专题13二次函数与交点公共点综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题13二次函数与交点公共点综合问题

【例1】(2021•宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣(x+4)(x﹣n)与x轴交于点A和点B(n，0)(n≥﹣4)，顶点坐标记为(h1，k1)．抛物线y2＝﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为(h2，k2)．(1)写出A点坐标；(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)(3)当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；(4)经过点M(2n+9，﹣5n2)和点N(2n，9﹣5n2)的直线与抛物线y1＝﹣(x+4)(x﹣n)，y2＝﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．【例2】(2021•德州)小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【例3】(2021•黔西南州)如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)．(1)填空：m＝，n＝，抛物线的解析式为．(2)将直线l向下移a(a＞0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】(2021•绵阳)如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【例5】(2020•襄阳)如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【题组一】1．(2021•苏州模拟)问题一：已知二次函数：y＝(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数)，当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是．问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数)图象的顶点为C．(1)如图1，若点C在Rt△AOB的内部(不包括边界)，求m的取值范围；(2)如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上(AB的下方)是否存在点P，使∠ABO＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．2．(2021•东城区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．(1)求抛物线的对称轴；(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；(3)已知点P(0，2)，Q(a+1，1)．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．3．(2021•南关区一模)在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2(a、b为常数)的图象记为G．(1)求G与y轴交点的坐标．(2)当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．(3)①设k≠0，若点A(2﹣k，t)在G上，则点B(2+k，t)必在G上，且G过点C(3，﹣1)，求G的函数表达式．②点D(1，y1)、E(4，y2)是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．③点P(m，y3)、Q(m+3，y4)是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．(4)矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F(1，﹣2)、H(4，﹣2)、M(4，4)、N(1，4)，当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2(x≥0)的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．4．(2021•九江一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；(3)已知点B(m﹣1，m﹣2)，C(2，2)．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【题组二】5．(2021•邯郸模拟)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1(a＞0)．(1)若抛物线过点A(﹣1，6)，求出抛物线的解析式；(2)当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；(3)已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1(a＞0)存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；(4)如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．6．(2021•姜堰区一模)已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a(a为常数，且a≠0)的图象与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P的坐标为(m，n)，试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；(3)若点D、Q在平面直角坐标系中，且D(0，﹣1)，D、Q、P、C四点构成▱CPDQ．①求点Q的坐标(用含a的代数式表示)；②若▱CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．7．(2021•襄州区二模)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(0，6)和B(﹣2，﹣2)．(1)求c的值，并用含a的代数式表示b．(2)当a＝时，①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(﹣5，10)、(1，10)，此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．8．(2021•朝阳区校级三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．(1)求此抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧)，现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【题组三】9．(2021•天心区二模)定义：二元一次不等式是指含有两个未知数(即二元)，并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式；满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，(1，4)是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．(1)已知A(，1)，B(1，﹣1)，C(2，﹣1)，D(﹣1，﹣1)四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是．(2)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．①求G的面积；②反比例函数y＝(x＞0)的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；(3)设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．10．(2021•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，(1)该抛物线的顶点坐标为(用含m的代数式表示)；(2)若该抛物线经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1y2(填“＞，＝，或＜”号)；(3)点C(﹣4，﹣2)，将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．11．(2021•商水县三模)已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A(2，0)，B(1，)两点，对称轴是直线x＝1．(1)求抛物线的解析式；(2)若C(m，y1)，D(n，y2)为抛物线y＝ax2+bx+c上两点(m＜n)．Q为抛物线上点C和点D之间的动点(含点C，D)，点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；(3)已知点E(p，﹣p)，F(2，1)，若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．12．(2021•靖江市一模)已知抛物线y＝x2+(m﹣2)x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A(3，0)、B两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P(2，a)在抛物线上时．①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P(2，a)作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．【题组四】13．(2020•滨湖区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点；①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？14．(2020•姜堰区二模)二次函数y=m6x2-2m3x+m(m＞0)的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与(1)当m＝1时，求顶点P的坐标；(2)若点Q(a，b)在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m＞0)的图象上，且b﹣(3)在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标(用含m的代数式表示)；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．15．(2020•天心区模拟)如图，抛物线y=-845(x+1538)(x﹣3m)(其中m＞0)与x轴分别交于A、B两点((1)点B的坐标为(-1538，0)，点A的坐标为(3m，0)(用含m的代数式表示)，点C的坐标为(0，3m)(2)若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；(3)在(2)的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间(含点C与顶点)的任意一点M(x0，y0)总能使不等式n≤43x0+23316及不等式2n-916≥-16．(2020•开福区校级二模)如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m(m＜0)与x轴相交于点A、B(点A在点B的右边)，顶点为C．(1)求A、B两点的坐标；(2)若△ABC为等边三角形，点M(x0，y0)为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m(m＜0)上任意一点，总有n-856≥1633my02+40(3)若m=-12，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα【题组五】17．(2020•天心区校级模拟)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．(1)分别判断函数y=1x(x＞0)和y＝x+2(﹣4≤(2)若函数y＝﹣x+2(a≤x≤b，b＞a)的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；(3)将函数y＝x2(﹣1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足34≤18．(2020•思明区校级模拟)已知抛物线C：y1＝a(x﹣h)2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．(1)判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；(2)求证：直线l恒过抛物线C的顶点；(3)①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．19．(2020•海陵区一模)已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．(1)抛物线的顶点坐标是，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点(说明理由)；(2)若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；(3)抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．20(2020•遵化市三模)已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k(a，k均为常数，且a≠0)上，L交y轴于点C，连接CP．(1)用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；(2)当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点，求a的取值范围；(4)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．【题组六】21．(2020•中原区校级模拟)如图1所示，抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为(0，4)，抛物线的顶点的横坐标为72，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形(1)求抛物线的解析式；(2)求使△APC的面积为整数的P点的个数；(3)当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；(4)在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图(2)所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．22．(2020•丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．23．(2020•密云区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点B的坐标为(3，0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．(1)求k的值和点C的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；(3)已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2(a≠0)与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．24．(2020•惠安县校级模拟)已知抛物线C：y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；(2)若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②直线y＝kx(k＞0)与抛物线C1交于两不同点A、B(点A在点B的左侧)，与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有1OA 挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题13二次函数与交点公共点综合问题

【例1】(2021•宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣(x+4)(x﹣n)与x轴交于点A和点B(n，0)(n≥﹣4)，顶点坐标记为(h1，k1)．抛物线y2＝﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为(h2，k2)．(1)写出A点坐标；(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)(3)当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；(4)经过点M(2n+9，﹣5n2)和点N(2n，9﹣5n2)的直线与抛物线y1＝﹣(x+4)(x﹣n)，y2＝﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．【分析】(1)令y1＝0，得到x值即为A、B的横坐标，(2)由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标．(3)讨论k1﹣k2＝n2﹣5与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小．(4)两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式(5n﹣4)x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+(4n﹣1)x＝0，解得n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即(5n﹣4)(1﹣4n)＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，②当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+(n﹣4)x+4n可得，﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9＝0，解得∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1得：﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9＝0，△＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n≠．【解答】解：(1)∵y1＝﹣(x+4)(x﹣n)，令y1＝0，﹣(x+4)(x﹣n)＝0，∴x1＝﹣4，x2＝n，∴A(﹣4，0)；(2)y1＝﹣(x+4)(x﹣n)＝﹣x2+(n﹣4)x+4n，∴k1＝n2+2n+4，∵y2＝﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9，∴k2＝﹣n2+2n+9，(3)k1﹣k2＝n2﹣5，①当n2﹣5＞0时，可得n＞2或n＜﹣2，即当﹣4≤n＜﹣2或2＜n≤4时，k1＞k2；②当n2﹣5＜0时，可得﹣2＜n＜2，即当﹣2＜n＜2时，k1＜k2；③当n2﹣5＝0，可得n＝2或n＝﹣2，即当n＝2或n＝﹣2时，k1＝k2；(4)设直线MN的解析式为：y＝kx+b，则，由①﹣②得，k＝﹣1，∴b＝﹣5n2+2n+9，直线MN的解析式为：y＝﹣x﹣5n2+2n+9．①如图：当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1＝﹣x2+(n﹣4)x+4n与y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：(5n﹣4)x＝﹣5n2﹣2n+9①，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9的解析式可得：x2+(4n﹣1)x＝0，则x1＝0，x2＝1﹣4n②，当x1＝0时，把x1＝0代入y1得：y＝4n，把x1＝0，y＝4n代入直线的解析式得：4n＝﹣5n2+2n+9，∴5n2+2n﹣9＝0，∴n＝，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，当x2＝1﹣4n时，把x2＝1﹣4n代入①得：(5n﹣4)(1﹣4n)＝﹣5n2﹣2n+9，该方程判别式Δ＜0，所以该方程没有实数根；②如图：当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1＝﹣x2+(n﹣4)x+4n只有一个公共点时，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y＝﹣x2+(n﹣4)x+4n可得，﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9＝0，此时Δ＝0，即(n﹣3)2+4(5n2+2n﹣9)＝0，∴21n2+2n﹣27＝0，∴n＝，由①而知直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9公共点的横坐标为x1＝0，x2＝1﹣4n，当n＝时，1﹣4n≠0，∴x1≠x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，③如图：当直线MN与抛物线y2＝﹣x2﹣4nx﹣5n2+2n+9只有一个公共点，∵x1＝0，x2＝1﹣4n，∴n＝，联立直线y＝﹣x﹣5n2+2n+9与抛物线y1＝﹣x2+(n﹣4)x+4n，﹣x2+(n﹣3)x+5n2+2n﹣9＝0，△＝(n﹣3)2+4(5n2+2n﹣9)＝21n2+2n﹣27，当n＝时，Δ＜0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，∴n≠，综上所述：n1＝，n2＝，n3＝，n4＝．【例2】(2021•德州)小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：抛物线的顶点坐标为(2，7)；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【分析】(1)根据表格中数据的特征可得顶点坐标；(2)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；(3)①利用已知得出C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围；②利用点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P(m，﹣m2﹣4m)，利用待定系数法求得直线AP的解析式，从而得到点Q的坐标；利用直角三角形的边角关系求得∠ABO和∠QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论．【解答】解：(1)∵表中的数据关于(2，7)对称，∴该抛物线的顶点为(2，7)．故答案为：抛物线的顶点坐标为(2，7)(答案不唯一)；(2)由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：，解得：．∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．(3)①由(1)知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3，∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为(﹣2，4)．∴抛物线C2的解析式为y＝﹣(x+2)2+4＝﹣x2﹣4x．由题意得：或，∴﹣x2+4x+3＝x+b或﹣x2﹣4x＝x+b．即2x2﹣7x+2b﹣6＝0或x2+x+b＝0．∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，∴72﹣4×2×(2b﹣6)＝0或()2﹣4×1×b＝0．解得：b＝或b＝．∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，∴＜b＜．②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x，∴令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝﹣4．∵抛物线C2与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，∴B(﹣4，0)，C(0，0)．∴OB＝4．由①知：抛物线C2的顶点为A(﹣2，4)．∴AE＝4，OE＝2，∴BE＝OB﹣OE＝2．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．∵点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，∴设点P(m，﹣m2﹣4m)，则m＜0，﹣m2﹣4m＞0．∵PD⊥x轴，∴OD＝﹣m．设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：，解得：．∴直线AP的解析式为y＝﹣(m+2)x﹣2m．令x＝0，则y＝﹣2m．∴Q(0，﹣2m)．∴OQ＝﹣2m．在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．∴tan∠ABE＝tan∠QDO．∴∠ABE＝∠QDO．∴AB∥DQ．【例3】(2021•黔西南州)如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)．(1)填空：m＝1，n＝3，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+1．(2)将直线l向下移a(a＞0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A(0，m)，B(n，7)代入y＝2x+1，可求m、n的值，再将A(0，1)，B(3，7)代入y＝2x2+bx+c，可求函数解析式；(2)由题意可得y＝2x+1﹣a，联立，得到2x2﹣6x+a＝0，再由判别式Δ≥0即可求a是取值范围；(3)设Q(t，s)，则M(，)，P(，0)，半径r＝，再由AQ2＝t2+(s﹣1)2＝(s+1)2，即可求t的值．【解答】解：(1)将A(0，m)，B(n，7)代入y＝2x+1，可得m＝1，n＝3，∴A(0，1)，B(3，7)，再将A(0，1)，B(3，7)代入y＝2x2+bx+c得，，可得，∴y＝2x2﹣4x+1，故答案为：1，3，y＝2x2﹣4x+1；(2)由题意可得y＝2x+1﹣a，联立，∴2x2﹣6x+a＝0，∵直线l与抛物线C仍有公共点∴Δ＝36﹣8a≥0，∴a≤，∴0＜a≤；(3)存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：设Q(t，s)，∴M(，)，P(，0)，∴半径r＝，∵AQ2＝t2+(s﹣1)2＝(s+1)2，∴t2＝4s，∵s＝2t2﹣4t+1，∴t2＝4(2t2﹣4t+1)，∴t＝2或t＝，∴P(1，0)或P(，0)，∴以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P(1，0)或P(，0)．【例4】．(2021•绵阳)如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【分析】(1)将A(a，﹣2a)代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为(x，y)，建立方程求解即可；(2)经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐标为(1，﹣2t)，Q的坐标为(2t，﹣4t)，进而得出M的坐标为(2t，﹣2t)，N的坐标为(t，﹣4t)，将M(2t，﹣2t)代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，将N(1，﹣4t)代入y＝﹣x2﹣2x+2，得(t﹣1)2＝3，解方程即可得出答案；(3)设R(m，n)，则R关于原点的对称点为R'(﹣m，﹣n)，当点M恰好在抛物线上时，M坐标为(1，﹣1)，过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案．【解答】解：(1)由题意知，交点A坐标为(a，﹣2a)，代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，当t＝1秒时，OP＝，设P的坐标为(x，y)，则，解得或(舍去)，∴P的坐标为(1，﹣2)；(2)经过t秒后，OP＝t，OQ＝2t，由(1)方法知，P的坐标为(t，﹣2t)，Q的坐标为(2t，﹣4t)，由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为(2t，﹣2t)，N的坐标为(t，﹣4t)，矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M(2t，﹣2t)代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t＝，或t＝﹣1(舍)，将N(1，﹣4t)代入y＝﹣x2﹣2x+2，得(t﹣1)2＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣(舍)．所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：≤t≤1+；(3)设R(m，n)，则R关于原点的对称点为R'(﹣m，﹣n)，当点M恰好在抛物线上时，M坐标为(1，﹣1)，过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M＝＝，又∵n＝﹣m2﹣2m+2得(m+1)2＝3﹣n，消去m得：R'M＝＝＝＝，当n＝时，R'M长度的最小值为，此时，n＝﹣m2﹣2m+2＝，解得：m＝﹣1±，∴点R的坐标是(﹣1±，)．【例5】(2020•襄阳)如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【分析】(1)令x＝0，由y=-12x+2，得A点坐标，令y＝0，由y=-12x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令(2)过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M(a，-14a2+12a+2)，则N(a，(3)根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．【解析】(1)令x＝0，得y=-12∴A(0，2)，令y＝0，得y=-12x+2＝0，解得，∴C(4，0)，把A、C两点代入y=-14x2+bx+c=2-4+4b+c=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=-1令y＝0，得y=-1解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B(﹣2，0)；(2)过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M(a，-14a2+12∴S△ACM∵S△ABC∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC=-1∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为(2，2)；(3)∵将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′(m，m)，A′(m+2，m)，当A′(m+2，m)在抛物线上时，有-1解得，m＝﹣3±17当点O′(m，m)在抛物线上时，有-1解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3-17≤m≤﹣4或﹣3+17≤m≤2时，线段【题组一】1．(2021•苏州模拟)问题一：已知二次函数：y＝(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数)，当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是y＝﹣2x﹣．问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数)图象的顶点为C．(1)如图1，若点C在Rt△AOB的内部(不包括边界)，求m的取值范围；(2)如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上(AB的下方)是否存在点P，使∠ABO＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．【分析】问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为(m，﹣2m﹣)，故设x＝m，则y＝﹣2m﹣＝﹣2x﹣，即可求解；问题二：(1)当顶点在y＝﹣2x﹣上和直线AB的交点左侧时，点C在Rt△AOB的内部(不包括边界)，即可求解；(2)证明∠BQP＝∠ABO＝∠ABP，则PB＝PQ，即可求解．【解答】解：问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为(m，﹣2m﹣)，故设x＝m，则y＝﹣2m﹣＝﹣2x﹣，故答案为：y＝﹣2x﹣①；问题二：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，则点A、B的坐标分别为(3，0)、(0，﹣2)．(1)由问题一知，顶点在y＝﹣2x﹣上，则当顶点在y＝﹣2x﹣上和直线AB的交点左侧时，点C在Rt△AOB的内部(不包括边界)，联立①和直线l的表达式并解得x＝，故m的取值范围为0＜m＜；(2)设平移后抛物线的表达式为y＝x2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；故点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点Q，∴PH∥y轴，则∠BQP＝∠ABO＝∠ABP，∴PB＝PQ，设点P的坐标为(m，m2﹣m﹣2)，则点Q(m，m﹣2)，则m2+(m2﹣m﹣2+2)2＝(m2﹣m﹣2﹣m+2)2，解得m＝0(舍去)或，故点P的横坐标为．2．(2021•东城区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．(1)求抛物线的对称轴；(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；(3)已知点P(0，2)，Q(a+1，1)．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】(1)利用配方法将抛物线y＝ax2﹣3ax+1化成顶点式，抛物线对称轴可得；(2)先求出点A坐标，利用抛物线的对称性即可求点B的坐标；(3)分a＞0和a＜0两种情形讨论解答，首先依据题意画出图形，观察图象，利用点Q的位置确定Q的横坐标a+1的大小，a的取值范围可以求得．【解答】解：(1)∵y＝ax2﹣3ax+1＝a(x2﹣3x)+1＝a+，∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．(2)令x＝0，则y＝1．∴A(0，1)．∵点B是点A关于对称轴的对称点，∴A与B的纵坐标相同．∵对称轴为直线x＝，∴点A与B到直线x＝的距离均为，∴点B的横坐标为．∴B(3，1)．(3)由题意：a≠0．①当a＞0时，如图，∵Q(a+1，1)，A(0，1)，B(3，1)，∴点Q，A，B在直线y＝1上．∵P(0，2)，∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧(包括点A)或在点B的右侧(包括点B)时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A(0，1)，B(3，1)，∴a+1≤0(不合题意，舍去)或a+1≥3．∴a≥2．②当a＜0时，如图，由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．∵P(0，2)，∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间(包括点A，不包括点B)时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A(0，1)，B(3，1)，∴0≤a+1＜3．∴﹣1≤a＜2．又∵a＜0，∴﹣1≤a＜0．综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．3．(2021•南关区一模)在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2(a、b为常数)的图象记为G．(1)求G与y轴交点的坐标．(2)当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．(3)①设k≠0，若点A(2﹣k，t)在G上，则点B(2+k，t)必在G上，且G过点C(3，﹣1)，求G的函数表达式．②点D(1，y1)、E(4，y2)是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．③点P(m，y3)、Q(m+3，y4)是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．(4)矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F(1，﹣2)、H(4，﹣2)、M(4，4)、N(1，4)，当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2(x≥0)的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)将x＝0代入求解．(2)分类讨论a＝0及a≠0两种情况，其中a≠0时，方程Δ＝0满足题意．(3)①由A，B两点坐标可得对称轴为直线x＝2，即可得出a，b的关系，再将点C坐标代入求解．②分别将x＝1，4代入求解．③图象开口向上，根据抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大求解．(4)b从小到大结合图象与图形交点情况画图求解．【解答】解：(1)将x＝0代入y＝ax2+2bx+2得y＝2，∴G与y轴交点的坐标为(0，2)．(2)当b＝2时，y＝ax2+4x+2，①当a＝0时，一次函数y＝4x+2与x轴只有一个交点．②若a≠0，由抛物线y＝ax2+4x+2与x轴只有一个交点可得：ax2+4x+2＝0中Δ＝0，即16﹣8a＝0，解得a＝2．∴a＝0或a＝2．(3)①∵＝2，∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣＝2，∴b＝﹣2a，将点C(3，﹣1)代入y＝ax2﹣4ax+2得：﹣1＝9a﹣12a+2，解得a＝1．∴y＝x2﹣4x+2．②把x＝1，x＝4分别代入抛物线解析式得y1＝﹣1，y2＝2，∴y1＜y2．③∵抛物线y＝x2﹣4x+2开口向上，对称轴为直线x＝2，∴抛物线上距离对称轴距离越远的点的y值越大，∴|m﹣2|＝|m+3﹣2|时，y3＝y4，解得m＝．|m﹣2|＞|m+3﹣2|时，y3＞y4，解得m＜．|m﹣2|＜|m+3﹣2|时，y3＜y4，解得m．(4)图象y＝﹣x2+2bx+2(x≥0)，开口向下，对称轴为直线x＝b，与NF所在直线x＝1交点坐标为(1，1+2b)，与MN所在直线x＝4交点坐标(4，﹣14+8b)，当b≤1时，如图，抛物线经过点F(1，﹣2)时1+2b＝﹣2，解得b＝﹣，b增大满足题意，b＝1时抛物线顶点落在NF上，∴﹣＜b≤1满足题意．b增大，抛物线对称轴在NF右侧，当抛物线过点N(1，4)时，1+2b＝4，解得b＝，b增大，抛物线经过点M(4，4)时，﹣14+8b＝4，解得b＝，∴≤b＜满足题意．综上所述，﹣＜b≤1或≤b＜．4．(2021•九江一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；(3)已知点B(m﹣1，m﹣2)，C(2，2)．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．【分析】(1)由y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣(x﹣m)2+m，即可求解；(2)点A在第一象限，且点A的坐标为(m，m)，则OA＝m＝，解得m＝1，即可求解；(3)分m≤2、2＜m＜3、m≥3三种情况，利用数形结合的方法即可求解．【解答】解：(1)∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣(x﹣m)2+m，故点A的坐标为(m，m)；(2)∵点A在第一象限，且点A的坐标为(m，m)，则OA＝m＝，解得m＝1，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x；(3)将点B的坐标代入抛物线表达式得：m﹣2＝﹣(m﹣1)2+2m(m﹣1)﹣m2+m，此方程无解；将点C的坐标代入抛物线表达式得：2＝﹣22+2m×2﹣m2+m，解得m＝2或3，如图1，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；如图2，当2＜m＜3时，抛物线和线段BC无公共点；如图3，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；故m≤2或m≥3时，抛物线和线段BC有公共点．【题组二】5．(2021•邯郸模拟)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1(a＞0)．(1)若抛物线过点A(﹣1，6)，求出抛物线的解析式；(2)当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；(3)已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1(a＞0)存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；(4)如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．【分析】(1)将A(﹣1，6)代入y＝ax2﹣4ax+1，列方程求出a的值；(2)求出抛物线的对称轴为直线x＝2，可知顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出y的最大值；(3)由直线与抛物线都经过y轴上的定点(0，1)，可知直线与抛物线的两个交点到x轴的距离都为1，由另一个交点的纵坐标为﹣1，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时a的值；(4)抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑x轴下方(或上方)的情况即可，即抛物线G当x等于1时的y值不小于﹣2而小于﹣1，其顶点的纵坐标不小于﹣3而小于﹣2，列不等式组求出a的取值范围．【解答】解：(1)把A(﹣1，6)代入y＝ax2﹣4ax+1，得a+4a+1＝6，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1．(2)∵y＝ax2﹣4ax+1＝a(x﹣2)2﹣4a+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内，∴抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1，∴﹣4a+1＝﹣1，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最大＝﹣2+1＝﹣；当2＜x≤5时，y随x的增大而增大，当x＝5时，y最大＝﹣10+1＝，∵﹣＜，∴y的最大值为．(3)∵直线y＝﹣x+1及抛物线y＝ax2﹣4ax+1与y轴的交点都是(0，1)，∴直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标为(0，1)，∴另一个交点的纵坐标为﹣1，当y＝﹣1时，由﹣1＝﹣x+1，得x＝2，∴另一交点坐标为(2，﹣1)，把(2，﹣1)代入y＝ax2﹣4ax+1得4a﹣8a+1＝﹣1，解得．(4)由题意可知，抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，∴该区域内x轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于x轴对称．如图，对于抛物线G，当x＝1时，y＝﹣3a+1；当x＝2时，y＝﹣4a+1，由题意，得，解得＜a≤1，∴a的取值范围是＜a≤1．6．(2021•姜堰区一模)已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a(a为常数，且a≠0)的图象与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P的坐标为(m，n)，试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；(3)若点D、Q在平面直角坐标系中，且D(0，﹣1)，D、Q、P、C四点构成▱CPDQ．①求点Q的坐标(用含a的代数式表示)；②若▱CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．【分析】(1)根据Y＝0，解方程即可求得A、B两点的坐标；(2)求出C点坐标，根据旋转性质，表示出P点坐标即可；(3)①根据平行四边形的性质，点的坐标平移规律即可求解；②分类讨论，根据Q点和C点的位置确定a的取值范围即可．【解答】解：(1)当y＝0时，0＝ax2+2ax﹣3a，解得，x1＝1，x2＝﹣3，A、B两点的坐标为：A(1，0)，B(﹣3，0)；(2)当x＝0，y＝﹣3a，C点坐标为(0，﹣3a)，a＞0时，如图所示，作PH⊥y轴于H，由旋转得，△AOC≌△CHP，PH＝OC＝3a，CH＝OA＝1，则m＝3a，n＝﹣3a﹣1，m+n＝﹣1，当a＜0时，同理可得，m＝3a，n＝﹣3a﹣1，m+n＝﹣1；(3)①由(2)得P(3a，﹣3a﹣1)，当a＜0时，如图所示，根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标加﹣3a，纵坐标加1，则可知Q点坐标为(0﹣3a，﹣1+1)，即(﹣3a，0)；当a＞0时，如图所示，根据平行四边形的性质可知，点P平移到点C，横坐标减3a，纵坐标加1，则可知Q点坐标为(0﹣3a，﹣1+1)，即(﹣3a，0)；综上，Q点坐标为(﹣3a，0)；②当a＜0时，如上图所示，当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，把Q(﹣3a，0)代入得，0＝9a³﹣6a2﹣3a，解得a1＝0(舍去)，a2＝1(舍去)，a3＝﹣，∴a的取值范围为a≤﹣；当a＞0时，如上图所示，当抛物线经过Q点时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，把Q(﹣3a，0)代入得，0＝9a³﹣6a2﹣3a，解得a1＝0(舍去)，a2＝1，a3＝﹣(舍去)，∴a的取值范围为a≥1；当点C在D点上方时，DQ与二次函数的图象刚好有公共点，此时﹣3a＞﹣1，解得a＜，∴a的取值范围为0＜a＜，综上a的取值范围为：a≤﹣或0＜a＜或a≥1．7．(2021•襄州区二模)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(0，6)和B(﹣2，﹣2)．(1)求c的值，并用含a的代数式表示b．(2)当a＝时，①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(﹣5，10)、(1，10)，此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．【分析】(1)分别把A(0，6)和B(﹣2，﹣2)代入解析式，可得c和b的值．(2))①当时，此函数表达式为，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值．②令y＝0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A(0，6)，C(﹣6，0)代入可得直线AC解析式，设则F(x，x+6)，得FD的值，设△FDM的周长为l，则，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．(3)①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点，当x＝1时，y＝3a+10，则抛物线上的点(1，3a+10)在H点的上方，②当a＜0时，抛物线与线段只有一个公共点，又图象经过点A(0，6)，和B(﹣2，﹣2)则抛物线的顶点必在线段GH上，即．可求出a的取值范围．【解答】解：(1)把(0，6)代入y＝ax2+bx+c，得c＝6．把(﹣2，﹣2)代入y＝ax2+bx+6，得4a﹣2b+6＝﹣2，∴b＝2a+4．(2)①当时，此函数表达式为，图象开口向上．由顶点坐标公式可知顶点坐标为，∵﹣4≤x≤2，∴当时，y的最小值为．观察图象结合增减性，当x＝2时，y有最大值，把x＝2代入，y的最大值为20．②∵，令y＝0，则x＝﹣6或，∵点C在左侧，∴C(﹣6，0)设直线AC的解析式为y＝kx+m，把A(0，6)，C(﹣6，0)代入，得k＝1，m＝6，∴y＝x+6设则F(x，x+6)∴，∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，∴∠COA＝90°，∵DF∥AO，∴∠DFM＝∠CAO＝45°，，设△FDM的周长为l，则当FD最大时，周长最大，又∵，又∵且﹣6＜x＜0，∴x＝﹣3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．把x＝﹣3代入，得，∴．(3)①当a＞0时，若抛物线与线段GH只有一个公共点(如图)，y＝ax2+bx+c＝ax2+(2a+4)x+6，当x＝1时，y＝3a+10，则抛物线上的点(1，3a+10)在H点的上方，∴25a﹣10a﹣20+6＜10．解得．0＜．②当a＜0时，∵抛物线与线段只有一个公共点，又图象经过点A(0，6)，和B(﹣2，﹣2)则抛物线的顶点必在线段GH上，(如图)∴．即4a×6﹣(2a+4)2＝40a，解得或，∵a＜0，对称轴在y轴左侧，2a+4＜0，∴a＜﹣2，故只能是综上，a的取值范围是或，8．(2021•朝阳区校级三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．(1)求此抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧)，现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】(1)由顶点公式()得；(2)由“﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0”，列出等式，求出m的值，得到函数表达式；(3)数形结合，找到直线l特殊的位置，求出对应的k，最后得出k的取值范围．【解答】解：(1)由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，∴＝＝1，＝m，∴顶点坐标为：(1，m)．(2)∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，解得：m＝﹣4，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．(3)当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A(﹣1，0)，B(3，0)，∵y＝x2﹣2x﹣3．∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．当直线l经过点A(﹣1，0)时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，把点A(﹣1，0)代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，解得：k＝﹣1，当直线l经过点B(3，0)时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，把点B(3，0)代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，解得：k＝3，当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，由，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，∴Δ＝9﹣4(k﹣3)＝0，解得：k＝，∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k＞．【题组三】9．(2021•天心区二模)定义：二元一次不等式是指含有两个未知数(即二元)，并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式；满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，(1，4)是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．(1)已知A(，1)，B(1，﹣1)，C(2，﹣1)，D(﹣1，﹣1)四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是A，B，C．(2)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．①求G的面积；②反比例函数y＝(x＞0)的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；(3)设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．【分析】(1)x﹣y﹣2≤0变形为y≥x﹣2，分析出(x，y)满足y≥x﹣2的点在这条直线上及直线的上方，得A，B，C是x﹣y﹣2≤0的解的点；(2)①的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G，是直线y＝﹣x+6，x＝1，y＝2所围成的三角形，当x＝1时，y＝﹣x+6＝5，当y＝2时，x＝4，得三顶点坐标分别为(1，2)，(1，5)，(4，2)，即可求解；②点E，F，G的坐标分别为(1，5)，(4，2)，(1，2)，根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C时，k最小＝2，直线AB的函数关系式为y＝﹣x+6，设反比例函数与线段AB相交于点(x，﹣x+6)，k＝x(﹣x+6)＝﹣(x﹣3)2+9，当x＝3时，k最大＝9，即可求解；(3)3)的解集围成的图形为M，是四条直线y＝2x﹣1，y＝﹣2x+1，y＝2x+1，y＝2x﹣1所围成的四边形边上及内部，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点，分两种情况：①当m＜0时，②当m＞0时，分析出临界位置，即可求解．【解答】解：(1)x﹣y﹣2≤0变形为y≥x﹣2，∵y＝2x﹣2的图象如图所示，∴(x，y)满足y≥x﹣2的点在这条直线上及直线的上方，∴A，B，C是x﹣y﹣2≤0的解的点，故答案为A，B，C；(2)①的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G，是直线y＝﹣x+6，x＝1，y＝2所围成的三角形，如图所示，当x＝1时，y＝﹣x+6＝5，当y＝2时，x＝4，∴三顶点坐标分别为(1，2)，(1，5)，(4，2)，∴S＝＝；②∵点E，F，G的坐标分别为(1，5)，(4，2)，(1，2)，根据反比例函数的几何意义，当反比例函数经过点C时，k最小＝2，直线AB的函数关系式为y＝﹣x+6，设反比例函数与线段AB相交于点(x，﹣x+6)，∴k＝x(﹣x+6)＝﹣(x﹣3)2+9，∵1≤x≤4，∴当x＝3时，k最大＝9，∴k的取值范围是2≤k≤9；(3)3)的解集围成的图形为M，是四条直线y＝2x﹣1，y＝﹣2x+1，y＝2x+1，y＝2x﹣1所围成的四边形边上及内部，抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点，分两种情况：①当m＜0时，交点的临界位置是经过点(0，1)，如图3，把点(0，1)代入抛物线y＝mx2﹣2mx+m+，得m+＝1，解得m＝，∴0＜m≤；②当m＞0时，交点的临界位置是经过点(，0)，如图4，把点(，0)代入抛物线y＝mx2﹣2mx+m+，得m﹣2m•+m+＝0，解得m＝﹣2，∴﹣2≤m＜0；∴0＜m≤或﹣2≤m＜0．10．(2021•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，(1)该抛物线的顶点坐标为(m，m+2)(用含m的代数式表示)；(2)若该抛物线经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1＜y2(填“＞，＝，或＜”号)；(3)点C(﹣4，﹣2)，将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】(1)运用配方法求出抛物线的顶点坐标即可；(2)判断出抛物线的开口方向和对称轴，再根据点距离对称轴的远近进行判断函数值的大小即可；(3)根据图象过线段的端点，可得m的值，从而可得答案．【解答】解：(1)y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2＝﹣(x﹣m)2+m+2∴抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2的顶点坐标为(m，m+2)，故答案为：(m，m+2)；(2)∵抛物线的顶点坐标为(m，m+2)，∴抛物线的对称轴方程为x＝m，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，又x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，∴0＜x2﹣m＜m﹣x1，∴x1到对称轴的距离大于x2到对称轴的距离，∴y1＜y2，故答案为：＜；(3)点C(﹣4．﹣2)，将点C向右平移6个单位长度，得到点D(2，﹣2)，∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2经过点C(﹣4，﹣2)时，则﹣16﹣2m×4﹣m2+m+2＝﹣2，解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4，又抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2经过点C(2，﹣2)时，则﹣4+2m×2﹣m2+m+2＝﹣2，解得：m3＝0，m4＝5，所以，结合图象可得，y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，m的取值范围是：﹣4≤m＜﹣3或0＜m≤5．11．(2021•商水县三模)已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A(2，0)，B(1，)两点，对称轴是直线x＝1．(1)求抛物线的解析式；(2)若C(m，y1)，D(n，y2)为抛物线y＝ax2+bx+c上两点(m＜n)．Q为抛物线上点C和点D之间的动点(含点C，D)，点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；(3)已知点E(p，﹣p)，F(2，1)，若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．【分析】(1)把点A、B坐标代入解析式求解；(2)利用Q点纵坐标的取值范围，反推出x的值，进而得到m+n的值；(3)数形结合法得出抛物线与线段EF有一个交点的情况，再根据具体情况求出两端的E点坐标，从而求出p的取值范围．【解答】解：(1)由题意得：，把点A(2，0)，B(1，)代入抛物线y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x．(2)∵点Q纵坐标的取值范围为，∴当y＝时，，解得：x1＝﹣1，x2＝3，得点(﹣1，)，(3，)，当y＝时，，解得：x3＝，x4＝，得点(，)，(，)，如图(1)，∵m＜n，∴m＝﹣1，n＝，∴m+n＝﹣1+＝，如图(2)，m＝，n＝3，∴m+n＝+3＝4+，综上所述：m+n＝或4+．(3))∵点E(p，﹣p)，∴点E在直线y＝﹣x上，设直线EF为：y＝kx+b(k≠0)，把点F(2，1)代入，得：2k+b＝1，化简得：b＝1﹣2k，∴直线EF的解析式为：y＝kx+1﹣2k，由，得：x2+(2k﹣2)x+(2﹣4k)＝0，∵抛物线与线段EF有一个交点，∴Δ＝(2k﹣2)2﹣4(2﹣4k)＝0，解得：k1＝﹣1﹣，k2＝﹣1+，当k＝﹣1﹣时，直线EF的解析式为：y＝()x+(3﹣2)，由，解得：x1＝，当k＝﹣1+时，直线EF的解析式为：y＝(﹣﹣1)x+(3+2)，由，解得：x4＝，联立y＝x2+x和y＝﹣x成方程组，解得：x2＝0，x3＝4，∴p＝或或0＜p＜4．12．(2021•靖江市一模)已知抛物线y＝x2+(m﹣2)x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A(3，0)、B两点．(1)求抛物线解析式；(2)当点P(2，a)在抛物线上时．①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P(2，a)作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．【分析】(1)将A(3，0)代入y＝x2+(m﹣2)x﹣3中，求出m的值，进而即可求解；(2)①设直线l1的解析式为y＝mx+n，联立抛物线和直线的函数解析式，得到关于x一元二次方程，结合判别式得到m，n的关系，进而即可得到答案；②过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，可得△MEQ≌△NFQ，设QE＝QF＝n，表示出xM＝2+n，xN＝2﹣n，再联立：，求出另外一个交点的横坐标为x1，进而即可得到结论．【解答】解：(1)将A(3，0)代入y＝x2+(m﹣2)x﹣3中，得：0＝32+(m﹣2)×3﹣3，解得：m＝0，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)①设直线l1的解析式为y＝mx+n，∴x2﹣2x﹣3＝mx+n，即：x2﹣(2+m)x﹣(3+n)＝0，∵过点P且不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，∴△＝(2+m)2+4×1×(3+n)＝0①，∵P(2，a)在抛物线上，∴a＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，即：P(2，﹣3)，将P(2，﹣3)代入y＝mx+n得：2m+n＝﹣3②，∴联立①②得：，解得：，∴直线l1的解析式为：y＝2x﹣7；②点N在抛物线上，理由如下：过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，在△MEQ和△NFQ中，，∴△MEQ≌△NFQ(AAS)，∴QE＝QF，FN＝ME，设QE＝QF＝n，∵PQ∥y轴，∴xP＝xQ＝2，∴xM＝xQ+QE＝2+n，xN＝xQ﹣QF＝2﹣n，联立：，得：x2﹣4x﹣3﹣b＝0，设直线l2与抛物线的另一个交点的横坐标为x1，则x1+xM＝4，∴x1＝4﹣xM＝2﹣n＝xN，∴另外一个交点就是N点，即点N在抛物线上．【题组四】13．(2020•滨湖区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点；①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？【分析】(1)先求出直线与坐标轴的交点A、C的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①作点O关于直线AC的对称点F，过F作FG⊥y轴于点G，延长CF与抛物线交于点D，此时∠ACO＝∠ACD，即AC平分∠OCD，由三角形面积公式求得OE，进而求得OF，再证明△OAC∽△GOF，便可求得F点的坐标，进而求得直线CF的解析式，最后求得直线CF与抛物线的交点坐标便可；②需要分类讨论：点P在OC的左侧、右侧两种情况．利用分割法求得S的值，进行比较即可得到答案．【解析】(1)令x＝0，得y=12令y＝0，得y=12x﹣2＝0，解得∴A(4，0)，C(0，﹣2)，把A(4，0)，C(0，﹣2)代入y=12x2+bx+12解得，b=-3∴抛物线的函数表达式为y=12x2-(2)①作点O关于直线AC的对称点F，过F作FG⊥y轴于点G，延长CF与抛物线交于点D，此时∠ACO＝∠ACD，即AC平分∠OCD，∵OA＝4，OC＝2，∴AC＝25，∵OF⊥AC，∴OE=OA⋅OC∴OF=2OE=8∵∠COE+∠ACO＝∠COE+OFG＝90°，∴∠ACO＝∠OFG，∵∠AOC＝∠OGF＝90°，∴△OAC∽△GOF，∴OCGF=OA∴GF=85，OG∴F(85设直线CF的解析式为y＝kx+b(k≠0)，则85解得，k=-3∴直线CF的解析式为：y=-3联立方程组y=-3解得，x1=0y∴存在点D，使得AC平分∠OCD，点D的横坐标为32②设P(x，12x2-3若点P在D点的左侧，如图2，过D作DE⊥x轴于E，连接OP，CP，PE，PD，AD，S＝S△OCP+S△OPE+S△PDE+S△ADE﹣S△OAC=12×2x+=-38(x-34∴当x=34时，S取最大值为若点P在D点的右侧，如图3，过D作DE⊥x轴于点E，连接CD，DP，PE，PA．S＝S梯形OCDE+S△PDE+S△APE﹣S△AOC=1=-58(x-114∴当x=114时，S取最大值为综上，根据抛物线的对称性质可知，当247128＜S＜60514．(2020•姜堰区二模)二次函数y=m6x2-2m3x+m(m＞0)的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与(1)当m＝1时，求顶点P的坐标；(2)若点Q(a，b)在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m＞0)的图象上，且b﹣(3)在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标(用含m的代数式表示)；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．【分析】(1)当m＝1时，y=m6x2-2m3x+m=16(2)对于y=m6x2-2m3x+m，令x＝0，则y＝m，即点A(0，m)，b﹣m＞0，即点(3)①证明△AOB≌△DHA(AAS)，则HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，即可求解；②分x＝m、m≥5、m≥2三种情况，即可求解．【解析】(1)当m＝1时，y=m6x2-2m3x+m=16故点P(2，13(2)对于y=m6x2-2m3x+m，令x＝0，则y＝m，即点∵b﹣m＞0，即点Q在点A的上方，而抛物线的对称轴为x＝2，故点A关于对称轴的对称点的横坐标为4，故a的取值范围为：a＜0或a＞4；(3)①由抛物线的表达式知，点P(2，13m由点A(0，m)和点P的坐标得，直线PA的表达式为y=-13mx+令y=-13mx+m＝0，解得x＝3，故点过点D作DH⊥y轴于点H，∵∠HAD+∠HDA＝90°，∠HAD+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠HDA，∵∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，∴△AOB≌△DHA(AAS)，∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，故D(m，m+3)；②同①的方法得，C(m+3，3)，∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，∴当x＝m时，y≤m+3，可得m3化简得：m3﹣4m2≤18．∵m＞0，∴m2∴(m-2)显然：m＝1，2，3，4是上述不等式的解，当m≥5时，(m﹣2)2﹣4≥5，18m≤3.6，此时，∴符合条件的正整数m＝1，2，3，4；当x＝m+3时，y≥3，可得m(m+3)2∵m＞0，∴m2+2m+3≥18显然：m＝1不是上述不等式的解，当m≥2时，(m+1)2+2≥11，18m≤9，此时，∴符合条件的正整数m＝2，3，4；综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．15．(2020•天心区模拟)如图，抛物线y=-845(x+1538)(x﹣3m)(其中m＞0)与x轴分别交于A、B两点(A(1)点B的坐标为(-1538，0)，点A的坐标为(3m，0)(用含m的代数式表示)，点C的坐标为(0，3m)(2)若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点