专题5二次函数与面积最值定值问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战20224年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4图5图6

【例1】(2021•内江)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)．(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【例2】(2021•西宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(﹣2，0)，抛物线经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．【例3】(2021•贵港)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A(﹣3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【例4】(2021•襄阳)如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．(1)求出点A，B的坐标及c的值；(2)若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；(3)连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．【题组一】1．(2021•沈河区二模)如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；(3)过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．2．(2021•泰兴市模拟)抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，与直线y＝kx+3(k为常数)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2(如图1)．(1)求a、c的值；(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF(如图2)．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．3．(2021•雁塔区校级模拟)如图，抛物线C1的图象与x轴交A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线C1的表达式及点D坐标；(2)将抛物线C1平移到抛物线C2，点B，C对应的点分别是B′，C′，此时以B，C，B′，C′为顶点的四边形是面积为24的矩形，请求出抛物线C2的表达式，并写出平移过程．4．(2021•丽江模拟)已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数)，抛物线的顶点为A．(1)求抛物线顶点A的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：无论m取何值，该抛物线与x轴都有两个交点；(3)该抛物线与x轴的两个交点分别为B，D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．【题组二】5．(2020•大庆)如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(﹣1，7)和点D(5，7)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；(3)在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．(直接写出结果即可)6．(2020•湘阴县一模)平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(﹣1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．7．(2020•江都区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，A(2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．(2020•南宁模拟)如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；(3)已知H(0，﹣1)，点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．【题组三】9．(2020•浙江自主招生)如图①，抛物线y＝﹣x2+(m﹣2)x+3与y轴交于点C，与直线y＝mx交于A，B两点(点A，B分别在第一，三象限)，连结AC．(1)当AC⊥AB时，求m的值；(2)如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO＝∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．10．(2020•鼓楼区校级模拟)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在B左边)，与y轴交于点C．(1)若A(﹣1，0)，B(3，0)两点，求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；(3)直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．11．(2020•驻马店二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A(m，0)和点B(﹣2，n)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．(2020•三水区校级二模)如图(1)，抛物线y＝ax2+bx经过A和B(3，﹣3)两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方(不与O、B重合)，过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；(3)如图(2)，过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【题组四】13．(2020•临清市二模)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．14．(2020•黄冈模拟)如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；(2)当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；(3)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(4)在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．15．(2020•东胜区模拟)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．16．(2020•郓城县模拟)如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1，0)、C(﹣2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【题组五】17．(2020•简阳市一模)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．18．(2020•靖远县二模)如图，抛物线y＝ax2+(4a﹣1)x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点(不与点B重合)，过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；(3)在(2)的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．19．(2021•天心区二模)如图，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的一个动点，连接PA，交直线BC于点D．①若sin∠PAB＝，试求四边形OBPC的面积S；②设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．20．(2021•北辰区二模)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2+bx+c(b，c为常数)经过点A(﹣4，0)和点B(0，﹣2)．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN+ON的最小值．【题组六】21．(2021•安徽三模)如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0＜m＜3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．22．(2021•深圳模拟)如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．点F的坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(3)在x轴上方作正方形AFMN将正方形AFMN沿x轴方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．23．(2021•江岸区模拟)如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，OB＝3OA＝3．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，直线y＝kx+n与抛物线交于点C、D，若△ACD的内心落在x轴上，求k的值；(3)如图3，直线l与抛物线有且只有一个公共点E，l与抛物线对称轴交于点F，若△AEF的面积为，求点E的坐标．24．(2021•江北区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．(1)如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；(2)如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．【题组七】25．(2021•峨眉山市模拟)如图，已知直线y＝与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．(1)求抛物线的解析式；(2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．26．(2021•醴陵市模拟)已知：抛物线y＝﹣x2+2(m﹣1)x+m+1．(1)当m＝﹣1时，求抛物线与x轴的交点坐标．(2)设该抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1＜0＜x2，与y轴交于点C，若线段AO，BO，CO的长度满足，请解决下列问题：①求这个抛物线的解析式．②作直线y＝kx+b交①中的抛物线于点P和点Q，交y轴于点D，请问是否存在直线y＝kx+b，使△CDP的面积和△CDQ的面积相等？若存在，求出k和b要满足的条件．若不存在，请说明理由．27．(2021•武汉模拟)点A，B在抛物线y＝ax2(a＞0)上，AB交y轴于点C．(1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2，求a的值；(2)过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值；(3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A(﹣1，0)，B(2，0)两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标．28．(2021•章丘区模拟)如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m(0＜m＜3)．(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4图5图6

【例1】(2021•内江)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)．(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P(m，﹣m2+m+3)，则E(m，m+1)．因为S△PAD＝•(xD﹣xA)•PE＝3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣6)，∵D(4，3)在抛物线上，∴3＝a(4+2)×(4﹣6)，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣(x+2)(x﹣6)＝﹣x2+x+3，∵直线l经过A(﹣2，0)、D(4，3)，设直线l的解析式为y＝kx+m(k≠0)，则，解得，，∴直线l的解析式为y＝x+1；(2)如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P(m，﹣m2+m+3)，则E(m，m+1)．∵S△PAD＝•(xD﹣xA)•PE＝3PE，∴PE的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PE＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣(m﹣1)2+，∵﹣＜0，∴m＝1时，PE的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P(1，)．(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D(4，3)，∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，∴Q(0，)，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′(0，﹣9)，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，)或(0，﹣9)．【例2】(2021•西宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为(﹣2，0)，抛物线经过A，B，C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；(3)在(2)的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由直线求得A，B，再由待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)证明出△BOA≌△DOA即可；(3)根据△BPA面积最大时，四边形BEAP的面积最大，先设点P的坐标为(t，t2+t+3)，表示出S△ABP＝(t﹣3)2+，即可得出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值．【解析】(1)令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，∴A(6，0)，B(0，3)，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；(2)证明：∵在平面直角坐标系xOy中，∴∠BOA＝∠DOA＝90°，在△BOA和△DOA中，，∴△BOA≌△DOA(ASA)，∴OB＝OD，(3)存在，理由如下：如图，过点E作EM⊥y轴于点M，∵y＝x2+x+3＝(x﹣2)2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∴E点的横坐标是2，即EM＝2，∵B(0，3)，∴OB＝OD＝3，∴BD＝6，∵A(6，0)，∴OA＝6，∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，设点P的坐标为(t，t2+t+3)，连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作H2⊥PN于点H2，∴N(t，﹣t+3)，∴PN＝t2+t+3﹣(﹣t+3)＝t2+t，∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，∴S△ABP＝×6(t2+t)＝(t﹣3)2+，∵＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，∴当P点坐标是(3，)时，四边形BEAP面积的最大值是．【例3】(2021•贵港)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A(﹣3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．【分析】(1)先根据对称轴得出b＝2a，再由点C的坐标求出c＝2，最后将点A的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；(2)分两种情况，Ⅰ、当点D在x轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E在直线x＝﹣1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；Ⅱ、当点D在x轴下方时，判断出BD∥AC，即可得出结论；(3)先求出点D的坐标，进而求出△ABD的面积，得出△PBD的面积，设P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F(m，m﹣)，进而表示出PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．【解析】(1)∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵点C的坐标为(0，2)，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，∵点A(﹣3，0)在抛物线上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；(2)Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴点E在直线x＝﹣1上，∵点A(﹣3，0)，C(0，2)，∴直线AC的解析式为y＝x+2，当x＝﹣1时，y＝，∴点E(﹣1，)，∵点A(﹣3，0)点B关于x＝﹣1对称，∴B(1，0)，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，即直线l的解析式为y＝﹣x+；Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，即直线l的解析式为y＝x﹣；综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；(3)由(2)知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，∴或，∴D(﹣4，﹣)，∴S△ABD＝AB•|yD|＝×4×＝，∵S△BDP＝S△ABD，∴S△BDP＝×＝10，∵点P在y轴左侧的抛物线上，∴设P(m，﹣m2﹣m+2)(m＜0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，∴F(m，m﹣)，∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣(m﹣)|＝|m2+2m﹣|，∴S△BDP＝PF•(xB﹣xD)＝×|m2+2m﹣|×5＝10，∴m＝﹣5或m＝2(舍)或m＝﹣1或m＝﹣2，∴P(﹣5，﹣8)或(﹣1，)或(﹣2，2)．【例4】(2021•襄阳)如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．(1)求出点A，B的坐标及c的值；(2)若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；(3)连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．【分析】(1)先求出点A(0，1)，点B(﹣2，0)，将点A坐标代入解析式可求c的值；(2)分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；(3)①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；②分三种情况讨论，解不等式可求解．【解析】(1)∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，∴点A(0，1)，点B(﹣2，0)，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，∴c＝1；(2)∵y＝ax2﹣2ax+1＝a(x﹣1)2+1﹣a，∴对称轴为直线x＝1，当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y有最大值，∴9a+1﹣a＝a+2，解得：a＝；当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，y有最大值，∴4a+1﹣a＝a+2，解得：a＝(不合题意舍去)，综上所述：a＝；(3)①当a＜0时，则1﹣a＞1，如图1，过点P作PN⊥y轴于N，∵y＝ax2﹣2ax+1＝a(x﹣1)2+1﹣a，∴点P坐标为(1，1﹣a)，∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，∵AM⊥AP，PN⊥y轴，∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，∴∠PAN＝∠AMO，∴△AOM≌△PNA(AAS)，∴OM＝AN＝﹣a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×(2﹣a)(1﹣a)＝a2﹣a+1；当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，如图2，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣(1﹣a)＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×(2﹣a)(1﹣a)＝a2﹣a+1；当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，如图3，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×(2﹣a)(a﹣1)＝﹣a2+a﹣1；当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，如图4，过点P作PN⊥y轴于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝a﹣2，∴S＝×(a﹣2)(a﹣1)＝a2﹣a+1；综上所述：S＝．②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣(a﹣)2+≤，∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，∴(a﹣)(a﹣)＞0，∴a＜或a＞(不合题意舍去)；当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，∴(a﹣)(a﹣)＞0，∴a＜(不合题意舍去)或a＞，综上所述：a＜且a≠0或a＞．【题组一】1．(2021•沈河区二模)如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点(不与点A，B，C重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，设△ACP的面积为S1，△ABP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；(3)过点O作直线l∥BC，点Q是直线l上的动点，当BQ⊥PQ，且∠BPQ＝∠CAB时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)把点A(﹣1，0)和B(4，0)的坐标代入函数解析式得方程组，求解可得答案；(2)利用中点坐标公式求得直线AP解析式，即可求解；(3)由(2)可知，C(0，2)，B(4，0)，根据勾股定理及逆定理得∠ACB＝90°，由相似的判定得△PQB∽△ACB，因而可得答案．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(4，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+x+2①；(2)过点C、B分别作直线AP的平行线m、n，直线m交y轴于点M，AP交y轴于点N，过点A(﹣1，0)的直线AP的表达式可设为y＝k(x+1)，当x＝0时，y＝k，即点N的坐标为(0，k)，则直线m过点B(4，0)，则其表达式为y＝k(x﹣4)，当x＝0时，y＝﹣4k，即点M(0，﹣4k)，∵S1＝S2，则点N是CM的中点，由中点坐标公式得：k＝(2﹣4k)，解得k＝，故直线AP的表达式为y＝(x+1)②，联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，即点P的坐标为(，)；(3)由(2)可知，C(0，2)，B(4，0)，∴L：y＝﹣x，由题可知，BQ⊥PQ，∠BPQ＝∠CAB，∵CA＝＝，CB＝，AB＝5，∴CA2+CB2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△PQB∽△ACB，则，设点P的坐标为(x，﹣x2+x+2)，点Q(c，﹣c)，则PQ2＝(x﹣c)2+(﹣x2+x+2+c)2，PB2＝(x﹣4)2+(﹣x2+x+2)2，QB2＝(c﹣4)2+(﹣c)2，∴＝＝，解得x＝或，故点P的坐标为(，﹣2)或(，﹣2)或(，﹣)．2．(2021•泰兴市模拟)抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，与直线y＝kx+3(k为常数)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2(如图1)．(1)求a、c的值；(2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2+2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由；(3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF(如图2)．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，故c＝1，则抛物线的表达式为y＝ax2+1，当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为(2，3)，即可求解；(2)AB＝4，AC＝2，故AB2＝2AC2，而2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，即可求解；(3)设点A、B的坐标分别为(m，m2+1)，(n，n2+1)，则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝4k2+16，S22＝4(4k2+16)，进而求解．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C(0，1)，故c＝1，则抛物线的表达式为y＝ax2+1，当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为(2，3)，将点B的坐标代入抛物线表达式得：3＝4a+1，解得a＝；(2)由(1)知，当k＝0时，点B(2，3)，则点A(﹣2，3)，则AB＝4，由点A、C的坐标知，AC＝2，故AB2＝2AC2，∵2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2，∴△PAC为直角三角形；(3)设直线AB交y轴于点G，则点G(0，3)，设点A、B的坐标分别为(m，m2+1)，(n，n2+1)，联立y＝x2+1和y＝kx+3并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0，则m+n＝2k，mn＝﹣4，则m2+n2＝(m+n)2﹣2mn＝(2k)2，由题意得：AD＝m2+2，DF＝﹣m；GF＝4，DE＝n﹣m；BE＝n2+2，EF＝n；则S1S3＝×AD•DF××EF•BE＝(m2+2)(﹣m)(n2+2)n＝(mn)2+(m+n)2﹣2mn+4＝4k2+16，同理可得S22＝[FG(n﹣n)]2＝[4×(n﹣m)]2＝4(n﹣m)2＝4[(m+n)2﹣4mn]＝4(4k2+16)，∵S22＝t•S1S3，即4(4k2+16)＝t(4k2+16)，∵4k2+16＞0，故t＝4．3．(2021•雁塔区校级模拟)如图，抛物线C1的图象与x轴交A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣3)，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线C1的表达式及点D坐标；(2)将抛物线C1平移到抛物线C2，点B，C对应的点分别是B′，C′，此时以B，C，B′，C′为顶点的四边形是面积为24的矩形，请求出抛物线C2的表达式，并写出平移过程．【分析】(1)利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入解方程组即可求解，用配方法求顶点坐标；(2)依据题意画出图形，利用已知求得B′，C′坐标，平移前后二次项系数不变，利用待定系数法可求抛物线C2的解析式；利用B与B′坐标的变化可得平移的过程．【解析】设抛物线C1的解析式为：y＝ax2+bx+c，由题意得：．解得：．∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴D(1，﹣4)．(2)分别过B，C作两条平行且与BC垂直的直线，则四边形BCC′B′为矩形，过点B′作B′E⊥x轴于点E，如图，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴OB＝3，OC＝3．∴OB＝OC，BC＝3．∴∠OBC＝∠OCB＝45°．∵四边形BCC′B′为矩形，∴∠CBB′＝90°．∴∠B′BE＝45°．∴BE＝B′E．∵以B，C，B′，C′为顶点的四边形是面积为24的矩形，∴BC×BB′＝24．∴BB′＝4．∵BE2+B′E2＝BB′2，∴BE＝B′E＝4．∴OE＝BE﹣OB＝1．∴B′(﹣1，4)．可知点B向左，向上各平移了4个单位长度得到点B′．∴C′也应向左，向上各平移了4个单位长度．∴C′(﹣4，1)．∵抛物线平移前后二次项系数不变，∴设抛物线C2的解析式为：y＝x2+mx+n，由题意：．解得：．∴抛物线C2的解析式为y＝x2+6x+9．同理，抛物线向右，向下各平移4个单位长度后也满足条件．此时，B′(7，﹣4)，C′(4，﹣7)．．解得：．∴抛物线C2的解析式为：y＝x2﹣10x+17．综上所述，所求的抛物线C2的解析式为：y＝x2+6x+9或y＝x2﹣10x+17．平移的过程为：将抛物线C1的图象向左，向上各平移了4个单位长度或向右，向下各平移4个单位长度可得．4．(2021•丽江模拟)已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数)，抛物线的顶点为A．(1)求抛物线顶点A的坐标(用含m的式子表示)；(2)求证：无论m取何值，该抛物线与x轴都有两个交点；(3)该抛物线与x轴的两个交点分别为B，D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．【分析】(1)根据配方法可得顶点A的坐标；(2)计算△＝12＞0，可得结论；(3)设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点E的坐标为(m，0)，根据x＝0和y＝0可得B，C，D的坐标，分两种情况：(ⅰ)当0＜m≤时，如图1所示，(ⅱ)当﹣≤m＜0时，如图2所示，根据面积差可得结论．【解答】(1)解：∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝(x﹣m)2﹣3，∴顶点A的坐标为(m，﹣3)；(2)证明：令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣3＝0，∵△＝(﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣3)＝12＞0，∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴无论m取何值，该抛物线与x轴都有两个交点；(3)解：△ABC的面积有最大值，理由如下：设抛物线对称轴与x轴的交点为E，则点E的坐标为(m，0)；当x＝0时，y＝x2﹣2mx+m2﹣3＝m2﹣3，∴点C的坐标为(0，m2﹣3)；当y＝0时，x2﹣2mx+m2﹣3＝0，即(x﹣m)2＝3，解得x1＝m﹣，x2＝m+，∴点D的坐标为(m﹣，0)，点B的坐标为(m+，0)，分两种情况考虑：(ⅰ)当0＜m≤时，如图1所示，S△ABC＝S四边形OCAE+S△ABE﹣S△OCB＝OE•(OC+AE)+AE•BE﹣OC•OB＝m•(3﹣m2+3)+×3×(m+﹣m)﹣(m+)(3﹣m2)＝m2+m＝(m+)2﹣，∵＞0，∴当0＜m≤时，S△ABC随m的增大而增大，∴当m＝时，S△ABC取得最大值，最大值为3；(ⅱ)当﹣≤m＜0时，如图2所示，S△ABC＝S四边形EACO+S△OCB﹣S△ABE＝OE•(OC+AE)+OC•OB﹣AE•BE＝﹣m•(3﹣m2+3)+(3﹣m2)(m+)﹣×3×(m+﹣m)＝﹣m2﹣m＝﹣(m+)2+，∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S△ABC有最大值，最大值为，∵3＞，∴当m＝时，△ABC的面积有最大值，最大值为3．【题组二】5．(2020•大庆)如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点(B在A的右侧)，且经过点C(﹣1，7)和点D(5，7)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；(3)在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．(直接写出结果即可)【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)如图1中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．利用平行线分线段成比例定理求出点E的坐标，求出直线BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，过点P作PQ∥y轴交BF于Q，设P(t，﹣t2+4t+12_)则Q(t，﹣3t+18)，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．(3)求出y＝12或16时，自变量x的值，利用图象法确定m，n的值即可．【解析】(1)把C(﹣1，7)，D(5，7)代入y＝ax2+bx+12，可得a-解得a=-∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+12．(2)如图1中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，得到，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，∴A(﹣2，0)，B(6，0)，∵D(5，7)，∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，∴DE：AD＝1：7，∴AE：AD＝6：7，∵EM∥DN，∵ENDN∴EM7∴AM＝EM＝6，∴E(4，6)，∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+18，由y=-3x+18y=-x2∴F(1，15)，过点P作PQ∥y轴交BF于Q，设P(t，﹣t2+4t+12)则Q(t，﹣3t+18)，∴PQ＝﹣t2+4t+12﹣(﹣3t+18)＝﹣t2+7t﹣6，∵S△PBF=12•(﹣t2+7t﹣6)•5=-52(t∵-5∴t=72时，△BFP的面积最大，最大值为(3)对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，当y＝16时，﹣x2+4x+12＝16，解得x1＝x2＝2，当y＝12时，﹣x2+4x+12＝12，解得x＝0或4，观察图2可知：当0≤x≤2或2≤x≤4时，12≤y≤16，∴m＝0，n＝2或m＝2，n＝4或m＝0，n＝4，∴﹣4≤m﹣n≤﹣26．(2020•湘阴县一模)平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(﹣1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．【分析】(1)根据旋转的性质，可得A′点，根据待定系数法，可得答案；(2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案；(3)根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．【解析】(1)∵▱A′B′O′C′由▱ABOC旋转得到，且A的坐标为(0，3)，得点A′的坐标为(3，0)．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A，A′C的坐标代入，得a-解得a=-抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；(2)∵AB∥OC，∴∠OAB＝∠AOC＝90°，∴OB=O又∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，∴△C′OD∽△BOA，又OC′＝OC＝1，∴△C'OD的周长△BOA的周长又△ABO的周长为4+10∴△C′OD的周长为(4+10)10(3)作MN⊥x轴交AA′于N点，设M(m，﹣m2+2m+3)，AA′的解析式为y＝﹣x+3，N点坐标为(m，﹣m+3)，MN的长为﹣m2+3m，S△AMA′=12MN•xA′=12(﹣m=-32(m2﹣3m)=-32(∵0＜m＜3，∴当m=32时，﹣m2+2m+3=154，M(△AMA′的面积有最大值2787．(2020•江都区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，A(2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【解析】(1)如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB为等腰三角形，∴AO＝BO，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠DOB＝∠DOB+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，在△ACO和△ODB中∠AOC=∠OBD∠ACO=∠ODB∴△ACO≌△ODB(AAS)，∵A(2，1)，∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，∴B(﹣1，2)；(2)∵抛物线过O点，∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx，把A、B两点坐标代入可得4a+2b=1a-b=2，解得a=∴经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=56x2-(3)∵四边形ABOP，∴可知点P在线段OA的下方，过P作PE∥y轴交AO于点E，如图2，设直线AO解析式为y＝kx，∵A(2，1)，∴k=1∴直线AO解析式为y=12设P点坐标为(t，56t2-76t)，则E(t，∴PE=12t﹣(56t2-76t)=-56t2+∴S△AOP=12PE×2＝PE═-56(t由A(2，1)可求得OA＝OB=5∴S△AOB=12AO•BO∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP=-56(t﹣1)2+56+∵-5∴当t＝1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为(1，-1综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为(1，-18．(2020•南宁模拟)如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；(3)已知H(0，﹣1)，点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．【分析】(1)根据抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C(0，c)，对称轴为x﹣1，再根据OC＝OA，AB＝4，可得A(﹣3，0)，最后代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；(2)根据点M(m，0)，可得矩形PQNM中，P(m，﹣m2﹣2m+3)，Q(﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3)，再根据矩形PQNM的周长＝2(PM+PQ)＝﹣2(m+2)2+10，可得当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为(﹣2，0)，最后由直线AC为y＝x+3，AM＝1，求得E(﹣2，1)，ME＝1，据此求得△AEM的面积；(3)连接CB并延长，交直线HG与Q，根据已知条件证明BC＝BF＝BQ，再根据C(0，3)，B(1，0)，得出Q(2，﹣3)，根据H(0，﹣1)，求得QH的解析式为y＝﹣x﹣1，最后解方程组y=-x-【解析】(1)由抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C(0，c)，对称轴为x=-∵OC＝OA，∴A(﹣c，0)，B(﹣2+c，0)，∵AB＝4，∴﹣2+c﹣(﹣c)＝4，∴c＝3，∴A(﹣3，0)，代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得0＝9a﹣6a+3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；(2)如图1，∵M(m，0)，PM⊥x轴，∴P(m，﹣m2﹣2m+3)，又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，∴Q(﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3)，又∵QN⊥x轴，∴矩形PQNM的周长＝2(PM+PQ)＝2[(﹣m2﹣2m+3)+(﹣2﹣m﹣m)]＝2(﹣m2﹣4m+1)＝﹣2(m+2)2+10，∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，此时，M(﹣2，0)，由A(﹣3，0)，C(0，3)，可得直线AC为y＝x+3，AM＝1，∴当x＝﹣2时，y＝1，即E(﹣2，1)，ME＝1，∴△AEM的面积=12×AM×ME=(3)如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，∵HG⊥CF，BC＝BF，∴∠BFC+∠BFQ＝∠BCF+∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，∴∠BFQ＝∠Q，∴BC＝BF＝BQ，又∵C(0，3)，B(1，0)，∴Q(2，﹣3)，又∵H(0，﹣1)，∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，解方程组y=-x=-1-172∴点G的坐标为(-1-172，17-12)或(【题组三】9．(2020•浙江自主招生)如图①，抛物线y＝﹣x2+(m﹣2)x+3与y轴交于点C，与直线y＝mx交于A，B两点(点A，B分别在第一，三象限)，连结AC．(1)当AC⊥AB时，求m的值；(2)如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO＝∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．【分析】(1)解方程组分别求出A的坐标和点B的坐标，根据抛物线与坐标轴的交点的求法求出点C的坐标，根据勾股定理分别表示出OA、OC，根据勾股定理列式计算，得到答案；(2)作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，证明△BOD∽△AOC，根据相似三角形的性质求出OD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】(1)y=-解得，x1=1y则点A的坐标为(1，m)，点B的坐标为(﹣3，﹣3m)，抛物线y＝﹣x2+(m﹣2)x+3与y轴交于点C的坐标为(0，3)，即OC＝3，OA2＝12+m2＝1+m2，AC2＝12+(3﹣m)2＝1+(3﹣m)2，∵AC⊥AB，∴∠OAC＝90°，∴OA2+AC2＝OC2，即1+m2+1+(3﹣m)2＝9，整理得，m2﹣3m+1＝0，x1=3+52，x∴当AC⊥AB时，m=3±(2)如图②，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，∵∠BDO＝∠ACO，∠BOD＝∠AOC，∴△BOD∽△AOC，∴ODOC=BN解得，OD＝9，∴CD＝OC+OD＝3+9＝12，∴四边形DACB的面积＝△BDC的面积+△ADC的面积=12×10．(2020•鼓楼区校级模拟)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在B左边)，与y轴交于点C．(1)若A(﹣1，0)，B(3，0)两点，求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；(3)直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)先求出直线BC解析式，设点P(x，x2﹣2x﹣3)，则F(x，x﹣3)，可得PF＝﹣x2+3x，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；(3)连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，分别求出点D，点E，点A，点B的坐标，由锐角三角函数可得tan∠BDH＝tan∠HAE=b2-4c+4-b【解析】(1)∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，∴0=1-解得：b=-∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，∴点C(0，﹣3)，∵点B(3，0)，点C(0，﹣3)，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，如图1，过点P作PF⊥x轴，交BC于F，设点P(x，x2﹣2x﹣3)，则F(x，x﹣3)，∴PF＝x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2+3x，∴S△PBC=12×(﹣x2+3x)×3=-32(∴当x=32时，△PBC的面积最大值为此时，点P(32，-(3)DB⊥AE，理由如下：如图2，连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，∴点A(-b-b2-4c2，0)，点∵直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，∴1＝x2+bx+c，∴x=-b±∴点D(-b+b∵点E与点D关于x轴对称，∴点E(-b+b2-4c+42，﹣1)，点H(-b+b∴AH=-b+b2-4c+4∵tan∠BDH=BHDH=b∴tan∠BDH＝tan∠HAE，∴∠HAE＝∠BDH，又∵∠ABH＝∠DBH，∴∠ANB＝∠AHD＝90°，∴DB⊥AE．11．(2020•驻马店二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A(m，0)和点B(﹣2，n)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．(2)设P(t，﹣t2+t+2)，向下平移顶点落在x轴上，抛物线向下平移了94个单位，则P′(t，﹣t2+t-14)，根据点P与点P(3)存在．如图，设直线AB交Y轴于E，将x＝0，代入y＝x﹣2中，得到y＝﹣2，可得E(0，﹣2)，首先证明要使△QAB的面积是△ABC面积的一半，则点Q在过原点O平行AB的直线l1：y＝x上，构建方程组确定交点坐标即可，再根据对称性作点O关于点E的对称点O′，过点O′作直线l2∥AB，交抛物线于Q3，Q4．构建方程组确定交点坐标即可．【解析】(1)将A(m，0)代入y＝x﹣2，得m＝2，∴A(2，0)，将B(﹣2，n)代入y＝x﹣2，得n＝﹣4，∴B(﹣2，﹣4)，把A(2，0)，B(﹣2，﹣4)代入y＝ax2+bx+2中，得4a+2b+2=04a-2b+2=-4，解得a=∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，∵y＝﹣(x-12)2∴顶点D(12，9(2)设P(t，﹣t2+t+2)，∵向下平移顶点落在x轴上，∴抛物线向下平移了94个单位，则P′(t，﹣t2+t-∵OP＝OP′，PP′⊥x轴，∴点P与点P′关于x轴对称，∴﹣t2+t+2+(﹣t2+t-1解得t=2±3∴点P的坐标为(2+324，98)或(2-3(3)存在．理由：如图，设直线AB交Y轴于E，将x＝0，代入y＝x﹣2中，得到y＝﹣2，可得E(0，﹣2)，∴OE＝2，将x＝0，代入y＝﹣x2+x+2中，得到y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝OE＝2，过点O作OF⊥AB于F，连接CA．∵OA＝OC＝OE＝2，∴∠CAE＝90°，△ACE是等腰直角三角形，∴CA⊥AB，∵OF⊥AB，∴OF∥CA，∴AF＝EF，∴OF=12要使△QAB的面积是△ABC面积的一半，则点Q在过原点O平行AB的直线l1：y＝x上，由y=xy=-x2+x+2，解得∴Q1(2，2)，Q2(-2，-作点O关于点E的对称点O′，过点O′作直线l2∥AB，交抛物线于Q3，Q4．∵O′(0，﹣4)，∴直线l2的解析式为y＝x﹣4，由y=x-4y=-x2∴Q3(6，6-4)，Q4(-6，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，2)或(-2，-2)或(6，6-4)或(-12．(2020•三水区校级二模)如图(1)，抛物线y＝ax2+bx经过A和B(3，﹣3)两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方(不与O、B重合)，过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；(3)如图(2)，过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)先求出点A坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)先求出NP=2MN，可得△MNP的周长＝﹣(2+2)[(m-32(3)在线段CB上截取CE=23，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，先求出QE解析式，联立方程组可求点【解析】(1)∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，∴点A(4，0)，∵抛物线y＝ax2+bx经过A(4，0)，B(3，﹣3)，∴0=16a+4b-3=9a+3b解得a=1b=-4∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；(2)∵点B(3，﹣3)，∴直线OB解析式为y＝﹣x，设点M(m，m2﹣4m)，∴点N(m，﹣m)，K(m，0)，∴OK＝KN，∴∠KON＝∠KNO＝45°，∵MP∥x轴，∴∠MPN＝∠KON＝45°，∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，∴MP＝MN，∴NP=2MN∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MN+2MN＝2(4m﹣m2﹣m)+2(4m﹣m2﹣m)＝(2+2)(3m﹣m2)＝﹣(2+2)[(m-∴当m=32时，△MNP的周长的最大值为此时点M坐标为(32，-(3)存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，理由如下：如图(2)，在线段CB上截取CE=23，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接∵S△OCE=12×CE×OD=12∴S△OCQ＝1，∵BD⊥y轴，∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，∴﹣3＝x2﹣4x，∴x1＝1，x2＝3，∴点C(1，﹣3)，∴CD＝1，∴S△OCD=12×∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，∵点O(0，0)，点C(1，﹣3)，∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，∵CE=2∴点E(53∵OC∥EQ，∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，∴﹣3＝﹣3×53∴b＝2，∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，联立方程组可得y=-∴x1=-1y∴点Q坐标为(﹣1，5)或(2，﹣4)．【题组四】13．(2020•临清市二模)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接PA，PC，设点P的横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点N，当MN＝2时，求点M的坐标．【分析】(1)由题意求出B，C的坐标，将点B，C坐标代入抛物线的解析式，则可得出答案；(2)设点P(t，-12t2+32t+2)，连接OP，根据S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣(3)设点M的坐标为(m，-12m2+32m+2)，设该直线MN交x轴于点D，则OD＝m，得出点N的坐标为(m，4-m2)，则【解析】(1)∵OB＝2OC＝4，∴点B，C的坐标分别为(4，0)，(0，2)，将点B，C坐标代入y=-12x2+bx0=-解得：b=3∴抛物线的解析式为：y=-12x2(2)令y＝0，则-12x2+∴x＝﹣1或x＝4，∴点A(﹣1，0)；设点P(t，-12t2+连接OP，S△ACP＝S△ACO+S△OCP﹣S△AOP=12×OA×OC+12×xP×＝1+t-12(-1=14t2+即S=14t2+(3)设点M的坐标为(m，-12m2+32m+2)，设该直线MN交x∵tan∠CBA=DN∴DN=4-m∴点N的坐标为(m，4-m2∴MN＝|-1＝|-12m∵MN＝2，∴|-12m当0＜m＜4时，-12m解得，m1＝m2＝2，∴点M的坐标为(2，3)；当m＜0或m＞4时，-12m解得，m1＝2﹣22，m2＝2+22，∴点M的坐标为(2﹣22，2-综上所述，点M的坐标为(2，3)或(2﹣22，2-14．(2020•黄冈模拟)如图，抛物线与x轴相交于点A(﹣3，0)、点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为(﹣4，0)．(1)求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；(2)当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；(3)连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；(4)在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．【分析】(1)利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；(2)过点D作DM∥y轴，交AC于点M，求出M点的坐标，根据S△ACD＝S△ADM+S△CDM可求出答案；(3)如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，构造直角△DOK，设D(x，﹣x2﹣2x+3)，则K(x，0)．并由题意知点D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．则tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．②∠AOD＝∠ACB．则tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点D的坐标．(4)分四种不同情况：当0≤t≤1时，当1＜t≤2时，当2＜t≤113时，当【解析】(1)设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)分别代入得：9a-解得：a=-故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣(x+1)2+4，所以该抛物线的顶点坐标是(﹣1，4)；(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为(﹣1，4)，过点D作DM∥y轴，交AC于点M，∵AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为(﹣1，2)，则DM＝2，∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM=12×(3)如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D(x，﹣x2﹣2x+3)，则K(x，0)．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴-x2-2x+3-x=3，解得x1=∴D(1-132，②∠AOD＝∠ACB．∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴-x2-2x+3-x=2，解得x1=∴D(-3，23综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是(1-132，313-32(4)如图3，设A点移动后的对应点为E，EN与AC交于点G，当0≤t≤1时，∵OA＝OC，GE∥OC，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝EG＝t，∴S△AEG=1当1＜t≤2时，如图4，同理△AFG为等腰直角三角形，∴AF＝GF＝t﹣1，∴MG＝MH＝1﹣(t﹣1)＝2﹣t，∴S△MHG=12MG•MH∴S五边形GFENH＝1﹣S△MHG＝1-12(2﹣t)2=-当2＜t≤11S＝S正方形MFEN＝1；当113＜t≤4时，如图6，正方形MFEN与BC边交于G，过点G作GK⊥OB于点K，∴GK∥OC，∴△GKB∽△COB，∴BKOB∴BK1∴BK=1∴AK＝4-1∴KE＝GN＝AE﹣AK＝t-11∵△GNH∽△BOC，∴GNOB∴NH＝3t﹣11，∴S△GNH=12GN•NH∴S五边形MFEHG＝1﹣S△GNH＝1-(综合以上可得S=115．(2020•东胜区模拟)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．【分析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；(2)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；(