数学信息必刷卷 04 （新高考新题型专用）试题（含答案解析）

2（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国陆续有多个省份官宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单＋3（多选题3（填空题5（解答题其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。函数和导数不再是压轴类型，甚至有可能是第一道大题，增加的新定义的压轴题，以新旧知识材料为主来考察考生的数学思维能力，难度较大。从2024届九省联考新模式出题方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的变化在于改变以往的死记硬背的备考策略，改变了以前套公式的学习套路，现在主要是考查学生的数学思维的灵活，对三角函数喝数列的考察更加注重技巧的应用，统计概率结合生活情景来考查考生数学在生活中的实际应用，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。一：选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．现有随机选出的20个数据，统计如下，则()7243954616673828282A．该组数据的众数为102B．该组数据的极差为112C．该组数据的中位数为87D．该组数据的80%分位数为1022．的值为(2．的值为() 6222y=1(a>0,b>0)y=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，点M为F1关于渐近线的对称点．若xC:b22aMFMFMFMFx2x2y25．已知(mx+y)(x+y)5的展开式中各项系数之和为一32，则该展开式中含x3y3的项的系数为()6436．已知正四棱锥P一ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为43为(C．4π4π3C．4π4π3*)D．650AD．650的余弦值的最小值为()23 2335435二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)=Atan(负x+Q)(负 π A．负.Q.A=B．f(x)的图象过点,C．函数y=f(x)的图象关于直线x=对称D．若函数y=f(x)+λf(x)在区间(|（-,上不单调，则实数λ的取值范围是[-1,1]10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是()A.△PBD是直角三角形B．异面直线PD与CD1所成的角为C．当AB的长度为定值时，三棱锥D-PBQ的体积为定值ACDD．平面PBD」平面1ACD11．已知函数f(x)=a(ex+1)ln-ex+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1,x2,x3，则()23C．函数g(x)=f(x)+kf(-x)可能有四个零点x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a<+恒成立，则实数a的取值范围是.13．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以A1为球心、为半径的球面与底面ABC的交线长为,则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为.再接下来的三项是20,21,22，依此类推，若该数列的前n项和为Sn，若log2(Sn)eZ,neN*，则称当n之66时，第一次出现的“好数对”是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分）若数列{an}的前n项和为Sn，且.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若{an.bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.1615分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概次信号的传输相互独立.(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(C)，求f(C)的最小值；(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1若β=，求X的分布列和数学期望.1715分）已知点P、A、B是抛物线C:x2=4y上的点，且PA」PB.(1)若点P的坐标为(2,1)，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由.(2)若PA=PB，求‘PAB面积的最小值.1817分）已知函数f(x)=a(x-1)ex+1-2xlnx-x2(aeR).(1)当a=0时，求函数f(x)在区间e-2,1上的最小值；(2)讨论函数f(x)的极值点个数；(3)当函数f(x)无极值点时，求证：asin>.1917分）已知集合A={a1,a2,a3……an}坚x,yeA(x产y)，都有x-y>，则称集合A具有性质Mk.(1)集合A={1,2,a}具有性质M3，求a的最小值；(2)已知A具有性质M15，求证：->；(3)已知A具有性质M15，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一：选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678DDDCDBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9BCDABCBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1513分）【解析】（1）选条件①时，由于an是2与Sn的等差中项；①-②得：2an-2an-1=an，整理得an=2an-1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；所以an=2根2n-1=2n（首项符合），所以an=2n；①-②得：an+1=2an，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；n-1=2n（首项符合通项），所以an=2n；选条件③时，因为Sn=2n+1-2，n所以an=2n（2）若{anbn}是以2为首项，4为公差的等差数列，所以bn=，Tn)-4；n2n-1整理得T=6-2nn2n-11615分）因为0<C<1，所以当C=时，f(C)的最小值（2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4.①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011.2222③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000.33④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111.所以X的分布列为X1234P 49201715分）【解析】（1）解：设直线AB」x轴，则直线AB与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意.2y122,x4，------------因此，直线AB过定点(-2,5).（2）解：由（1）可知，直线AB的斜率存在，且直线AB的方程为y=kx+b，记线段AB的中点为点M.①当k=0时，则A、B关于y轴对称，此时线段AB的垂线为y轴，因为PA=PB，则点P为坐标原点，又因为PA」PB，则ΔPAB为等腰直角三角形，lx=4ylx=4yly=0ly=42+b，即点M(2k,2k2+b)，PA=PB直线PM的斜率为kPM==-，可得b=y0-2-2k2+，2-1xx0不成立，2222)-2k2(k2+322222-122-12，一一因此，‘PAB面积的最小值为16.1817分）因为xee一2,1，所以g,(x)<0．则g(x)在e一2,1上单调递减，)使得f,(x0)=0,f(x)在(e2,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减.因此，f(x)在e一2,1上的最小值是f(e一2)与f(1)两者中的最小者.2e424e2所以函数f(x)在e一2,1上的最小值为一1.e,易知函数y=lnx+x+1在(0,+伪)上单调递增，且值域为R，令lnx+x+1=t，由f,(x)=0，解得a=2tte得h(t)的大致图像如图所示.因此有：方程h(t)=a无解，即f,(x)无零点，f(x)没有极值点；(ⅲ)当0<a<时，方程h(t)=a有两个解，即f,(x)有两个零点，f(x)有两个极值点；(ⅳ)当a<0时，方程h(t)=a有一个解，即f,(x)有一个零点，f(x)有一个极值点.综上，当a<0时，f(x)有一个极值点；当0<a<时，f(x)有两个极值点；当a>时，f(x)没有极值点.由（2）知，当函数f(x)无极值点时，a>，则0<<即不等式asin>成立.1917分）所以a的最小值为6.4*，n，+-=->同（2）证明得n-in-i综上，集合A中元素个数的最大值为7.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国陆续有多个省份官宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单＋3（多选题3（填空题5（解答题其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。函数和导数不再是压轴类型，甚至有可能是第一道大题，增加的新定义的压轴题，以新旧知识材料为主来考察考生的数学思维能力，难度较大。从2024届九省联考新模式出题方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的变化在于改变以往的死记硬背的备考策略，改变了以前套公式的学习套路，现在主要是考查学生的数学思维的灵活，对三角函数喝数列的考察更加注重技巧的应用，统计概率结合生活情景来考查考生数学在生活中的实际应用，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。一：选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．现有随机选出的20个数据，统计如下，则()7243954616673828282A．该组数据的众数为102B．该组数据的极差为112C．该组数据的中位数为87D．该组数据的80%分位数为102【答案】D【解析】将数据按从小到大的顺序排列：82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；对于C，：20x50%=10，：第10个数和第11个数的平均数为中位数，对于D，：20x80%=16，：第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，故选：D.2．【答案】D 故选：D.【答案】D故选：D.=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，点M为F1关于渐近线的对称点．若MFMF12MFMF=2，且△MF1F2的面积为8，则C的方程为()MFMF12MFMFA．x22【答案】C【解析】记F1M与渐近线bx+ay=0相交于点N，由题可知，ON为△MF1F2的中位线，且ON」F1M，所以F2M」F1M，则S‘FFM=MF1MF2=2ab=8，1212xy xy =1.故选：C5．已知(mx+y)(x+y)5的展开式中各项系数之和为一32，则该展开式中含x3y3的项的系数为()【答案】D【解析】令x=y=1得，(m+1).25=32，解得m=2，所以(2x+y)(x+y)5的展开式中含x3y3的项的系2数为-2C+C=-10.故选：D.6．已知正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为()【答案】B【解析】如图，设P在底面ABCD的射影为H，则PH」平面ABCD，且H为AC,BD的交点.因为正四棱锥底面边长为由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R，则OH=4-R，故R2=8+(4-R)2，故R=3，故正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4题π题9=36π,故选：B.A．624B．625C．626D．650【答案】C当n=2k-1,keN*时，an+2-an=2，即数列{an}的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，549a n2an当n2k,kNa n2an1，即数列an的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为1，则a2a4a6…a501，所以S50(a1a3a5…a49)(a2a4a6…a50)626.故选：C8．在三棱锥PABC中，AB2，PC1，PAPB4，CACB2，且PCAB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为() 【答案】A【解析】因为PAPB42a，所以a2，点P的轨迹方程为1（椭球），又因为CACB2，所以点A的轨迹方程为x2y21双曲线的一支）过点P作PHAB,ABPC，而PHPCP,PF,PC面PHC，所以AB面PHC，设O为AB中点，则二面角P-AB-C为PHC，所以不妨设OH2cos,0,π,PHsin,CH2sin2θ+4cos2θ112cos2θ1sin2θ2sin2θ+4cos2θ112cos2θ1sin2θ所以212.sin2122t22 所以当且仅当sinθ=,cosθ=时，(cos经PHC)min=.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)=Atan(Φx+Q)(Φ>0,0<Q<π)的部分图象如图所示，则()B．f(x)的图象过点,C．函数y=f(x)的图象关于直线x=对称D．若函数y=f(x)+λf(x)在区间(|（一,上不单调，则实数λ的取值范围是[一1,1]【答案】BCDππ(5π)ππ(5π)所以Φ.Q.A=，因此本选项不正确；所以本选项正确；f+x=2tan+x+=2tanx，所以f一x=f+x，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称，因此本选项正确；(5ππ](5ππ]λ<1，故选：BCD10．如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是()3A.△PBD是直角三角形B．异面直线PD与CD1所成的角为C．当AB的长度为定值时，三棱锥D一PBQ的体积为定值ACDD．平面PBD」平面1ACD【答案】ABC【解析】对于A，设正方体的棱长为2，点P是AD1的中点，故PD」AD1;则BD2=PD2+PB2，即PD」PB，即△PBD是直角三角形，A正确；对于B，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P则直线DP即为直线A1D，异面直线PD与CD1所成的角即异面直线A1D与CD1所成的角，由于A1B1//AB//CD，A1B=AB=所以A1D//B1C，则经B1CD1即为异面直线A1D与CD1所成的角或其补角，故异面直线PD与CD1所成的角为π,B正确； π ,3对于C，设AB,CD交于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO为△ACD1的中位线，故PO//CD1，PO一平面PBD，CD1丈平面PBD，故CD1//平面PBD，当AB的长度为定值时，CD1到平面PBD的距离为定值，则Q到平面PBD的距离为定值，而△PBD的面积为定值，故VQ一PBD为定值，又三棱锥D一PBQ的体积VD一PBQ=VQ一PBD，故三棱锥D一PBQ的体积为定值，C正确；对于D，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，---------------------------故平面PBD和平面ACD1不垂直，D错误，故选：ABC.11．已知函数f(x)=a(ex+1)ln一ex+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1,x2,x3，则()(1)(1)23C．函数g(x)=f(x)+kf(一x)可能有四个零点f,(x3)x【答案】BCDxxxxxx,x2,x3，当k>0时，令1=0，则x=lnk，只需保证lnk子x1,x2,x3可使得方程有4个实根，故C正确；由B可知，x1=x3，而=ex常f,(x3)=exf,(x3)，xxxxexxlnalnex+1xf,(x3)+a(ex+1)lnex+1=exf,(x3)，故D正确； 1,2故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a<+【解析】因为x+y=6，恒成立，则实数a的取值范围是.2213．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以A1为球心、为半径的球面与底面ABC的交线长为,则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为.【解析】记以A1为球心，为半径的球面与底面ABC的交线半径为r，正三棱柱的高为h，22π2π22侧面AA1B1B在球A1内部分如图（阴影部分）所示，2显然侧面BB1C1C与球A1不相交，再接下来的三项是20,21,22，依此类推，若该数列的前n项和为Sn，若log2(Sn)=Z,n=N*，则称(n,log2(Sn))一次出现的“好数对”是.【答案】(95,14)【解析】若log2(Sn)eZ,neN*，则Sn为2的整数幂，将数列排成如下形式：……kkk2k+1k2可用以2为底的整数幂表示，所以当n之66时，第一次出现的“好数对”是(95,14)，故答案为：(95,14).四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答如果选择多个条件分别作答，那么按第一个解答计分）若数列{an}的前n项和为Sn，且.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若{an.bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】（1）选条件①时，由于an是2与Sn的等差中项；n1②,所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；n1n（首项符合通项），所以an=2n；所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；n1n（首项符合通项），所以an=2n；nn因为n=1时也满足an=2n，所以an=2n（2）若{anbn}是以2为首项，4为公差的等差数列，2n222324...2n+12n222324...2n+1n2n-1整理得T=6-2nn2n-11615分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为a(0<a<1)，1-a；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(0<β<1),1-β.假设每次信号的传输相互独立.(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(a)，求f(a)的最小值；(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X（x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1若β=，求X的分布列和数学期望.因为0<a<1，所以当a=时，f(a)的最小值为.（2）由题设知，X的可能取值为1，2，3，4.①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011.2222③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000.33④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111.所以X的分布列为X1234P 49201715分）已知点P、A、B是抛物线C:x2=4y上的点，且PA」PB.(1)若点P的坐标为(2,1)，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由.(2)若PA=PB，求ΔPAB面积的最小值.【解析】（1）解：设直线AB」x轴，则直线AB与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意.设直线AB的方程为y=kx+b，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1子222,x4，(x12)(x22)所以，x1x2+2(x1+2)(x22因此，直线AB过定点