点和圆直线和圆的位置关系－－切线长和三角形的内切圆考点训练课件人教版数学九年级上册

人教版九年级上第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系切线长和三角形的内切圆考点训练【2023·长沙】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为(

)

A．32°B．52°C．64°D．72°1【点拨】根据切线的性质可得∠A＝∠B＝90°，∴∠P＝180°－∠AOB＝52°.【答案】B2如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(

)A．110°

B．120°

C．125°

D．130°【点拨】连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB.【答案】C3【2023·眉山】如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠P的度数为(

)A．28°B．50°C．56°D．62°【点拨】连接OB，由AO＝OB得∠OAB＝∠OBA＝28°，则∠AOB＝180°－∠OAB－∠OBA＝124°，根据切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，所以∠P＝180°－∠AOB＝56°.【答案】C4下列说法错误的是(

)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形，但一个三角形只有一个内切圆．【答案】C5如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点【点拨】根据三角形的内切圆得出点O到三角形三边的距离相等，即可得出结论．【答案】B6如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(

)A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF【点拨】连接OA，OB，由三角形内切圆的性质可得AE＝OE，OF＝BF，由此可得出结论．【答案】C7【2023·德阳】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE.其中一定正确的个数是(

)A．1B．2C．3D．4【点拨】利用三角形内心的定义可得∠BAD＝∠CAD，故①正确；若∠BAC＝60°，则利用三角形内心的定义及三角形内角和定理可推出∠BEC＝120°，故②正确；连接CD，易证BD＝CD，利用SSS可证△BDG≌△CDG，从而可得∠BGD＝90°，故③正确；易证∠BED＝∠EBD，从而可得BD＝DE，故④正确．【答案】D8【2023·恩施州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．【点拨】9如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(

)【点拨】如图．∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，内切圆与BC，AC边的切点分别为D，E，连接OE，OD，OA，易得点A，O，D共线，则OE＝OD＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正确；【答案】C10如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.证明：如图，连接OD.∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.∴∠DOP＝∠AOP.

又∵OA＝OD，OP＝OP，∴△AOP≌△DOP(SAS)．∴∠PDO＝∠PAO＝90°.即OD⊥PD.

∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(1)求证：PD是⊙O的切线；解：由(1)知△AOP≌△DOP，∴PA＝PD.∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB.

∵OB＝OA，∴PA＝OA.∴∠APO＝∠AOP.又∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．11如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.求证：(1)PB是⊙O的切线；证明：如图，连接OB.∵AO＝BO，AB⊥PO，∴∠AOP＝∠POB.又∵PO＝PO，∴△AOP≌△BOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP.

∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．解：如图，连接AE.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB.∵PO与AE的交点为E，∴E为△PAB的内心．(2)E为△PAB的内心．12下面是小颖对一道题目的解答．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.可以一般化吗？(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.证明：由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.∵AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2