数学-高中全科《高考考前必刷题》

数学高中数学7878 1用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={0,1}，B={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，且|d(A)−d(B)|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=() 2设x∈R，则“x2>9”是“3x>81”的()条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要 3已知命题p“∀x∈R，(a+2)x2−2ax+1<0”，若命题p为假，则a的取值范围为()A．RB．{a|a<−2}C．{a|a≤−2}D．{a|a≤−1或a≥2} 4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是⼀个正六边形，如图为⼀组蜂巢的截面图．其中第⼀个图有1个蜂巢，第⼆个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为() 5函数f(x)=ax−3+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标为()6幂函数y=xa2−2a−3是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数a的值是()6设函数设函数f(x)=log2x+2x−3，则函数f(x)的零点所在的区间为()若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为()991010若函数f(x)=x为奇函数，则a=((2x+1)(x−a)已知函数f(x)={−l,1,1，且f(a)=7A−34)3−3，则f(6−a)=()． 11函数f(x)=log2|2x−1|的图象大致是() 12过点M(−1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线方程为() 13若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线，则实数a=()111212 14已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=() 15在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若asinA+csinC−√3asinC=bsinB，则角B等于()6 16某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要() 17三棱锥P−ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为() AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于()33 19下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 20以下说法中正确的个数是()①||与||是否相等与，的方向无关②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小④单位向量都是共线向量⑤零向量的长度为0，没有方向2121在ΔABC中，已知D是BC延长线上一点，若BC=2CD，点E为AD线段的中点，AEAE=λAB+4AC，则λ=()B.4B.422在22ΔABC中，AN= 3 P是BN上的一点，若AP=5−→−→11AB+λAC，则实数λ的值为() 23设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA+OB+OC+OD等于() 24设满足||=||=1，⋅=−，⟨−,−⟩=60∘，则||的最大值等于25(x+2)(x−1)6的展开项中x4的系数是() 264位同学各自在周六、周日两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 27如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取⼀点，则此点取自黑色部分的概率是()28将9个相同的球放⼊3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有⼀个球，且每个盒子中⼩球的个数都不同，则不同的放法有()种．2829在等比数列{an}中，如果a5和a9是⼀元⼆次方程x2+7x+9=0的两个根，则a4⋅a7⋅a10的值为29A．−27B．2730等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若Sn=2n3033n+13n−13n+431在数列{an}中，已知an+1=an+，a1=2，则a99的值是()31 32已知x>，那么函数y=2x+2+的最小值是() 33不等式−x2+2x+3>0的解集是()A．−3<x<1B．−1<x<3C．x<−1或x>3D．x<−3或x>13434+若两个正实数x,y满足+=1<m2−3m有解，则实数m的取值范围为() 35已知a，b>0，且a+3b=1，则ab的取值范围是()A．,+∞)B．(0,D．(0, 36若log4(3a+4b)=log2√ab，则a+b的最小值是()．A．6+2√3B．7+2√3C．6+4√3D．7+4√3 37不等式x2−2x+5⩾a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为() 38复数z（i为虚数单位）满足z(2+i)=i−1，则|z|的值是()√10 39i为虚数单位，则2011等于() 40x2y2已知双曲线−=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为() 41x2y2设椭圆E:+=1(a>b>0)的⼀个焦点F(2,0)，点A(−2,1)为椭圆E内⼀点，若椭圆E上 41x2y2存在⼀点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是() 42x2y2已知椭圆+=1，直线l与椭圆相交于A，B两点，点P(11)是线段AB的中点A−BA−B 43y2如图，双曲线x2−4=1的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上⼀点，PF1与圆x2+y2=1相切于点T，M是PF1的中点，则|MO|−|MT|=()11244过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45∘的直线，则被抛物线截得的弦长为() 45一条直线l经过点P(1,2)，且与两点A(2,3)，B(4,−5)的距离相等，则直线l的方程是() 46在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()47设m，n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y−2=0与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则m+n的取值范围是(). 48已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=() 49|PA|2+|PB|2在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=|PC|2 50已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为() (1)求函数y=f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[−,上为增函数，求ω的最大值. 52ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+√3cosA=0，a=2√7，b=2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求ΔABD的面积.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA+tanB)=+.(2)求cosC的最小值. 54已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在区间[−,中的最大值和最小值．B点北点的救55如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45∘，偏西60∘的D点有⼀艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60∘且与B点相距20√3海里的C援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援到达B点北点的救56设函数f(x)=sin(ωx−)+sin(ωx−)，其中0<ω<3．已知f()=0．56(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−,]上的最小值．57如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．57(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．58设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且21(1)求{an}的通项；58(2)求{nSn}的前n项和Tn．59记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15．59(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值． 60设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3．数列{bn}满足：对每个n∈N∗，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等⽐数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn=，n∈N∗，证明：c1+c2+…+cn<2√n，n∈N∗． 61已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1,a11,a13成等⽐数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1+a4+a7+⋯+a3n−2． 62已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an=(√2)bn(n∈N∗)．若{an}为等⽐数列，且a1=2，(1)求an与bn；(2)设cn=−(n∈N∗)．记数列{cn}的前n项和为Sn．②求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有Sk⩾Sn． 63已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对⼀切正整数n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a1>0，数列{lg11}的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值． 64已知{an}为等差数列，{bn}为等⽐数列，a1=b1=1，a5=5(a4−a3)，b5=4(b4(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求证：SnSn+2<Sn+12(n∈N∗)；(3)对任意的正整数n，设cn=〈⎪anan+2n为偶数求数列{cn}的前2n项和．(bn+1,65现有甲、⼄两个靶．某射手向甲靶射击⼀次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向⼄靶射击两次，每次命中的概率为，每命中⼀次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中⼀次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX． 66甲、⼄、丙三位同学进行羽⽑球⽐赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；⽐赛前抽签决定首先⽐赛的两⼈，另⼀⼈轮空；每场⽐赛的胜者与轮空者进行下⼀场⽐赛，负者下⼀场轮空，直至有⼀⼈被淘汰；当⼀⼈被淘汰后，剩余的两⼈继续⽐赛，直至其中⼀⼈被淘汰，另⼀⼈最终获胜，⽐赛结束．经抽签，甲、⼄首先⽐赛，丙轮空．设每场⽐赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场⽐赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率． 67某行业主管部门为了解本行业中⼩企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第⼀季度相对于前⼀年第⼀季度产值增长率y的频数分布表．y的分组企业数27(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同⼀组中的数据用该组区间的中点值为代表 68从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的⼀项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同⼀组中的数据用该组区间的中点值作代表(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用⼾从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)． 69某⼯⼚的某种产品成箱包装，每箱200件，每⼀箱产品在交付用⼾之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对⼀箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进⼊用⼾⼿中，则⼯⼚要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这⼀箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 70设甲、⼄、丙三个乒乓球协会的运动员⼈数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员⼈数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5，A6的两名运动员至少有⼀⼈被抽到”，求事件A发生的概率． 71如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上⼀点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为ΔA1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 72如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN//平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．A1、B1、QDNA1、B1、QDN 73如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ(0<λ<2).D1AEAC1C(1)当λ=1时，证明：直线BC1//平面EFPQ；(2)是否存在λ,使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 74如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； AP AP(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 75如图，在长方体中ABCD−A1B1C1D1，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是棱AB、BC的中点.(1)证明A1、C1、F、E四点共面；(2)求直线CD1与平面A1C1FE所成角的大小. 76在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=√5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF=BC，设⼆面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 77如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45∘，PA=AD=2，AC=1．(1)证明：PC⊥AD；(2)求⼆面角A−PC−D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30∘，求AE的长． 78如图，在三棱锥A−BCD中，ΔABD与ΔBCD都为等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AO∩DM=G，N在棱CD上且满足2CN=ND，连接MC，GN．(1)证明：GN//平面ABC；(2)求直线AC和平面GND所成角的正弦值． 79如图，四棱锥中P−ABCD，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=120∘，AB=AD=2，点M在线段PD上，且DM=2MP，PB//平面MAC．(1)求证：MAC⊥平面平面PAD；(2)若PA=3，求平面PAB和平面MAC所成锐⼆面角的余弦值． 80如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，BA=BP=BD=AP=2，DA=DP=√2．(1)求证：PA⊥BD；(2)求点C到平面PBD的距离． 81已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程； 82x2y2已知F1，F2是椭圆C：a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且ΔF1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围；(2)若ΔPOF2 82x2y2 83x2y2设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|． 83x2y2(1)求椭圆的离心率e．(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x+1)2+(y−√3)2=16相交于M，N 5 两点，且|MN|=8|AB|，求椭圆的方程．设F1，F2分别是椭圆E：设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|(1)若|AB|=4，ΔABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率. 85已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两个点A、B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线l：y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.86在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2−4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程.(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标. 87如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且ΔAB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.88设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.已知椭圆C：+=1(a>b>0)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，点(2,√2)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 90在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px(p>0)经过点Q(1,−1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q分别作互相垂直的两直线QM，QN，分别与抛物线C相交于异于点Q的两点M、N．求证：直线MN过定点． 91已知函数f(x)=ex−a(x+2)．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 92已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯⼀零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)⩾ax，求a的取值范围． 93已知函数f(x)=2x3−ax2+2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围． 94已知函数f(x)=12−x2．(1)求曲线y=f(x)的斜率等于−2的切线方程；(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．95设函数f(x)=aexlnx+，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x−1)+2．(2)证明：f(x)>1． 96设函数f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]ex．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 97设函数f(x)=−k(+lnx)（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数(1)当k⩽0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围． 98已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间(−1,存在唯⼀极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点． 99已知函数f(x)=alnx+xb(a≠0)．(1)当b=2时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a+b=0，b>0时，对任意x∈,e]，有f(x)⩽e−1成立，求实数b的取值范围． 10021.已知函数f(x)=(2−x)ex,g(x)=(x−1)3．（1）若曲线y=g(x)的切线l经过点P,0)，求l的方程；（2）若方程3af(x)=g′(x)有两个不相等实数根，求a的取值范围．数学高中数学 1用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={0,1}，B={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，且|d(A)−d(B)|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=()A由题意，|d(A)−d(B)|=1，d(A)=2，可得d(B)的值为1或3①若d(B)，则x2−ax=0仅有⼀根，必为0，此时a=0，则x2−ax+1=x2+1=0无根，符合题意②若d(B)=3，若x2−ax=0有⼀根，与①同理，a=0，则x2−ax+1=x2+1=0无根，不合题意故x2−ax=0有两根，⼀根是0，另⼀根是a≠0，所以x2−ax+1=0必仅有⼀根，所以Δ=a2−4=0，解得a=±2此时x2−ax+1=0的根为1或−1，符合题意综上实数a的所有可能取值构成集合M={0,−2,2}，故d(M)=3．故选A．【考点】集合的概念、分类讨论 A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要Bx2>9⇔x>3或x<−3；3x>81⇔x>4，故选B【考点】：充分、必要条件． 32018已知命题p“∀x∈R，(a+2)x2−2ax+1<0”，若命题p为假，则a的取值范围为()A．RB．{a|a<−2}C．{a|a≤−2}D．{a|a≤−1或a≥2}A若命题p为真则{+<20<0∴{a<−24a2−4(a+2)<0因此若命题p为假，则a的取值范围为R故选A先求命题p为真时a的取值范围，再求补集得结果求¬p为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果 4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是⼀个正六边形，如图为⼀组蜂巢的截面图．其中第⼀个图有1个蜂巢，第⼆个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为()C由于f(2)﹣f(1)=7﹣1=6，f(5)﹣f(4)=61﹣37=4×6，ⅆ因此，当n≥2时，有f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1)，所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+[f(2)﹣f(1)]+f(1).所以f(n)=3n2﹣3n+1.故选：C. 5函数f(x)=ax−3+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标为()B由于指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1)，故令x−3=0，解得x=3，当x=3时，f(3)=2，即无论a为何值时，x=3，y=2都成立，因此，函数f(x)=ax−3+1的图象恒过定点的(3,2)，故选B.【考点】指数函数的定点 6幂函数y=xa2−2a−3是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，则整数a的值是()C∵幂函数y=xa2−2a−3是偶函数，且在(0,+∞)是减函数，(a−3是偶数，解得a=1．故选C．【考点】幂函数、函数的奇偶性、函数的单调性 72018设函数f(x)=log2x+2x−3，则函数f(x)的零点所在的区间为()B因为f(x)=log2x+2x−3的定义域为(0,+∞)，而y=log2x在(0,+∞)上递增，y=2x在(0,+∞)上递增，所以f(x)也在(0,+∞)递增，所以若f(x)存在零点，则零点有且仅有⼀个因为f(1)=log21+21−3=−1<0，f(2)=log22+22−3=2>0，所以函数f(x)有零点，且零点所在区间为(1,2)．故本题正确答案为B． 82014若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为()D3x+a+1,x−1其图象如图所示：由图象知：f(x)的最小值为f(−=−+a−1=−1，依题意得−1=3，解得a=8，符合题意．当a=2时，f(x)=3|x+1|，其最小值为0，不符合题意．a−a−2>−1，f(x)=〈⎪(3x+a+1,−x−a+1,−3x−a−1,x>−x<−1得f(x)的最小值为f(−，因此故选D+1=3，解得a=−4，符合题意．【法⼆】根据绝对值的几何定义，最小值⼀定在x=−时取得，则f(x)的最小值为f(−)=|−+1|+|−a+a|=3解得a=−4或8【考点】：①绝对值函数的最值；②分类讨论思想应用． 92011若函数f(x)=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a=()3==A法⼀：由已知得f(x)=的定义域关于原点对称，由于该函数定义域为{x|x≠−且x≠a}，知a=．∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又f(x)=，则−x故选A−x2x2+(1−2a)x−a在函数的定义域内恒成立，可得a=121010I2015I已知函数f(x)={−l,1,17A−34，且f(a)=−3，则f(6−a)=()．A又因为f(a)=−3，∴−log2(a+1)=−3解得a=7，∴f(6−a)=f(−1)=−． 112018函数f(x)=log2|2x−1|的图象大致是()A.B.A故选A 12过点M(−1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线方程为()A．3x+y+3=0或x−y+1=0B．3x−y+3=0或x+y+1=0C．x−y+1=0D．3x−y+3=0AM(−1,0)不在抛物线y=x2+x+1上．设切点为N(a,b)，则切线斜率k=2a+1=kMN==，所以a=0或a=−2，故切线斜率为k=1或k=−3，所以切线方程为x−y+1=0或3x+y+3=0．13132018若直线y=ax是曲线y=2lnx+1111212的-条切线，则实数a=()B设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0则有y则有y′|x=x0=联立解得x0联立解得x0=于是有〈a= a=x0ax0=2lnx0+111a=x0本题不知道切点横坐标，所以⼀定要优先选择求解切点横坐标，只要知道切点处的横坐标，我们就可以联立三个方程进行求解：1．切点处的导数值等于切线斜率；2．切点在切线上；3．切点在曲线上 14已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=()Bf′(x)=2x+2f′(1)．令x=1，则可求出f′(1)=−2．令x=0，则f′(0)=2f′(1)=−4． 15在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若asinA+csinC−√3asinC=bsinB，则角B等于()6D由正弦定理及asinA+csinC−√3asinC=bsinB得a2+c2−√3ac=b2，所以由余弦定理得cosB==，所以B=． 16某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的⼀块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮的价格为a元/m2，则购买这种草皮需要()C 2 2由面积公式知三角形区域面积为所以购买这种草皮需要150a元 17三棱锥P−ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()B∵三棱锥P−ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，∴ΔPAB≌ΔPAC≌ΔPBC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC.以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球.∵长方体的对角线长为√3，∴球直径为√3，半径R=，因此，三棱锥P−ABC外接球的表面积是4πR2=4π×()2=3π.故选：B.证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球.算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P−ABC外接球的表面积.本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题. 182011AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于()33C如图，在直二面角a−l−β中，AC⊥l，∴AC⊥β，∴平面ABC⊥平面BCD．过D作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面ABC，即DE为D到平面ABC的距离．在RtΔABC中，∵AC=1，AB=2，∠ACB=90∘，∴BC=√AB2−AC2=√22−12=√3．在RtΔABC中，∵BC=√3，BD=1，∴CD=√BC2−BD2=√3−1=√2．BD⋅CD= 2BC⋅DE得×1×√2= 2×√3⋅DE，∴DE=；如图，连接AD，AB=2，AC=1，同解法1可得BC=√3，CD=√2，∴SRtΔABC=AC⋅BC=×1×√3=，SRtΔABC=CD⋅BD=×√2×1=．设D到平面ABC的距离为h，则由VD−ABC=VA−BCD得SΔABC⋅h=SΔBCD⋅AC，即×h=××1，∴h=．故答案为C 192017下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βDD：设α∩β=l，则β内与直线l平行的直线均不垂直于平面β,故D错. 202018以下说法中正确的个数是()①||与||是否相等与，的方向无关②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小④单位向量都是共线向量⑤零向量的长度为0，没有方向C①正确，||与||是模长，是数量与方向无关；②错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的；④错误，单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况；⑤错误，零向量也有方向，只是方向任意.容易出错的有以下三点：①单位向量；②零向量的方向；③共线向量. 212017在ΔABC中，已知D是BC延长线上一点，若BC=2CD，点E为AD线段的中点，AE=λAB+3−→4AC，则λ=()BB．1413AE=故选B 21− 22AD= 2 2(BD−BA)=+=(+)+=−+3−→4AC．22222018在ΔABC在 3 DP是BN上的—点，若AP=5−→−→11AB+λAC，则实数λ的值为()∵AN=3AC，P是BN上的⼀点∴=μ=μ(−)=μ−=μ−∴AP=AB+BP=AB+μ−→−→−→3AC−μAB=(1−μ)AB+μ−→3AC又已知AP=5−→−→11AB+λAC∴=1−μ且λ=由此求得λ=该类含参问题将参数看做已知代入计算，将待求向量从头加到尾，过程中⼩线段用其所在的大线段表示，然后用已知向量表示待求向量，最后对应相等即可就参数值 232014设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意—点，则OA+OB+OC+OD等于()A．OMB．2OMC．3OMD．4OMD不防令平行四边形ABCD为矩形，如图所示，令O为线段AD的中点OA+OB+OC+OD=(OA+OD)+(OB+OC)=0+4OM=4OM，故答案为D． 242011设满足||=||=1，⋅=−，⟨−,−⟩=60∘，则||的最大值等于A【分析】：利用向量的数量积求出，的夹角，利用向量的运算法则作出图，结合图，判断出四点共圆，利用正弦定理求出外接圆的直径，求出||最⼤值．如图，设=，=，=，则=−，=−．∵||=||=1，∴OA=OB=1．又∵⋅=−，∴cos∠AOB=−，∴∠AOB=120∘．又∵⟨−,−⟩=60∘，而120∘+60∘=180∘，∴O、A、C、B四点共圆，∴当OC为圆的直径时，||最⼤，此时∠OAC=∠OBC=90∘，∴RtΔAOC≅RtΔBOC，∴∠AOC=∠BCO=30∘， ∴∴|OA|=故选A|OC|，∴|OC|=2|OA|=2．【点评】：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理． 252018(x+2)(x−1)6的展开项中x4的系数是()B∵(x−1)6=x6−6x5+15x4−20x3+15x2−6x+1∴(x+2)(x−1)6的展开式中x4的系数是−20+2×15=10. 2620204位同学各自在周六、周日两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为83878D4位同学各自在周六、周日两天中任选—天参加公益活动共有16种选择方法，其中全部选择周六或全部选择周日参加活动的共有2种选择方法，故所求概率为P==．本题考查古典概型的相关知识．计算出算有可能情况的种数，再计算出满足题意的时间的情况数． 27201910如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑⾊部分和白⾊部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取⼀点，则此点取自黑⾊部分的概率是()B设正方形边长为a，则圆的半径为24由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的—半，由⼏何概型概率的计算公式得，此点取自黑⾊部分的概率是=故选B对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P(A)． 2820213将9个相同的球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有⼀个球，且每个盒子中小球的个数都不同，则不同的放法有()种．D【分析】：根据题意，先用挡板法分析每个盒子中至少有1个小球的情况数目，再分类讨论有盒子中的小球个数相同的放法，利用间接法可得结论．先考虑每个盒子中至少有1个小球，用挡板法，9个球中间8个空，插⼊两个板，共有C=28种，其中每个盒子中的小球个数都相同时，有1种放法；两个盒子中的小球个数都相同时，包括：1、1、7；2、2、5；4、4、1，三种情况，每种情况各有3种放所以不同的放法共有28−1−9=18种放法．故选D本题考查排列、组合的应用，利用间接法分析可以避免大量的分类讨论与复杂的计算． 292019在等⽐数列{an}中，如果a5和a9是⼀元⼆次方程x2+7x+9=0的两个根，则a4⋅a7⋅a10的值为A．−27B．27A所以{从而a7<0．由a72=a5⋅a9=9，解得a所以a4⋅a7⋅a10=a73 3020184等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若Sn=2nC (2n−1)(a1+a2n−1) ====2====31在数列{an}中，已知an+1=an+，a1=2，则a99的值是()C∵an+1−an=，…an−an−1=将以上各式相加得：an−a1=[1+2+…+(n−1)]=(n−1)n∴a99=2+×98×99=2427.5． 已知x>2，那么函数y=2x+2+ D通过减常数构造积定y=2x+2+=2x−1++3⩾2+3=5，所以最小值为5，当且仅当2x−1=⇒x=1时取得最小值，选D． 332015不等式−x2+2x+3>0的解集是()A．−3<x<1B．−1<x<3C．x<−1或x>3D．x<−3或x>1B−x2+2x+3>0，⼆次项系数为负，所以我们先将⼆次项系数化为正，即化为x2−2x−3<0，则(x−3)(x+1)<0，则−1<x<3． 342018若两个正实数x,y满足+=1，且不等式x+<m2−3m有解，则实数m的取值范围为()B因为+=1，所以(x++=1+1++⩾2+2.=4所以要满足题中不等式有解，则只需满足m2−3m>4，解得m>4或m<−1． 352015已知a，b>0，且a+3b=1，则ab的A．,+∞)B．(0,D．(0,B因为1=a+3b⩾2√3ab，所以ab⩽，并且大于零．不等式． 362014若log4(3a+4b)=log2√ab，则a+b的最小值是()．A．6+2√3B．7+2√3C．6+4√3D．7+4√3D由log4(3a+4b)=log2√ab得：3a+4b=ab，且3a+4b=ab>0，则=+=1，则a+b=(a+b)(+)=7++⩾7+2⋅=7+4√3，当且仅当=时即b=a=2√3+3时取等号，因此a+b的最小值是7+4√3，故答案为D． 372016不等式x2−2x+5⩾a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()B不等式x2−2x+5⩾a2−3a对任意实数x恒成立，设y=x2−2x+5 382018复数z（i为虚数单位）满足z(2+i)=i−1，则|z|的值是()Az==，|z|= 392017i为虚数单位，则2011等于()C因为===i，所以i2011=−i．故选C40402018已知双曲线x =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()C∵点P在双曲线的右支上，∴|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=4|PF2|，∴|PF2|=|PF1|=a， 412020设椭圆E:+=1(a>b>0)的⼀个焦点F(2,0)，点A(−2,1)为椭圆E内⼀点，若椭圆E上存在⼀点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是()A设椭圆的左焦点为F1(−2,0)．∵|PF1|≤|PA|+|AF1|．∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+8=9．∵|PF1|≥|PA|−|AF1|．∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|−|AF1|+|PF|≥8−1