）∴向上点数之和小于5的概率概为=，故选：C6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是(

)

参考答案：C7.设函数在处存在导数，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用在某点处的导数的定义来求解.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.8.运行如图的程序，若x=1，则输出的y等于（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；函数思想；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=x^3+5的值，代入x的值，即可求解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=x^3+5的值，当x=1，可得y=1+5=6．故选：C．【点评】本题主要考查了赋值语句，理解赋值的含义是解决问题的关键，属于基础题．9.在复平面内，复数对应的点与原点的距离是(

)

A.l

B．

C．2

D．2参考答案：B略10.现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列为等差数列，则有成立”类比“若数列为等比数列，则有成立”，则得出的两个结论

A.只有①正确

B.只有②正确C.都正确

D.都不正确参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.球的表面积为，则球的体积为___________.参考答案：12.设变量x，y满足约束条件，则的最大值是__________.参考答案：画出不等式组表示的平面区域，如图所示。表示可行域内的点与点连线的斜率。结合图形得，可行域内的点A与点连线的斜率最大。由，解得。所以点A的坐标为。∴。答案：点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.。13.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于

.参考答案：根据“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，则，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黄金双曲线”的离心率e等于．

14.已知点P在曲线y＝上，k为曲线在点P处的切线的斜率，则k的取值范围是_______.参考答案：略15.直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为

．参考答案：8【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可．【解答】解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案为：8【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力．16.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为

参考答案：解析：设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,OM=，.17.点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为________．参考答案：设P(a,0)，则有＝6，解得a＝－12或a＝8.∴P点坐标为(－12,0)或(8,0)．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当△OMN面积取最小值时，求此时直线l的方程．参考答案：（1）∵和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，∴依题意，，又，故．---------------------2分由得b2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C的方程为．-----------------------------------------------4分（2）由，消y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，整理得m2=4k2+3．-----------------------------6分由条件可得k≠0，，N（0，m）．所以．①------------------------------8分将m2=4k2+3代入①，得．因为|k|＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当，则，即时等号成立，S△OMN有最小值．-----11分因为m2=4k2+3，所以m2=6，又m＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分19.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（2）当a=1时，求函数f（x）的极值点和极值；（3）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数，求解切线的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切线方程．（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通过若a≤0，若，若，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．【解答】解：（1）由题，所以f′（1）=1﹣a，所以切线方程为：（1﹣a）（x﹣1）﹣y=0（2）由题a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，所以所以f′（x）＞0?0＜x＜1；f′（x）＜0?x＞1，所以f（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，所以f（x）在x=1取得极大值f（1）=0．所以函数f（x）的极大值f（1）=0，函数无极小值（3），令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，从而，不符合题意②若，当，F′（x）＞0，∴g′（x）在递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，以下论证同（1）一样，所以不符合题意③若，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）递减，∴g（x）≤g（1）=0，，综上所述，a的取值范围是．20.（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）

…………

1分令得：

…………

2分当变化时，的变化情况如下表：00增极大减极小增所以的增区间是和，减区间是；

…………

6分当时，取得极大值，极大值；

…………

7分当时，取得极小值，极小值.

…………

8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，作出函数的草图如图所示：所以，实数的取值范围是.

…………

12分21.已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．22.随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面． （1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角； （2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）； （3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度． 参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）作出BD在α内的射影，根据勾股定理求出D到平面α的距离，即可求出线面角的大小； （2）使用表示出，即可证明与，共面； （3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据θ的范围求出MN的最大值． 【解答】解：（1）设D在α上的射影为H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面， ∴过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，∴DK=AH． 设DH=h，则（AC﹣h）2+AH2=CD2，① ∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，