专题19函数与面积最值问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题18函数与面积最值问题经典例题经典例题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)．(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【例2】抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，与直线y＝kx+3(k为常数)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2(如图1)．(1)求a、c的值；(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF(如图2)．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；(3)过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．【例5】如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为(4，0)，点B坐标为(2，23)，AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t(1)求证：OB＝CB；(2)若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；(3)当PQ⊥OB(垂足为点M)时，求五边形ABHPQ的面积的值．培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．(1)如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；(2)如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求k的值；(3)如图3，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若△AEF的面积为，求点E的坐标．3．如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．点F的坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(3)在x轴上方作正方形AFMN将正方形AFMN沿x轴方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0＜m＜3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2+bx+c(b，c为常数)经过点A(﹣4，0)和点B(0，﹣2)．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．①若sin∠PAB＝，试求四边形OBPC的面积S；②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．7．已知：抛物线y＝﹣x2+2(m﹣1)x+m+1．(1)当m＝﹣1时，求抛物线与x轴的交点坐标．(2)设该抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1＜0＜x2，与y轴交于点C，若线段AO，BO，CO的长度满足，请解决下列问题：①求这个抛物线的解析式．②作直线y＝kx+b交①中的抛物线于点P和点Q，交y轴于点D，请问是否存在直线y＝kx+b，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等？若存在，求出k和b要满足的条件．若不存在，请说明理由．8．点A，B在抛物线y＝ax2(a＞0)上，AB交y轴于点C．(1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，求a的值；(2)过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值；(3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A(﹣1，0)，B(2，0)两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m(0＜m＜3)．(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(﹣2，0)，抛物线经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．11．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．．(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．12．如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；(2)当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；(3)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(4)在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G14．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．(2)如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．16．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根．(1)求抛物线的解析式．(2)若抛物线的顶点为M，作点M关于x轴的对称点N，顺次连接A，M，B，N，在抛物线上存在点D，使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形，求点D的坐标．(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为2？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知抛物线y=a(x-12)2-2，顶点为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．18．已知点A，点B都在双曲线y=kx上．点A的坐标为(1，4)，点B的横坐标为m(m＞2)，分别过点A，点B作x轴的垂线，垂足分别为D，C，且AD，OB相交于点(1)求证：△AOE与直角梯形EDCB的面积相等；(2)延长BO交双曲线y=kx于点F，延长AO交双曲线y=k①当四边形AFHB为矩形时，求点B的坐标；②当四边形AFHB的面积为643时，求直线AB19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(4，2)．点M是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过点M且与边AB交于点N，连接(1)当点M是边BC的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN的面积；(2)在点M的运动过程中，试证明：MBNB20．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)经过点A、B．(1)求c的值及a、b满足的关系式；(2)当x＜0时，若y＝ax2+bx+c(a＜0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；(3)如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为32？若存在，请求出符合条件的所有点P【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题18函数与面积最值问题经典例题经典例题【例1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)．(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m2+m+3)，则K(m，m+1)．因为S△PAD＝•(xD﹣xA)•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣6)，∵D(4，3)在抛物线上，∴3＝a(4+2)×(4﹣6)，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣(x+2)(x﹣6)＝﹣x2+x+3，∵直线l经过A(﹣2，0)、D(4，3)，设直线l的解析式为y＝kx+m(k≠0)，则，解得，，∴直线l的解析式为y＝x+1；(2)如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m2+m+3)，则K(m，m+1)．∵S△PAD＝•(xD﹣xA)•PK＝3PK，∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣(m﹣1)2+，∵﹣＜0，∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P(1，)．(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D(4，3)，∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，∴Q(0，)，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′(0，﹣9)，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，)或(0，﹣9)．【例2】．抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，与直线y＝kx+3(k为常数)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2(如图1)．(1)求a、c的值；(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF(如图2)．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，故c＝1，则抛物线的表达式为y＝ax2+1，当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为(2，3)，即可求解；(2)AB＝4，AC＝2，故AB2＝2AC2，而2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，即可求解；(3)设点A、B的坐标分别为(m，m2+1)，(n，n2+1)，则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝4k2+16，S22＝4(4k2+16)，进而求解．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，故c＝1，则抛物线的表达式为y＝ax2+1，当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为(2，3)，将点B的坐标代入抛物线表达式得：3＝4a+1，解得a＝；(2)由(1)知，当k＝0时，点B(2，3)，则点A(﹣2，3)，则AB＝4，由点A、C的坐标知，AC＝2，故AB2＝2AC2，∵2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，∴△PAC为直角三角形；(3)设直线AB交y轴于点G，则点G(0，3)，设点A、B的坐标分别为(m，m2+1)，(n，n2+1)，联立y＝x2+1和y＝kx+3并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，则m+n＝2k，mn＝﹣4，则m2+n2＝(m+n)2﹣2mn＝(2k)2，由题意得：AD＝m2+2，DF＝﹣m；GF＝4，DE＝n﹣m；BE＝n2+2，EF＝n；则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝(m2+2)(﹣m)(n2+2)n＝(mn)2+(m+n)2﹣2mn+4＝4k2+16，同理可得S22＝[FG(n﹣n)]2＝[4×(n﹣m)]2＝4(n﹣m)2＝4[(m+n)2﹣4mn]＝4(4k2+16)，∵S22＝t•S1S3，即4(4k2+16)＝t(4k2+16)，∵4k2+16＞0，故t＝4．【例3】．如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；(3)过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)把点A(﹣1，0)和B(4，0)的坐标代入函数解析式得方程组，求解可得答案；(2)利用中点坐标公式求得直线AP解析式，即可求解；(3)由(2)可知，C(0，2)，B(4，0)，根据勾股定理及逆定理得∠ACB＝90°，由相似的判定得△PQB∽△ACB，因而可得答案．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+x+2①；(2)过点C、B分别作直线AP的平行线m、n，直线m交y轴于点M，AP交y轴于点N，过点A(﹣1，0)的直线AP的表达式可设为y＝k(x+1)，当x＝0时，y＝k，即点N的坐标为(0，k)，则直线m过点B(4，0)，则其表达式为y＝k(x﹣4)，当x＝0时，y＝﹣4k，即点M(0，﹣4k)，∵S1＝S2，则点N是CM的中点，由中点坐标公式得：k＝(2﹣4k)，解得k＝，故直线AP的表达式为y＝(x+1)②，联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，即点P的坐标为(，)；(3)由(2)可知，C(0，2)，B(4，0)，∴L：y＝﹣x，由题可知，BQ⊥PQ，∠BPQ＝∠CAB，∵CA＝＝，CB＝，AB＝5，∴CA2+CB2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△PQB∽△ACB，则，设点P的坐标为(x，﹣x2+x+2)，点Q(c，﹣c)，则PQ2＝(x﹣c)2+(﹣x2+x+2+c)2，PB2＝(x﹣4)2+(﹣x2+x+2)2，QB2＝(c﹣4)2+(﹣c)2，∴＝＝，解得x＝或，故点P的坐标为(，﹣2)或(，﹣2)或(，﹣)．【例4】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．【分析】(1)把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)①过点C作CE∥AD交抛物线于点E，则△ADE与△ACD面积相等；②过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，分别求解即可．(3)分△ACH∽△CPQ、△ACH∽△PCQ两种情况，求解即可．【解析】(1)把点A、B、D的坐标代入二次函数表达式得：a+b+c=09a-3b+c=0c=3，解得：则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，函数的对称轴为：x=-b则点C的坐标为(﹣1，4)；(2)过点C作CE∥AD交抛物线于点E，交y轴于点H，则△ADE与△ACD面积相等，直线AD过点D，则其表达式为：y＝mx+3，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣3m+3，解得：m＝1，则直线AD的表达式为：y＝x+3，CE∥AD，则直线CE表达式的k值为1，设直线CE的表达式为：y＝x+n，将点C的坐标代入上式得：4＝﹣1+n，解得：n＝5，则直线CE的表达式为：y＝x+5…②，则点H的坐标为(0，5)，联立①②并解得：x＝﹣1或﹣2(x＝1为点C的横坐标)，即点E的坐标为(﹣2，3)；在y轴取一点H′，使DH＝DH′＝2，过点H′作直线E′E″∥AD，则△ADE′、△ADE′′与△ACD面积相等，同理可得直线E′E″的表达式为：y＝x+1…③，联立①③并解得：x=-3±则点E″、E′的坐标分别为(-3+172，-1+172)、(点E的坐标为：(﹣2，3)或(-3+172，-1+172)或((3)设：点P的坐标为(m，n)，n＝﹣m2﹣2m+3，把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：4=-k+bb=3，解得：k=-1即直线CD的表达式为：y＝﹣x+3…④，直线AD的表达式为：y＝x+3，直线CD和直线AD表达式中的k值的乘积为﹣1，故AD⊥CD，而直线PQ⊥CD，故直线PQ表达式中的k值与直线AD表达式中的k值相同，同理可得直线PQ表达式为：y＝x+n﹣m…⑤，联立④⑤并解得：x=3+m-n2，即点Q的坐标为(3+m-n2则：PQ2＝(m-3+m-n2)2+(n-3-m+n2)=(m+n-3)同理可得：PC2＝(m+1)2+[1+(m+1)2]，AH＝2，CH＝4，则AC＝25，当△ACH∽△CPQ时，∴CPPQ即：4PC2＝5PQ2，整理得：3m2+16m+16＝0，解得：m＝﹣4或-4点P的坐标为(﹣4，﹣5)或(-43，当△ACH∽△PCQ时，同理可得：点P的坐标为(-23，故：点P的坐标为：(﹣4，﹣5)或(-43，359)或(-【例5】如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为(4，0)，点B坐标为(2，23)，AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t(1)求证：OB＝CB；(2)若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；(3)当PQ⊥OB(垂足为点M)时，求五边形ABHPQ的面积的值．【分析】(1)根据勾股定理，易得OB＝CB；(2)由题意，∠BOH＝∠HOC＝30°，则可得∠AOB＝30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO＝30°，PO＝t，EO=12PO=t2，由勾股定理可得PE=32t；OQ(3)由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S四边形OABH＝S△OBC=12×4×23=43，由OP＝OQ，可得S△OPQ=12【解析】(1)∵OB=2CB=(2-4)∴OB＝CB；(2)易证：△OBC为等边三角形，∵OH⊥BC，∴∠BOH＝∠HOC＝30°，∴∠AOB＝30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO＝30°，PO＝t，∴EO=12PO=t又∵OQ＝AO﹣AQ=23-∴S=12OQ•PE=12即：S=-34t2(3)易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，∴S四边形OABH＝S△OAB+S△OHB＝S△OHB+S△OHC＝S△OBC=12×4×2易证△OPQ为等边三角形，∴OQ＝OP，即：23-t=t，解得t∴S△OPQ=12OP×3∴S五边形ABHPQ＝S四边形OABH﹣S△OPQ＝43-培优训练培优训练1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．(1)如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；(2)如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．【分析】(1)作AE∥y轴交BC的延长线于点E，先求出A、B、C三点坐标，从而可得BC＝，又OC∥AE，根据平行线分线段成比例可得，解得CE＝，从而BE＝BC+CE＝；(2)作PF∥AE交BC于F，先求出BC解析式，再用同一个字母a表示出P、F的坐标，继而根据△DFP∽△DEA，得到，用含a的式子表示出的值，进而根据同高不等底的两个三角形面积比等于其底之比得到，利用二次函数的解析式即可得到结论；(3)联立直线AP、BC的解析式可得点D坐标为(，)，再求出平移后的二次函数表达式，联立平移前后的两个二次函数表达式可求得点G坐标为(﹣1，﹣4)，接下来分成两类情况讨论：①DG为菱形的边长，②DG为菱形的对角线长，画出图形，利用菱形的对角线性质和中点坐标公式列出方程分别求解即可．【解析】(1)如答图1所示，作AE∥y轴交BC的延长线于点E．令y＝x2+2x﹣3中y＝0，得方程x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1；令y＝x2+2x﹣3中x＝0，得y＝﹣3，则得点A(1，0)，B(﹣3，0)，C(0，﹣3)．∴BO＝OC＝3，OA＝1．∵∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝．又OC∥AE，∴，即，解得：CE＝，故线段BE＝BC+CE＝＝．(2)如答图2，在答图1基础上，作PF∥AE交BC于F．设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B(﹣3，0)、C(0，﹣3)，，解得：．则直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点P坐标为(a，a2+2a﹣3)，点F坐标为(a，﹣a﹣3)，点E坐标为(1，﹣4)，则PF＝﹣a﹣3﹣(a2+2a﹣3)＝﹣a2﹣3a，AE＝4．由PF∥AE，可得△DFP∽△DEA，∴＝＝．又△BDP与△ABD的底可分别看成是DP、DA，而高相等，故＝．∵，∴当a＝时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为(，)．(3)存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下：在(2)的条件下，点P坐标为(，)．设直线AP表达式为y＝mx+n，代入A、P坐标，得：，解得：．则直线AP表达式为y＝．联立，解得：，即点D坐标为(，)．∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，又将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位，则新抛物线的解析式为y＝x2﹣5．联立，解得．即点G坐标为(﹣1，﹣4)．(为了便于观察，现将图象简化，略去平移前的函数图象，只保留平移后的图象)．平移后的二次函数解析式为y＝x2﹣5，则对称轴为x＝0，故点M坐标可设为(m，0)，点N坐标(a，b)．当DG为菱形的边时：①以点D为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M1、M2，作DH⊥y轴于点H，如答图3．此时，DG＝DM1＝DM2＝＝，DH＝，∴M1H＝＝＝M2H．故可得点M1(0，)、M2(0，)．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点N1(，)，N2(，)．②以点G为圆心，DG为半径画圆交y轴于点M3、M4，作GI⊥y轴于点I，如答图4．此时，GD＝GM3＝GM4＝，GI＝1，∴IM4＝＝＝＝．故可得点M3(0，)、M4(0，)．由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：．∴点N3(，)，N4(，)，当DG为菱形的对角线时，则MN为另一对角线，如答图5．则有M5D＝M5G，亦即M5D2＝M5G2．∴＝(﹣1﹣0)2+(﹣4﹣m)2，解得：m＝．即点M5(0，)，由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，解得：，则点N5坐标为(，﹣3)．综上所述，点N的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)或(，﹣3)．2．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求k的值；(3)如图3，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若△AEF的面积为，求点E的坐标．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)△ACD的内心落在x轴上，则∠CAE＝∠DAF，即tan∠CAE＝tan∠DAF，进而求解；(3)求出点G的坐标为(1，2e﹣6)，点F(1，m+n)，由△AEF的面积为＝GF•(xE﹣xA)＝×GF×(e+1)＝，即可求解．【解析】(1)由OB＝3OA＝3知，OA＝1，故点A、B的坐标分别为(﹣1，0)、(3，0)，将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，设点C的坐标为(m，m2﹣2m﹣3)，点D(t，t2﹣2t﹣3)，∵△ACD的内心落在x轴上，则∠CAE＝∠DAF，∴tan∠CAE＝tan∠DAF，即，解得：m+t＝6，联立y＝kx+n和抛物线的表达式得：x2﹣2x﹣3﹣kx﹣n＝0，则m+t＝2+k＝6，解得k＝4；(3)设AE交抛物线对称轴于点G，设点E的坐标为(e，e2﹣2e﹣3)，由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝(e﹣3)x+e﹣3，当x＝1时，y＝2e﹣6，即点G的坐标为(1，2e﹣6)，设直线EF的表达式为y＝mx+n，联立y＝x2﹣2x﹣3和上式并整理得：x2﹣(2+m)x﹣3﹣n＝0，则△＝(﹣2﹣m)2+4(3﹣n)＝0，解得m+n＝﹣m2﹣4，将m+n＝﹣m2﹣4代入x2﹣(2+m)x﹣3﹣n＝0并解得x＝1+m＝e，则m＝2e﹣2，∵点F在直线y＝mx+n上，当x＝1时，y＝m+n，即点F(1，m+n)，则GF＝2e﹣6﹣m﹣n＝2e﹣6+m2+4＝2e﹣6+(2e﹣2)2+4＝e2﹣1，则△AEF的面积为＝GF•(xE﹣xA)＝×GF×(e+1)＝，即×(e2﹣1)(e+1)＝，解得e＝2(不合题意的值已舍去)，故点E(2，﹣3)．3．如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．点F的坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(3)在x轴上方作正方形AFMN将正方形AFMN沿x轴方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．【分析】(1)设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可；(2)△AOE与△ABC相似分两种情况，当∠AOE＝∠ABC时，则OD∥BC，先求直线BC的解析式，再求直线OD的解析式且与抛物线的解析式联立方程组，解方程组求点D的坐标；当∠AEO＝∠ABC时，过点O作OG⊥AC，得到与△OBC相似的三角形，由相似三角形的性质求AG、EG、CE的长，进而求出点E的坐标，再求直线OD的解析式且与抛物线的解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标；(3)设平移时点A的对应点为点A′，由题意可知，正方形A′FMN的边长为1，即点M、N的纵坐标为1，先按正方形A′FMN与△ABC的不同位置关系确定t的取值范围，再求出S关于t的函数解析式．【解析】(1)设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．(2)∵∠OAE＝∠BAC(公共角)，∴△AOE与△ABC相似分两种情况，即∠AOE＝∠ABC或∠AEO＝∠ABC．①如图1，∠AOE＝∠ABC，则OD∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+3，则k+3＝0，解得k＝﹣3，∴y＝﹣3x+3，∴直线OD的解析式为y＝﹣3x；由，得，(不符合题意，舍去)，∴D(，)；②如图2，∠AEO＝∠ABC，作OG⊥AC于点G，EP⊥x轴于点P，EQ⊥y轴于点Q，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝＝3，∴OG＝AG＝AC＝3＝，∵∠OGE＝∠COB＝90°，∴，∴EG＝OG＝×＝，∴CE＝3﹣﹣＝，∴CQ＝EQ＝CE•sin45°＝×＝1，∴PE＝OQ＝3﹣1＝2，∴E(﹣1，2)，设直线OD的解析式为y＝px，则﹣p＝2，解得p＝﹣2，∴y＝﹣2x；由，得，(不符合题意，舍去)，∴D(，2)，综上所述，点D的坐标为(，)或(，2)；(3)设正方形AFMN平移时点A的对应点为点A′，则A′(﹣3+t，0)，F(﹣4+t，0)，由题意可得，正方形A′FMN的边长为1，∴N(﹣3+t，1)，M(﹣4+t，1)；设直线AC的解析式为y＝qx+3，则﹣3q+3＝0，解得q＝1，∴y＝x+3，由(1)得，直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，当点N落在AC上，则﹣3+t+3＝1，解得t＝1；当点M落在AC上，则﹣4+t+3＝1，解得t＝2；当点N落在BC上，则﹣3(﹣3+t)+3＝1，解得t＝；当0≤t≤1时，如图3，A′N交AC于点H，∵∠AA′H＝90°，∴∠A′HA＝90°﹣∠OAC＝90°﹣45°＝45°＝∠OAC，∴A′H＝AA′＝t，∴S＝t2；当1＜t≤2时，如图4，MF、MN分别交AC于点L、点I，∵MN∥x轴，∴∠MIL＝∠OAC＝45°，∵∠M＝∠LFA＝90°，∴∠MLI＝∠FLA＝90°﹣45°＝45°，∴∠MIL＝∠MLI，∠FLA＝∠OAC，∴LF＝AF＝t﹣1，∴ML＝MI＝1﹣(t﹣1)＝2﹣t，∴S＝12﹣(2﹣t)2＝t2+2t﹣1；当2＜t≤时，如图5，S＝12＝1；当＜t≤4时，如图6，MN、A′N分别交BC于点R、点J，∵∠JRN＝∠CBO，∴＝tan∠CBO＝3，∵BA′＝4﹣t，∴JA′＝3BA′＝3(4﹣t)＝12﹣3t，∴JN＝1﹣(12﹣3t)＝3t﹣11，∴RN＝JN＝(3t﹣11)，∴S＝12﹣×(3t﹣11)2＝t2+11t，综上所述，S＝．4．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0＜m＜3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)S△CPD：S△BPD＝1：2，即CD：BD＝1：2，则，故GC＝1，进而求解；(3)由S＝S△ABC+S△BCP＝×AB×CO+×PH×OB，即可求解．【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：y＝a(x+1)(x﹣3)＝a(x2﹣2x﹣3)，即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)如图1：S△CPD：S△BPD＝1：2，即：CD：BD＝1：2，过点D分别作x、y轴的垂线交于点H、G，则，故GC＝1，同理可得：DH＝2，故点D(1，2)；(3)由抛物线的表达式知，点C(0，3)，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，则点H(m，﹣m+3)，设四边形BACP的面积为S，则S＝S△ABC+S△BCP＝×AB×CO+×PH×OB＝×4×3+×3×(﹣m2+2m+3+m﹣3)＝﹣(m﹣)2+≤，故当m＝时，四边形BACP的面积最大，最大值为，此时，点P的坐标为(，)．5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2+bx+c(b，c为常数)经过点A(﹣4，0)和点B(0，﹣2)．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m、n和抛物线的交点即为点P，进而求解；(3)过点O作直线l使直线l与y轴负半轴的夹角为30°，过点M作MH⊥l，交y轴于点N，则点N为所求点，此时2MN+ON最小，进而求解．【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣2①；(2)存在，理由：过点O作直线m∥AB，在直线AB下方和直线m等间隔作直线n，则直线m、n和抛物线的交点即为点P，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x﹣2，则直线m的表达式为y＝﹣x②，直线n的表达式为y＝﹣x﹣4③，联立①②、①③并解得：x＝﹣2±2或x＝﹣2，故点P的坐标为(﹣2﹣2，1+)或(﹣2+2，1﹣)或(﹣2，﹣3)；(3)过点M作MK∥y轴交AB于点K，设点M的坐标为(x，x2+x﹣2)，点K(x，﹣x﹣2)，则△MAB的面积＝×MK×OA＝2(﹣x﹣2﹣x2﹣x+2)＝﹣x2﹣4x，∵﹣1＜0，故△MAB的面积存在最大值，此时x＝﹣2，则点M的坐标为(﹣2，﹣3)，过点O作直线l使直线l与y轴负半轴的夹角为30°，过点M作MH⊥l，交y轴于点N，则点N为所求点，此时2MN+ON最小，理由：HN＝ONsin30°＝ON，则2MN+ON＝2(MN+ON)＝2MH为最小，过点M作MT⊥y轴于点T，则∠NMT＝∠NOH＝30°，则设MH的表达式为y＝x+t，直线MH过点M(﹣2，﹣3)，代入上式得：y＝(x+2)﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，则点N的坐标为(0，﹣3)，则ON＝3﹣，则NH＝﹣，由点M、N的坐标得，MN＝＝，则2MN+ON的最小值为：+3﹣＝3+2．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．①若sin∠PAB＝，试求四边形OBPC的面积S；②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．【分析】(1)令x＝0，求出y，可以得到C点坐标，将A和C点坐标代入到二次函数解析式中，得到一个二元一次方程组，解方程组，可以求出二次函数解析式；(2)①过P作PG⊥AB于G，由sin∠PAB＝，可以求得AG＝2PG，设P()，用含m的式子列出PG和AG，根据AG＝2PG，列出方程，求得m，得到P(3，2)，由于P和C的纵坐标相同，所以PC∥AB，所以OBPC为梯形，利用梯形面积计算公式求得S；②由于，利用“斜化直”，过P和A作x轴垂线与直线BC交于M和N点，可以证得△PMD∽△AND，所以，设P()，则，当m＝2时，取得最大值．【解析】(1)令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)，将A(﹣1，0)，B(4，0)代入到抛物线解析式中得，，解得，∴抛物线的解析式为，C(0，2)；(2)①如图1，过P作PG⊥AB于G，设P()，∴，AG＝m+1，∵，∴，设PG＝，则PA＝5n，∴，∴AG＝2PG，∴m+1＝﹣m2+3m+4，∴m＝3或﹣1，∵P在第一象限，∴m＝3，∴PG＝2，∴P(3，2)，又C(0，2)，∴PC∥AB，∴四边形OBPC的面积为S＝；②如图2，过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，则AN∥PM，∴△PMD∽△AND，∴，设直线BC为y＝kx+2，代入点C(4，0)得，4k+2＝0，∴，∴直线BC为y＝，设P()，则M(m，)，∴，当x＝﹣1时，，∴，∴，∴＝＝＝，∵P是第一象限的点，∴0＜m＜4，∴m＝2时，的最大值为．7．已知：抛物线y＝﹣x2+2(m﹣1)x+m+1．(1)当m＝﹣1时，求抛物线与x轴的交点坐标．(2)设该抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1＜0＜x2，与y轴交于点C，若线段AO，BO，CO的长度满足，请解决下列问题：①求这个抛物线的解析式．②作直线y＝kx+b交①中的抛物线于点P和点Q，交y轴于点D，请问是否存在直线y＝kx+b，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等？若存在，求出k和b要满足的条件．若不存在，请说明理由．【分析】(1)当m＝﹣1时，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x，令y＝﹣x2﹣2x＝0，解得x＝0或﹣2，即可求解；(2)①令y＝﹣x2+2(m﹣1)x+m+1＝0，则x1+x2＝2(m﹣1)，x1x2＝﹣m﹣1，则＝＝﹣＝＝，即可求解；②△CDP的面积和△CDQ的面积相等，则点D是PQ的中点，则xP＝﹣xQ，进而求解．【解析】(1)当m＝﹣1时，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x，令y＝﹣x2﹣2x＝0，解得x＝0或﹣2，故抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)或(﹣2，0)；(2)①令y＝﹣x2+2(m﹣1)x+m+1＝0，则x1+x2＝2(m﹣1)，x1x2＝﹣m﹣1，则＝＝﹣＝＝＝，解得m＝2，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；②存在着直线y＝kx+b与抛物线交于点P、Q，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等，设点P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ，则点D是PQ的中点，则xP＝﹣xQ，由，得x2+(k﹣2)x+(b﹣3)＝0，∴xP+xQ＝2﹣k＝0，∴k＝2，又∵直线与抛物线有两个交点，﹣4(b﹣3)＞0，解得b＜3，∴当k＝2且b＜3时直线y＝kx+b与抛物线交于点P，Q，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等．8．点A，B在抛物线y＝ax2(a＞0)上，AB交y轴于点C．(1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，求a的值；(2)过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值；(3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A(﹣1，0)，B(2，0)两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标．【分析】(1)求出OD的解析式，确定D点坐标即可求出a值；(2)通过AB的解析式和抛物线解析式求解A、B两点坐标，从而可获得AH所在的解析式，再通过B点横坐标求出点H和点G的坐标，从而得到BH的长度，再通过点A和点G的坐标求解AG的解析式，从而得到OK的长度，最终可得OK•BH的长度；(3)通过平移前后a的值不变，代入A、B两点坐标求出平移后抛物线的解析式，设P点坐标为(0，e)，分别用n表示出BN、AM所在直线的解析式，将两条解析式与抛物线联立，求出N、M的坐标，再根据三角形面积公式分别表示出S1、S2、S3，最后根据题干条件求出P点坐标即可．【解析】(1)∵AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，∴OD的解析式为y＝x；C点的坐标为(0，2)；又∵DC⊥y轴；∴D点的纵坐标为2，将y＝2代入y＝x中，得x＝2，∴D点的坐标为(2，2)将点D(2，2)代入y＝ax2(a＞0)中，解得a＝；(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2，∴解得，；∴；；∴由图可知点A坐标为，点B的坐标为，由图可知，直线AH过原点，∴设AH的解析式为y＝kx，将A点坐标代入，解得k＝；∴，又∵BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，∴点G的坐标为()点H的横坐标为，将点H横坐标代到y＝x中得y＝﹣2，∴点H的坐标为()；∴BH＝BG+GH＝；设AG所在直线的解析式为y1＝k1x+b，代入A、G两点的坐标得：解得：k1＝，b＝；∴y1＝x+；∴OK＝；∴OK•BH＝＝4．(3)∵a＝1，∴设平移后抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，将A(﹣1，0)，B(2，0)两点代入可得b＝﹣1，c＝﹣2；∴y＝x2﹣x﹣2；设点P的坐标为(0，e)∴将点A、P坐标代入可得AM所在直线的解析式为yAM＝ex+e；将点B、P坐标代入可得BN所在直线的解析式为yBN＝﹣x+e；又∵N、M在抛物线上，∴解得xM＝e+2，∴解得xN＝﹣1﹣，∴yN＝+e；∵AB＝3，∴S3＝S△APB＝•AB•OP＝；S1＝S△PNA＝S△NAB﹣S△APB＝×3×(+e)﹣e＝(+)；S2＝S△PMB＝S△MAB﹣S△APB＝＝代入得e＝1或﹣5(舍弃)，∴P(0，1)．9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m(0＜m＜3)．(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)①当∠APC为直角时，证明∠NPC＝∠PAE，则tan∠NPC＝tan∠PAE，即，即可求解；②当∠ACP′为直角时，同理可解；③当∠CAP″为直角时，同理可解；(3)S+S1＝S△ABM﹣S△AON＝×AB•ME﹣×AO•ON；S+S2＝S△BOC＝×OB×OC＝，即可求解．【解析】(1)设抛物线的表达式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，则y＝a(x+1)(x﹣3)＝ax2﹣2ax﹣3a，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，则tan∠OBC＝＝1；(2)当m＝1时，则直线l为抛物线的对称轴，如图1，连接AC，设点P(1，m)，①当∠APC为直角时，则CN＝1，PN＝3﹣m，AE＝1﹣(﹣1)＝2，PE＝m，过点C作CN⊥ME于点N，∵∠NPC+∠APE＝90°，∠APE+∠PAE＝90°，∴∠NPC＝∠PAE，∴tan∠NPC＝tan∠PAE，即，∴，解得m＝1或2，故点P的坐标为(1，1)或(1，2)；②当∠ACP′为直角时，同理可得：点P′的坐标为(1，)；③当∠CAP″为直角时，同理可得，点P″的坐标为(1，﹣)(舍去)，综上，点P的坐标为(1，1)或(1，2)或(1，)；(3)设点M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y＝(3﹣m)(x+1)，则点N的坐标为(0，3﹣m)，设四边形ONDB的面积为S，则S+S1＝S△ABM﹣S△AON＝×AB•ME﹣×AO•ON＝•(3+1)×(﹣m2+2m+3)﹣×1×(3﹣m)＝﹣2m2+m+；则S+S2＝S△BOC＝×OB×OC＝，则S1﹣S2＝(S+S1)﹣(S+S2)＝﹣2m2+m，∵﹣2＜0，故S1﹣S2有最大值．当m＝时，S1﹣S2的最大值为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(﹣2，0)，抛物线经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由直线求得A，B，再由待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)证明出△BOA≌△DOA即可；(3)根据△BPA面积最大时，四边形BEAP的面积最大，先设点P的坐标为(t，t2+t+3)，表示出S△ABP＝(t﹣3)2+，即可得出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值．【解析】(1)令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴A(6，0)，B(0，3)，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；(2)证明：∵在平面直角坐标系xOy中，∴∠BOA＝∠DOA＝90°，在△BOA和△DOA中，，∴△BOA≌△DOA(ASA)，∴OB＝OD，(3)存在，理由如下：如图，过点E作EM⊥y轴于点M，∵y＝x2+x+3＝(x﹣2)2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∴E点的横坐标是2，即EM＝2，∵B(0，3)，∴OB＝OD＝3，∴BD＝6，∵A(6，0)，∴OA＝6，∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，设点P的坐标为(t，t2+t+3)，连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作H2⊥PN于点H2，∴N(t，﹣t+3)，∴PN＝t2+t+3﹣(﹣t+3)＝t2+t，∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，∴S△ABP＝×6(t2+t)＝(t﹣3)2+，∵＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，∴当P点坐标是(3，)时，四边形BEAP面积的最大值是．11．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．．(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入y＝ax2+bx+3，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB＝CD，设D(4，m)，由勾股定理可得42+(m﹣3)2＝62+32．解方程可得出答案；(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(n，14n2-2n+3)，则Q(12n，18n2-n+32)，设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则18n2-n+32【解析】(1)将A(2，0)，B(6，0)代入y＝ax2+bx+3，得4a+2b+3=036a+6b+3=0解得a=∴二次函数的解析式为y=14x∵y=1∴E(4，﹣1)．(2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D(4，m)，∵C(0，3)，由勾股定理可得：42+(m﹣3)2＝62+32．解得m＝3±29．∴满足条件的点D的坐标为(4，3+29)或(4，3-(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(n，14n2-2n+3)，则设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则18n解得k=14n-2-3n，于是CQ：y当x＝4时，y＝4(14n-2-3n)+3＝∴M(4，n﹣5-12n)，ME＝n﹣4∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM=1∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P(10，8)，当n＝﹣6时，P(﹣6，24)．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(﹣6，24)．12．如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；(2)当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；(3)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(4)在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．【分析】(1)利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；(2)过点D作DM∥y轴，交AC于点M，求出M点的坐标，根据S△ACD＝S△ADM+S△CDM可求出答案；(3)如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D(x，﹣x2﹣2x+3)，则K(x，0)．并由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．(4)分四种不同情况：当0≤t≤1时，当1＜t≤2时，当2＜t≤113时，当【解析】(1)设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)分别代入得：9a-3b+c=0a+b+c=0解得：a=-1b=-2故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，所以该抛物线的顶点坐标是(﹣1，4)；(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为(﹣1，4)，过点D作DM∥y轴，交AC于点M，∵AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为(﹣1，2)，则DM＝2，∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM=12×(3)如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D(x，﹣x2﹣2x+3)，则K(x，0)．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴-x2-2x+3-x=3，解得x1=∴D(1-132，②∠AOD＝∠ACB．∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴-x2-2x+3-x=2，解得x1=-∴D(-3，23综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是(1-132，313-32(4)如图3，设A点移动后的对应点为E，EN与AC交于点G，当0≤t≤1时，∵OA＝OC，GE∥OC，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝EG＝t，∴S△AEG=1当1＜t≤2时，如图4，同理△AFG为等腰直角三角形，∴AF＝GF＝t﹣1，∴MG＝MH＝1﹣(t﹣1)＝2﹣t，∴S△MHG=12MG•MH∴S五边形GFENH＝1﹣S△MHG＝1-12(2﹣t)2=-1当2＜t≤11S＝S正方形MFEN＝1；当113＜t≤4时，如图6，正方形MFEN与BC边交于G，过点G作GK⊥OB于点K，∴GK∥OC，∴△GKB∽△COB，∴BKOB∴BK1∴BK=1∴AK＝4-1∴KE＝GN＝AE﹣AK＝t-11∵△GNH∽△BOC，∴GNOB∴NH＝3t﹣11，∴S△GNH=12GN•NH∴S五边形MFEHG＝1﹣S△GNH＝1-(3综合以上可得S=113．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35？若存在，求出点G【分析】(1)依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；(2)可通过点B，点D求出线段BD所在的直线关系式，点E在线段BD上，即可设点E的坐标，利用点与点的关系公式，通过EF＝ED即可求解；(3)分两种情形分别求解，求出直线DG的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．【解析】(1)依题意，设二次函数的解析式为y＝a(x﹣1)2+3将点B代入得0＝a(5﹣1)2+3，得a=-∴二次函数的表达式为：y=-316(x﹣1)(2)依题意，点B(5，0)，点D(1，3)，设直线BD的解析式为y＝kx+b，代入得0=5k+b3=k+b，解得∴线段BD所在的直线为y=-34x设点E的坐标为：(x，-34x∴ED2＝(x﹣1)2+(-34x+15EF2=(-∵ED＝EF，∴(x﹣1)2+(-34x+154整理得2x2+5x﹣25＝0，解得x1=52，x故点E的纵坐标为y=-∴点E的坐标为((3)存在点G，当点G在x轴的上方时，设直线DG交x轴于P，设P(t，0)，作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由题意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴(﹣3﹣t)：(5﹣t)＝3：5，解得t＝﹣15，∴直线DG的解析式为y=316x由y=3解得x=0y=4516∴G(0，4516当点G在x轴下方时，如图2所示，∵AO：OB＝3：5∴当点G在DO的延长线上时，存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx，将点D代入得k＝3，故y＝3x，则有y=3x整理得，(x﹣1)(x+15)＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝﹣15当x＝﹣15时，y＝﹣45，故点G为(﹣15，﹣45)．综上所述，点G的坐标为(0，451614．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标．(2)如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．【分析】(1)根据抛物线勾股点的定义即可得；(2)作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG＝1、PG=3、PA＝2，由tan∠PAB=PGAG=3知∠PAG(3)由S△ABQ＝S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为3，据此求解可得．【解析】(1)抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为(0，1)；(2)抛物线y＝ax2+bx过原点，即点A(0，0)，如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标为(1，3)，∴AG＝1、PG=3，PA=∵tan∠PAB=PG∴∠PAG＝60°，在Rt△PAB中，AB=PA∴点B坐标为(4，0)，设y＝ax(x﹣4)，将点P(1，3)代入得：a=-3∴y=-33x(x﹣4)=-33x(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有-33x2+4解得：x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为-3则有-33x2+4解得：x1＝2+7，x2＝2-∴点Q的坐标为(2+7，-3)或(2-7综上，满足条件的点Q有3个：(3，3)或(2+7，-3)或(2-715．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【分析】(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；(3)可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．．【解析】(1)由题意可得a-b+c=016a+4b+c=0c=2，解得∴抛物线解析式为y=-12x2+(2)当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，∴D(3，2)；当点D在x轴下方时，∵∠DBA＝∠CAO，∴BD∥AC，∵C(0，2)，∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A(﹣1，0)代入可求得k＝2，∴直线AC解析式为y＝2x+2，∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B(4，0)代入可求得m＝﹣8，∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得y=2x-8y=-12x2∴D(﹣5，﹣18)；综上可知满足条件的点D的坐标为(3，2)或(﹣5，﹣18)；(3)设P(t，-12t2+∵AB＝5，OC＝2，∴S△PAB=12(-12t2+32∵OF-∴OF=-12(∴S△AFO=12×1×[-12(t﹣4)]=-14(∴S1﹣S2=-54t2+154t+5+14(t﹣4)﹣4=-54t2+4t∴当t=85时，有S1﹣S2有最大值，最大值为16．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根．(1)求抛物线的解析式．(2)若抛物线的顶点为M，作点M关于x轴的对称点N，顺次连接A，M，B，N，在抛物线上存在点D，使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形，求点D的坐标．(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为2？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据解方程，可得A，B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行四边形的性质，可得CE，根据解方程组，可得答案；(3)根据三角形的面积，可得一元二次方程，根据解方程，可得自变量的值，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．【解析】(1)x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝3，x2＝﹣1，A(﹣1，0)，B(3，0)．将A，B点坐标代入函数解析式，得-1-b+c=0-9+3b+c=0解得b=2c=3抛物线y＝﹣x2+2x+3；(2)如图1，当x＝0时，y＝3，即C(0，3)，y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，即M(1，4)，点M关于x轴的对称点N，得N(1，﹣4)．由AMBN是平行四边形，得E是平行四边形的中点，E(1，0)，连接CE交抛物线于D点，联立抛物线与直线CE，得y=-3x+3y=-解得x=0y=3(不符合题意，舍)，x=5即D(5，﹣12)；(3)在抛物线上存在点P，使△PBC中BC边上的高为2，如图2，作PF⊥BC于F点，PD⊥AB于D交BC于E点，BC的解析式为y＝﹣x+3，设P(m，﹣m2+2m+3)，E(m，﹣m+3)，PE＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m，S△PBC=12BC•PF=12PE•(xB12×32×2=1得m2﹣3m+2＝0，解得m1＝1，m2＝2，P(1，4)，(2，3)．同理，P点在BC下面时，P(3-172，17-12)，(综上所述，P(1，4)，(2，3)，P(3-172，17-12)，(17．已知抛物线y=a(x-12)2-2，顶点为(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；(3)如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．【