2024高考必考数学模拟试卷含解析

第25页/共25页高考模拟检测卷（一）试题数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上相应位置）1.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.2.若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.【详解】表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离小于等于1，表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，故的最大值为，故选：C.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】因为，或，所以是的既不充分也不必要的条件．故选：D．4.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用待定系数法可求双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的方程为：，因为离心率，故半焦距，故，而双曲线过，故，解得，故双曲线的方程为：，故选：C.5.已知数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用递推公式，分别求出，即可求解.【详解】因为，，所以，所以；，所以；，所以；，所以；所以.故选：C6.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断．【详解】,所以，，而，所以．故选：A．7.已知平面四边形中，，，，，，则（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的线性运算及数乘定义得，从而得是直角梯形，求出的长后可得．【详解】，所以，即，所以是直角梯形，如图，作于，则是矩形，，，则，，所以，即，又，所以，．故选：D．8.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断为上的增函数且，利用这两个性质可得关于不等式，利用判别式可求参数的取值范围，注意分类讨论.【详解】的定义域为，，故，，因为（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），故，所以为上的增函数，故可转化为：，即转化为：，所以对任意的恒成立，故对任意的恒成立，当时，恒成立，故符号，当时，，故，当时，的图象为开口向上的抛物线，故对任意不恒成立，舍，故，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题至少有两个正确答案，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，共20分.9.设随机变量服从正态分布，且，则实数的值可为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布的图象对称性求解即可【详解】由题，正态分布图象关于对称，故，即，解得或故选：AD10.已知正方形的对角线长为，是它的内切圆一条弦，点为正方形四条边上的一个动点，当弦的长度最大时，不可能为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分析出为圆的直径，设，则满足.利用向量坐标化计算出.对照四个选项,即可得到答案.【详解】因为正方形的对角线长为，所以边长为.建立如图示的平面直角坐标系，则正方形的内切圆的方程为

当弦的长度最大时，为圆的直径.设，则,且.当点P在CD上时，可设.则，所以.因为，所以.即.当点P在AB上时，可设.则，所以.因为，所以.即.当点P在BC上时，可设.则，所以.因为，所以.即.当点P在AD上时，可设.则，所以.因为，所以.即.综上所述：.对照四个选项,不可能为：AD.故选：AD.11.已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（）A.对任意，B.存在，使得C.存在，使得在上有且仅有1个零点D.存在，使得在上单调递减【答案】AD【解析】【分析】应用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数式，是的最大值点，由周期得是最小值点，这样易判断AB，根据的定义，利用正弦函数性质得出在上递减，在上递增，时，，由此判断CD．【详解】，其中，，为锐角，恒成立，则是的最大值，是其函数图象的一条对称轴，因此，A正确；的周期是，因此是最小值点，B错；，则时，，时，，所以时，，，在上恒为0，有无数个零点，C错；由的定义知其在上递减，在上递增，所以当时，，D正确．故选：AD．12.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥的表面积为B.若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C.若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D.的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，所以,,,.对于A：在三棱锥中，，，，所以底面三角形为直角三角形，其面积为；为边长为2的等边三角形，所以面积为；和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；所以三棱锥的表面积为.故A正确；对于B：为棱的中点，所以,所以,.所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（）.所以.设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则.因为与平面所成角的正弦值为，所以，解得：取，则显然，面PAC的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，所以.故C错误；对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.此时，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范围为.故D正确.故选：ABD【点睛】立体几何题目的解题策略：(1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分，请将答案填在答题卡上相应位置.13.已知函数，则________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】.故答案为：14.的展开式的常数项是________．【答案】5【解析】【分析】根据多项式的乘法，用乘以展开式的项再加上用乘以展开式的常数项，即得所求【详解】因为所以展开式的常数项为故答案为：15.已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于的一点，直线的斜率分别为，且，若，则________．【答案】##-0.25【解析】【分析】由条件化简可得的关系，由结合椭圆的定义可求，再由余弦定理求.【详解】设，，由已知可得，，所以，所以因为，所以，，所以，所以，故，设椭圆的右焦点为，因为互相平分可得四边形为平行四边形，所以，又，，所以，，所以，16.用标有克，克，克的砝码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种；若再增加克，克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有______种．【答案】①.7②.62【解析】【分析】用列举法得到克，克，克的砝码称量的种数；若加入克后，求出可称量的范围为，若加入克后求出可称量的范围为，也可称量、，再加克，克，克的砝码称量的种数从而求出重量为整数的种数.【详解】当一边放砝码时：一个砝码时，有能称出克、克、克，两个砝码时能称出克、克、克，三个砝码时能称出克共有种情况；当两边都放砝码时：一边各放一个砝码时，则能称出克、克、克三种情况；一边两个另一边一个有克、克、克三种情况，综上所述，该天平所能称出的不同克数至多有共有种情况.若用克、克、克的砝码可称量范围，若加入克后，可称量的范围，即，若加入克后，可称量的范围，即，也可称量，即，也可称量，即，则，，，，，因为为正整数，所以，所以再增加克，克的砝码各一个，所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有种.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在中，三个内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若角为钝角，且角的角平分线与边相交于点，满足，求的面积的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求出角B；（2）根据面积相等及基本不等式求出，即可求出面积的最小值【小问1详解】因为，由正弦定理得：.因为,所以,所以.因为，所以或.【小问2详解】当时，，所以，即（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号）.所以（当且仅当时取等号）.即的面积的最小值为.18.已知数列是公比的等比数列，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，记，若，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差中项可得，结合等比数列通向公式求解；（2）结合题意整理可得，利用放缩，结合本题应从第二项开始放缩．【小问1详解】∵，，成等差数列，则即(舍去)或【小问2详解】由，可得：，两式相加得：∵∴则，即（1)成立；（2)综上所述：对一切19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的外接球表面积为，求三棱锥的体积与三棱锥的外接球的体积的比值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面平面可以推出平面，进而推出，而在四边形中易证，最后利用线面垂直的判定定理即可证明（2）易知三棱锥外接球的球心是中点，三棱锥外接球的球心是中点，解出相关线段的长度即可求解【小问1详解】在四边形中，，，，，为等腰直角三角形，即，平面平面，，平面平面，平面，又平面，，，平面，平面.【小问2详解】平面，平面，，，又，，，即，，平面，平面，平面，，即，均为直角三角形，且公共斜边为，中点到三棱锥四个顶点的距离相等，三棱锥的外接球半径所以在中在中，同理可得三棱锥的外接球半径20.有编号为A、的两个盒子，A盒子中有6个球，其中有2个球上写有数字，3个球上写有数字1，1个球上写有数字，盒子中也有6个球，其中有2个球上写有数字，2个球上写有数字1，2个球上写有数字.现从A盒子取2个球，从盒子取1个球，设取出的3个球数字之积为随机变量.（1）求随机变量的分布列和数学期望；（2）记“函数向右平移个单位长度得到一个对称中心为的函数”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】【分析】（1）先依据分布列规则去求随机变量的分布列，再求其数学期望；（2）先求得的值，进而可以求得事件发生的概率.【小问1详解】的可能取值为0，1，2，4，，，的分布列为0124P则【小问2详解】函数向右平移个单位长度得到函数由函数一个对称中心为，可得，即又的取值为0，1，2，4，则，则21.已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.（1）求抛物线的方程；（2）过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可得，据此可求，从而可得，故可得抛物线的方程.（2）设切线的方程为，切线的方程为，根据相切可得满足的方程，再联立直线方程与抛物线方程后可用表示两点，从而用表示中点的横坐标，结合满足的方程（结合韦达定理）可得中点横坐标的一元函数，故可求其范围.【小问1详解】由已知条件可得，，解得，所以，抛物线的方程为.【小问2详解】由题意可知，过引圆的切线斜率存在，设切线的方程为，则圆心到切线的距离，整理得，.，设切线的方程为,同理可得.所以，是方程的两根，.设，，由，得，由韦达定理知，所以，同理可得.设点的横坐标为，则.设，则，所以，对称轴，则22.已知函数.（1）讨论的单调性和最值；（2）若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值.（2）利用同构可得原方程即为有两个不同的实数根，结合构造法可证成立.【小问1详解】，其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.【小问2详解】方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的与指数、对数有关的方程，可以考虑利用同构将其转化为简单的方程，从而利用常见的极值点偏移的方法来处理零点不等式.

高考模拟检测卷（二）试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】因为，所以故选：C2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以z的虚部为.故选：B.3.甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）A.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同B.在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【答案】C【解析】【分析】由茎叶图的数据，分别计算甲、乙加工零角个数的极差，中位数，平均数，方差，进而得解.【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25对于A，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A错误；对于B，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B错误；对于C，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的中位数为，故C正确；对于D，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为，故D错误；故选：C4.在中，若，，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用正弦定理直接计算即可判断作答.【详解】在中，若，，，由正弦定理得：，所以.故选：B5.的展开式中的系数为（）A.60 B.24 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先写出展开式通项，再考虑通项与相乘得到含的项，即可得系数.【详解】由的展开式通项为，所以的展开式项为，故系数为.故选：B6.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（）A.34种 B.48种C.96种 D.144种【答案】C【解析】【分析】先排工序A，再将工序B和C视为一个整体与其它3个工序进行全排列，进而得到答案.【详解】由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有种编排方法.故实施顺序的编排方法共有＝96(种).故选：C.7.设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，设直线AB为，，，，不妨设，则，所以，解得：，则，解得：，则，所以，解得：，则直线AB为，所以当时，即，解得：，则，联立与得：，则，所以，其中.故选：C8.若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，；当时，，此时，，故；，；故ABC均错误；D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.若，则是偶函数B.若，则在区间上单调递减C.若，则的图象关于点对称D.若，则在区间上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由函数平移得，讨论、，结合正余弦函数的性质判断奇偶、对称性以及上的单调性，即可得答案.【详解】由题设，，时，为偶函数，在上有，递增，故A正确，B错误；时，，此时，，即关于点对称，在上有，不单调，故C正确，D错误.故选：AC10.下列说法正确的是（）A.已知直线与平行，则k的值是3B.直线与圆的位置关系为相交C.圆上到直线的距离为的点共有3个D.已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为10【答案】BC【解析】【分析】A由直线平行的判定求参数，注意验证是否重合；B根据直线所过的定点与圆的位置关系判断即可；C由圆心到直线的距离与半径的关系即可判断；D设圆心到的距离分别为，则及，结合基本不等式求最大值即可判断.【详解】A：由平行知：，则或，当时有，满足题设，当时有，满足题设，故或，错误；B：由过定点，而在圆内，故它们的关系为相交，正确；C：由题设知：圆的标准方程为，则圆心为，半径为，所以圆心到距离为，易知圆上点到直线距离为的点共有3个，正确；D：设圆心到的距离分别为，则，又相互垂直，所以，而，即当且仅当时等号成立，故，故错误.故选：BC11.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分析题意发现是一个等比数列，按照等比数列的性质逐一验证即可，其中B选项是化简成一个等差数列进行判断，CD两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性.【详解】由题可知，；，；，由此可知，即一个等比数列；A：，A错误；B：，因为，所以该数列为递减数列，又因为当时，，所以恒成立，B正确；C：，即，两边约去得到，当时，，原式成立；当时，恒成立，所以成立，即成立，C正确；D：令，再令，令解得，因为，所以取，由此可知时；时，故为最大值，，根据单调性，即不恒成立，D错误.故选：BC12.如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（）A.当时，存在点P满足B.当时，存在唯一的点P满足C.当时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为D.当时，满足的点P轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合选项逐个验证，利用对称点可以判断A，利用垂直求出可以判断B，求出点P轨迹长度可判定C,D.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建系如图，对于选项A，当时，，，设点关于平面的对称点为，则，.所以.故A不正确.对于选项B，设，则，由得，即，解得，所以存在唯一的点P满足，故B正确.对于选项C，，设，则，由得.在平面中，建立平面直角坐标系，如图，则的轨迹方程表示的轨迹就是线段，而，故C正确.对于选项D，当时，，设，则，由得，即，在平面中，建立平面直角坐标系，如图，记的圆心为，与交于；令，可得，而，所以，其对应的圆弧长度为；根据对称性可知点P轨迹长度为；故D正确.故选：BCD.【点睛】立体几何中的动点问题，常常采用坐标法，把立体几何问题转化为平面问题，结合解析几何的相关知识进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．【答案】2【解析】【分析】根据题意可得，直接利用等差数列前n项和公式计算即可.【详解】由题意知，，，解得.故答案为：14.已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解.【详解】如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,.因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中.所以,,所以.因为，所以.故答案为：15.已知椭圆，点在直线（c为椭圆的半焦距）上，过点P且斜率的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】由题设知光线所在直线为，求其与交点坐标，根据光线反射过左焦点，结合斜率的两点式及在直线上求椭圆参数，进而求椭圆离心率.【详解】由题设，，则光线所在直线为，所以光线与的交点为，又光线经反射后通过椭圆的左焦点，所以，可得，又，则，所以椭圆的离心率为.故答案为：16.已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.【答案】##【解析】【分析】将三棱锥补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心、半径及对应圆心角，进而求出弧长，即可知最长弧长.【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下图示：若，则，即在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，又，，所以，面与球面所成弧是以为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为；面与与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；面与球面所成弧是以为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；所以最长弧的弧长为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.设数列的前n项和为，满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.【小问1详解】当时，，得即，即所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．【小问2详解】由（1）知，则（1）（2）（1）－（2）得所以18.如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．（1）证明：平面PMN⊥平面PAD；（2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接DM，利用平行四边形、等边三角形的性质易得且、，再由线面垂直的性质及判定可得平面PAD，最后根据面面垂直的判定证明结论.（2）法一：连接BD，易证，，PD⊥AD，构建空间直角坐标系，设，并求面PAB、面ABCD的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件求参数m，再应用棱锥的体积公式求体积；法二：连接DM，在AM上取中点H，连接DH，PH，根据已知条件找到二面角的平面角，进而求，最后由棱锥的体积公式求体积；【小问1详解】连接DM，显然且，∴四边形BCDM为平行四边形，故且，∴△是正三角形，故，又平面ABCD，平面ABCD，则，又，∴平面PAD，又平面PMN，∴平面平面PAD．【小问2详解】（方法一）连接BD，易知，∴，，又PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，则PD⊥AD，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，，平面PAB的法向量为，则，令，得，而平面ABCD的法向量为，所以，解得，所以．（方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以且，所以BCDM为平行四边形，故，所以△为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH，所以，则，又平面ABCD，AM平面ABCD，所以，易知：为的二面角，所以，又在中，，所以.19.人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.月份x12345销售量y（万件）8.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：.（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（的值精确到0.1）；（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）；（2）第9个月的月利润预报值最大【解析】【分析】（1）根据数据与回归方程的公式进行求解，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到关于的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.【小问1详解】令，则，，，，所以y关于x的回归方程为；【小问2详解】由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在处取得极大值，也是最大值，所以第9个月的月利润预报值最大.20.如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．（1）求的正弦值；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法1、由余弦定理求得，得到，分别在和，求得和，结合和互补，求得，再在中，求得，即可求解；解法2、由题意，求得，根据，结合的面积为面积的，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得，得到，，在中，由余弦定理求得，即可求解；又由，所以．解法2、由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：解法1、由余弦定理得，即，所以，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，与互补，则，解得，在中，由余弦定理，得，因为，所以．解法2、由题意可得，，由AM为边BC上的中线，则，两边同时平方得，，故，因为M为BC边中点，则的面积为面积的，所以，即，化简得，．【小问2详解】解：方法1、在中，由余弦定理，得，所以，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为重心，可得，，在中，由余弦定理，得，又由，所以．解法2：因为BN为边AC上的中线，所以，，，即．所以．21.已知椭圆的左焦点为圆的圆心A．（1）求椭圆C的方程；（2）与x轴不重合的直线l经过椭圆C的右焦点B，与椭圆交于M、N两点，过B且与l垂直的直线交圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，再结合，即可求得椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，利用弦长公式，分别求和，四边形的面积，求得面积的取值范围，当直线的斜率不存在时，求四边形的面积，最后即可求得四边形MPNQ面积的取值范围．【小问1详解】圆的圆心A的坐标为，所以圆锥的半焦距，又，所以，椭圆C的方程为．【小问2详解】当l与x轴不垂直时，设l的方程为，，．由得．则，．所以．过点且与l垂直的直线，A到m的距离为，所以．故四边形MPNQ的面积．可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为．当l与x轴垂直时，其方程为，，，四边形MPNQ的面积为12．综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为．22.已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值；（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，因为在处取极大值，所以，所以，所以当时，，+单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以在处取极大值，符合题意；（2）当时，，．又因为对，不等式，所以时，，所以时，，令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，当时，，所以在上单调递增，且，所以当时，，这与题意不符；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以，记，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又因为，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.

高考模拟检测卷（三）试题数学一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定中元素，然后根据交集定义计算．【详解】由已知，所以，故选：B2.已知复数，则实数x，y分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数相等的条件可得结果.【详解】因为，所以，所以，得.故选：D3.已知，则的大小关系为A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.详解：由指数函数的性质可知：，，，且，，据此可知：，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4.二项式的展开式中的常数项是（）A.第项 B.第项 C.第项 D.第项【答案】C【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为零，求得的值，进而可得出结果.【详解】二项式的展开式通项为，令，解得.因此，二项式的展开式中的常数项是第项.故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于基础题.5.已知、，，则直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】求出圆心坐标，再求圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可求出结论.【详解】，化为，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，，所以直线与圆相切.故选:C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用几何法判断，即比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，属于基础题.6.已知的分布列如下表：012P？!？其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据离散型随机变量的分布列中概率之和为1以及方差期望的计算公式即可求解.【详解】设“？”处的数据为则“!”处数据为,则,故,故选:C7.已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】以，为邻边作平行四边形，设，则，由题意，设，在中，根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.【详解】解：以，为邻边作平行四边形，设，，则，由题意，设，，在中，由正弦定理可得，，，即的最大值为6.故选：C．8.已知抛物线，O为坐标原点.若存在过点的直线l与C相交于A､B两点，且，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设两点坐标，则可表示,利用求得与两点坐标的关系式，把点代入抛物线方程，联立求得，又因，进而求得关于的一元二次方程，进而通过方程有2个正实数根列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案【详解】设则因为点在抛物线上所以由消去得，即，整理得：因为过的直线与抛物线交于两点所以关于的方程有两正数根，解得故选：A二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，存在极值点的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】逐项利用导数与函数极值的关系判断即可得结果.【详解】由题意函数，则，所以函数在内单调递增，没有极值点；函数，根据指数函数的图象与性质可得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数在处取得极小值；函数，则，所以函数在上单调递减，没有极值点；函数，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得极小值，故选：BD.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，掌握极值的概念是解题的关键，属于中档题.10.我国疫情基本阻断后，在抓好常态化疫情防控的基础上，有力有序推进复工复产复业复市，成为当务之急.某央企彰显担当，主动联系专业检测机构，为所有员工提供上门核酸全覆盖检测服务，以便加快推进复工复产.下面是该企业连续11天复工复产指数折线图，则下列说法正确的是（）

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过 D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量【答案】CD【解析】【分析】根据折线图反映的数据判断各选项．【详解】两个折线都有下降的过程，A错；这11天期间，第一天和第11天复产指数都大于复工指数，但第一天两者的差大于第11天两者的差，因此复产指数增量小于复工指数增量，B错；由复工复产指数折线图知C正确；第9天复产指数小于复工指数，第11天复产指数大于复工指数，因此D正确．故选：CD．11.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（）A. B. C. D.与均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，又，，，B正确；，，即，A正确；由得，，所以，而，，因此，C错；由上知，先增后减，与均为的最大值，D正确．故选：ABD．12.如下图，正方体中，M为上的动点，平面，则下面说法正确的是（）

A.直线AB与平面所成角的正弦值范围为B.点M与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M为的中点时，平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N为中点，当的和最小时，M为的三等分点【答案】AC【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；对于B选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱于点，点，，平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，【详解】等价于或，而且“”是“”的充分不必要条件，则．故答案为：．14.自从申办冬奥成功之后，中国大力推广冰雪运动.统计数据显示，现中国从北到南总共有654块标准冰场和803块滑雪场，全国冰雪运动参与人数已达3.46亿人.一对酷爱冰雪运动的年轻夫妇，让刚好十个月大的孩子把“0､2､2､2､北､京”六张卡片排成一行，若依次排成“2022北京”或“北京2022”，就说“很好”，那么“很好”的概率是___________.【答案】【解析】【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行，其中包含三张相同的，共有种结果，满足条件的只有两个基本时间，根据古典概型概率公式得到结果【详解】由题意可知本题是古典概型试验发生包含的事件是把六张卡片排成一行，其中包含三张相同的，共有种结果满足条件的事件是有两个基本事件那么“很好”的概率故答案为：15.已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式_________．【答案】.【解析】【分析】根据函数的图象，得到，求得，再根据和，列出方程求得的值，即可求解.【详解】由函数的图象，可得，即可，所以，所以，又由，可得，即，且，可得，解得，又由，即，解得，所以函数的解析式为.故答案为：.16.已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．【答案】.【解析】【详解】分析:根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解:作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）lnc，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为2e2﹣12点睛:（1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且.（1）求角A的值；（2）在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因为，由正弦定理将边化成角，利用和差公式即可化为，结合辅助角公式即可求解；（2）利用余弦定理化为关于的一元二次方程，结合方程根的分布列不等式求解即可．【小问1详解】因为，由正弦定理得，又即，因为sinC≠0，得，所以.所以或（舍去），故．【小问2详解】由（1）和余弦定理得，又，所以，即，要使有两解，则方程有两个正实数根，即，即.18.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程bx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？，．【答案】(1)x﹣3；(2)可靠【解析】【分析】（1）由数据求出,代入求解,再求得,即可求出线性回归方程；（2）分别将和代入求出,判断即可【详解】（1）由表中数据,求得,,由公式,可得,,所以y关于x的线性回归方程为x﹣3（2）当x＝10时,10﹣3＝22,|22﹣23|＜2；同样,当x＝8时,8﹣3＝17,|17﹣16|＜2；所以,该研究所得到的回归方程是可靠的【点睛】本题考查求线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查运算能力19.已知数列为等比数列，其前n项的和为.已知，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记，若对于恒成立，求实数m的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差数列的性质列式求得公比，然后再求出，可得通项公式；（2）由错位相减法求得和，不等式由分离参数法变形，恒成立问题转化为求数列（函数）的最值即得．【小问1详解】设公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，故.又，故，所以.【小问2详解】因为，，故，所以，又，所以，所以.若对于恒成立，则，即，所以.令，则，所以为减函数，所以，即.20.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，点F是棱BC的中点.（1）若PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的大小；（2）若直线PB与过直线AF的平面平行，平面与棱PD交于点S，指明点的位置，并证明.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值即可得结果；（2）连接与交于点，由相似可得为三等分点，取点为棱上的三等分点即可得结论.【小问1详解】分别以棱、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，因为平面ABCD，所以即为PB与平面ABCD所成的角，即，所以，则、、、、.则，，设平面的法向量为，由，得，令，则，故.由于，，即，结合平面ABCD，易知平面的法向量为设二面角的平面角为，则.即二面角的大小为.【小问2详解】连接与交于点，由点是棱的中点得.又，所以.取点为棱上的三等分点（偏点的位置），则在中，，所以.平面即为平面，因为，，所以.21.如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.

（1）求椭圆M的方程，并求的取值范围；（2）若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，把点的坐标代入椭圆方程，结合可求得得椭圆方程，设点，求出，根据椭圆的范围得数量积的范围；（2）设两点M､N，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再代入化简可得．【小问1详解】由题意得.又点在椭圆上，所以，且，所以，，故椭圆的方程为.设点，由，得.又，所以.【小问2详解】设过点且斜率为的直线方程为，联立椭圆方程得.设两点M､N，故，.因为，其中，，故所以为定值．22.已知函数.（1）当时，求在上的单调区间；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）在上的单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）由，得到，求导，令，再利用导数法求解；（2）令，由导数法易得时，，当时，，然后分时，由，得，时，由，得恒成立，时，由，得恒成立求解.【小问1详解】解：当时，，则，设，则.当时，单调递增，又，，所以存在唯一的，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.而，所以，当时，，即，故单调递减.当时，，所以单调递增.故函数在上的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】令，则，所以单调递减.又，因此，当时，，当时，.当时，由，得.当时，由，得恒成立，所以.当时，由，得恒成立，所以.当时，的图象关于直线对称，由（1）知，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，所以，当时，，当且仅当时等号成立.所以，当时，，于是可得.又为奇函数，所以，当时，，所以.综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.

高考模拟检测卷（四）试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设集合A，B满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合A，B的运算结果以及集合A，结合选项可得集合B．【详解】，故选：B2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据垂直关系的性质可判断.【详解】由题，，则或，若，则或或与相交，故充分性不成立；若，则必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.4.《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，故，，解可得，，，故任意两人所得的最大差值．故选：B．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角差的正弦公式化简可得，根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式即可得出结果.【详解】由得，即，等式两边同时平方，得，所以.故选：B.6.若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可知的对称轴为，且在上为单调递减函数.由，可确定，从而可选择正确选项.【详解】解：因为函数为偶函数，所以的对称轴为；又对任意，且有，则在上为单调递减函数.因为，，，所以，即.故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.7.如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.【详解】连接，，设，则由已知可得．∵，为双曲线上的点，∴，．∵为的中点，且，∴．∴．∴．∴，，．∵在直角中，．∴．∴．∴．故选：A．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.8.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数，利用导数求得函数的单调性，得到，再根据，，，结合题意，，，得到，分别求得，，，即可求解.【详解】令函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以，因为，，，所以，，，所以，即，因为，可得，又因为，则，同理，，所以，，因为当时，，函数单调递减，所以．故选：C．【点睛】方法点拨：设函数，求得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，得到，得出，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（）A.B.的虚部为C.复数的共轭复数D.复数是方程的一个根【答案】ACD【解析】【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以，所以A正确，复数的虚部为1，所以B错误，复数的共轭复数，所以C正确，因为，所以复数是方程的一个根，所以D正确，故选：ACD10.已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（）A.线段A，B的中点的广义坐标为B.A，B两点间的距离为C.若向量平行于向量，则D.若向量垂直于向量，则【答案】AC【解析】【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；，故，当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，与垂直的充要条件是，故D不正确.故选：AC．11.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.函数为奇函数B.函数在上单调递增C.若，则的最小值为D.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】由题可知，，即可得到；对A，，结合正弦函数性质即可判断；对B，由即可判断；对C，即判断两相邻对称轴的距离；对D，按照图象平移原则判断即可.【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴，，∵，∴，∴，对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性，因此函数是奇函数，故A正确；对于B，由于，，函数在上不单调，故B错误；对于C，因为，，又因为，的周期为，所以的最小值为，C正确；对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D正确，故选：ACD12.在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为C.当时，的最小值为D.当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可.【详解】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确；当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则的轨迹方程为：，设，有可得，故，故，因为，故当时，．故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中常数项为________．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；【详解】的展开式的通项公式当和时，可得展开式中常数项为，故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题.14.已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.【答案】4【解析】【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．视频15.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．【答案】①③【解析】【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件和事件的样本点，可求得，，易知，，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.【详解】因为与不可能同时发生，所以与互斥，故①正确；包含：，，，，，共5个基本事件，包含：，，，，，，共6个基本事件，故，，，，则，故③正确；，故④错误；，故②错误；故答案为：①③16.已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是___________；当时，记，若，则整数___________.【答案】①.（0，2）②.【解析】【分析】本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，化简求出的取值范围，由此可得的取值范围；采用裂项相消法求出的表达式，然后求其范围，即可得到结果．【详解】由